安徽省安庆市宿松县凉亭中学2015-2016学年高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)

2015-2016学年安徽省安庆市宿松县凉亭中学高一（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确的说法是（）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上四种说法都不对
2．已知集合A={x|ax2+2x+1=0}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1 B．﹣1 C．0或1 D．﹣1，0或1
3．已知a＜，则化简的结果是（）
A．B．﹣C．D．﹣
4．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）
A．B．C．
D．
5．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
7．已知函数f（x）=ax2+2ax+1（a≠0），那么下列各式中不可能成立的是（）
A．f（﹣1）＞f（﹣2）＞f（2）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（﹣3）
8．设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
9．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣10，2] B．[﹣12，0]
C．[﹣12，2] D．与a，b有关，不能确定
10．建立集合A={a，b，c}到集合B={﹣1，0，1}的映射f：A→B，满足f（a）+f（b）+f （c）=0的不同映射有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
11．函数f（x）是奇函数，且对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），若f（0.5）=﹣1，则f（7.5）=（）
A．﹣1 B．0 C．0.5 D．1
12．如果一个函数f（x）满足：
（1）定义域为R；
（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；
（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．
则f（x）可以是（）
A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，该班有20名同学参赛．已知两项比赛中，该班有19名同学没有参加比赛，那么该班两项都参加的有名同学．
14．函数+的定义域是．（要求用区间表示）
15．已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）= ．
16．下列说法正确的是．（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，则A∩B={（0，﹣1），（1，0）}；
②y=+是函数解析式；
③y=是非奇非偶函数；
④若函数f（x）在（﹣∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上也是增函数；
⑤幂函数y=xα的图象不经过第四象限．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，B={x|x﹣1＞0}．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
18．计算：（1）
（2）．
19．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
20．已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
21．函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．
22．已知函数．
（1）证明函数具有奇偶性；
（2）证明函数在[0，1]上是单调函数；
（3）求函数在[﹣1，1]上的最值．
2015-2016学年安徽省安庆市宿松县凉亭中学高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确的说法是（）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上四种说法都不对
【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法．
【分析】（1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；
（2）由集合中元素的无序性知（2）正确；
（3）由集合中元素的互异性知（3）不正确；
（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．
【解答】解：（1）0不是集合，{0}表示集合，故（1）不成立；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，
由集合中元素的无序性知（2）正确；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}，
由集合中元素的互异性知（3）不正确；
（4）集合{x|4＜x＜5}是无限集，故（4）不正确．
故选C．
【点评】本题考查集合的表示法，解题时要认真审题，注意集合中元素的互异性和无序性的合理运用．
2．已知集合A={x|ax2+2x+1=0}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．﹣1，0或1
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；转化思想；集合．
【分析】根据集合A有且仅有2个子集，可得：集合A有且仅有1个元素，即方程ax2+2x+1=0只有一个实根，进而得到答案．
【解答】解：若集合A有且仅有2个子集，
则集合A有且仅有1个元素，
即方程ax2+2x+1=0只有一个实根，
故a=0，或△=4﹣4a=0，
故a的取值是0或1，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是子集与真子集，将已知转化为方程根的个数，是解答的关键．
3．已知a＜，则化简的结果是（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】方根与根式及根式的化简运算．
【专题】常规题型．
【分析】由a＜，我们可得4a﹣1＜0，我们可以根据根式的运算性质，将原式化简为=，然后根据根式的性质，易得到结论．
【解答】解：∵a＜
∴
=
=
=
=．
故选C．
【点评】本题考查的知识点是根式的化简运算，本题中易忽略4a﹣1＜0，而错选A．4．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．
【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．
5．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【考点】不等关系与不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．
【解答】解：∵，
∴b＞c＞a．
故选A．
【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．
6．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
【考点】奇函数．
【专题】压轴题．
【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，
所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，
且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，
则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，
故选B．
【点评】本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．
7．已知函数f（x）=ax2+2ax+1（a≠0），那么下列各式中不可能成立的是（）
A．f（﹣1）＞f（﹣2）＞f（2）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（0）＜f（1）＜f（2）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先根据图象可判断f（﹣1）为最大值或最小值，由此即可作出选择．
【解答】解：f（x）=a（x+1）2+1﹣a，其图象对称轴为x=﹣1，当a＜0时，f（﹣1）为最大值；当a＞0时，f（﹣1）为最小值，
故f（﹣1）只能为最大值或最小值，所以选项B不能成立，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质，考查学生对问题的分析判断能力，属基础题．
8．设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．
【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选D．
【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．
9．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是（）A．[﹣10，2] B．[﹣12，0]
C．[﹣12，2] D．与a，b有关，不能确定
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f（x），即可求出函数的值域．
【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，
∴a=﹣3．
又f（﹣x）=f（x），
∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，
即﹣b=b解得b=0，
∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，
∴﹣10≤f（x）≤2，
故函数的值域为[﹣10，2]，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
10．建立集合A={a，b，c}到集合B={﹣1，0，1}的映射f：A→B，满足f（a）+f（b）+f （c）=0的不同映射有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【考点】映射．
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据题意，这样的映射有两类，①f（a），f（b），f（c）全为0；②f（a），f（b），f（c）各不相等，分别求出再相加即可．
【解答】解：因为f（a）+f（b）+f（c）=0，
所以对应有两大类：
①若f（a），f（b），f（c）全为0，
即f（a）=f（b）=f（c）=0，仅此一种；
②若f（a），f（b），f（c）各不相等，
即f（a），f（b），f（c）与﹣1，0，1进行一一对应，
这样的对应共有6种，
综合以上讨论得，满足f（a）+f（b）+f（c）=0的映射共有7种，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了映射的定义及其应用，合理分类讨论是解本题的关键，属于基础题．
