2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第9章 章末综合提升 Word版含解析

9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分
析(略)
［巩固层·知识整合]
［提升层·题型探究］
随机抽样方法的应用【例1】某县共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶ 2∶ 5∶ 2∶ 3，从3万人中抽取一个容量为300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
［解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用比例分配分层随机抽样的方法．具体过程如下：
（1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层．
（2）按照样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
（3）按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
（4）将300人合到一起，即得到一个样本．
［跟进训练］
1．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( ）
A．193 B．192
C．191 D．190
B［1 000×错误!＝80，求得n＝192.]
频率分布直方图及应用
容量为100的样本，测得树苗的高度(cm）