11．函数f（x）是奇函数，且对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），若f（0.5）=﹣1，则f（7.5）=（）
A．﹣1 B．0 C．0.5 D．1
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得函数f（x）是周期为2的周期函数，结合已知条件和奇偶性可得．【解答】解：∵函数f（x）对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
又∵f（x）是奇函数且f（0.5）=﹣1，
∴f（7.5）=f（7.5﹣8）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=1，
故选：D．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，属基础题．
12．如果一个函数f（x）满足：
（1）定义域为R；
（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；
（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．
则f（x）可以是（）
A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】证明题．
【分析】先将已知条件转化为函数性质，如条件（2）反映函数的奇偶性，条件（3）反映函数的单调性，再利用性质进行排除即可
【解答】解：由条件（1）定义域为R，排除D；
由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f（﹣x）+f （x）=0，即函数f（x）为奇函数，排除B
由条件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x时，总有f（x+t）＞f（x），即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A
故选 C
【点评】本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的判断方法，基本初等函数的单调性和奇偶性，排除法解选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，该班有20名同学参赛．已知两项比赛中，该班有19名同学没有参加比赛，那么该班两项都参加的有 6 名同学．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】集合．
【分析】根据集合关系进行求解即可．
【解答】解：已知两项比赛中，该班有19名同学没有参加比赛，
则参加比赛的人数为45﹣19=26人，
则两项都参加的人数为12+20﹣26=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
14．函数+的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2] ．（要求用区间
表示）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】函数中含有根式和分式，求解时要保证两部分都有意义，解出后取交集．
【解答】解：要使原函数有意义，需要：解得：x＜﹣1或﹣1＜x≤2，
所以原函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]．
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]．
【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
15．已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）= ﹣2 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的解析式以及函数的奇偶性直接求解即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当 x＜0时f（x）=log2（2﹣x），
则f（0）+f（2）=0﹣f（﹣2）=﹣log2（2+2）=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，函数的值的求法，考查计算能力．
16．下列说法正确的是③④⑤．（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，则A∩B={（0，﹣1），（1，0）}；
②y=+是函数解析式；
③y=是非奇非偶函数；
④若函数f（x）在（﹣∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上也是增函数；
⑤幂函数y=xα的图象不经过第四象限．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】①中是值函数值域的交集，不是点的集合；
②函数的解析式应有意义；
③函数的奇偶性先判断定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；
④根据函数单调性判断方法可知
⑤第四象限的特点是x取正值时，函数值为负值．
【解答】解：①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，则A∩B={y|y≥﹣1}，故错误；
②y=+的定义域为空集，故不是函数解析式，故错误；
③y=的定义域为[﹣1，1]，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），故是非奇
非偶函数，故正确；
④若函数f（x）在（﹣∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，根据递增的定义可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上也是增函数，故正确；
⑤幂函数y=xα的定义可知，当x＞0时，无论a为何值，函数值都大于零，故图象不经过第四象限，故正确．
故答案为：③④⑤．
【点评】考查了集合的概念，函数的奇偶性，函数的单调性和幂函数的性质．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，B={x|x﹣1＞0}．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）根据条件求出集合A，B的等价条件，即可求A∩B和A∪B；
（2）根据定义定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，即可写出A﹣B和B﹣A．
【解答】解：（1）∵A={x|＜3x＜9}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}．
∴A∩B={x|1＜x＜2}，A∪B={x|x＞﹣1}；
（2）∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，
∴A﹣B={x|﹣1＜x≤1}，B﹣A={x|x≥2}．
【点评】此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及新定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．计算：（1）
（2）．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
【解答】解：（1）
=﹣1﹣
=
=﹣1．
（2）
=
=2×3×20
=6．
【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．
19．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，再由x＞0时，f（x）=x2﹣2x．求得f（﹣x），然后通过f（x）是R上的偶函数求得f（x）．
（2）作出图来，由图象写出单调区间．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2•（﹣x）=x2+2x
∵y=f（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．
20．已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）代入点的坐标，即得a的值；
（2）根据条件得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．
（2）由（1）知f（x）=（）x，
又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2﹣（）x﹣2=0，令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，
又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，
满足条件的x的值为﹣1．
【点评】本题考察函数解析式求解、指数型方程，属基础题，（2）中解方程时用换元思想来求解．
21．函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．
【解答】解：对称轴x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）max=f（0）=1﹣a=2
∴a=﹣1；
当a＞1时，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）max=f（1）=a=2
∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）max=f（a）=）=a2﹣a+1=2，
解得a=，与0≤a≤1矛盾；
所以a=﹣1或a=2．
【点评】此题是个中档题．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论
22．已知函数．
（1）证明函数具有奇偶性；
（2）证明函数在[0，1]上是单调函数；
（3）求函数在[﹣1，1]上的最值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】（1）先看定义域是否关于原点对称，再利用对数的运算性质，看f（﹣x）与f（x）的关系，依据奇函数、偶函数的定义进行判断．
（2）要求是用定义，先在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，然后作差变形看符号．；
（3）由（1）（2）可知f（x）在[﹣1，1]上为增函数，从而求得f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由题意，对任意设x∈R都有
，
故f（x）在R上为奇函数；（3分）
（2）任取x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，
则，
∵x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，
故在[0，1]上为增函数；（7分）
（3）由（1）（2）可知f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
故f（x）在[﹣1，1]上的最大值为，最小值为．（10分）
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断、研究奇偶性等问题，要注意变形处理和函数单调性奇偶性定义的应用。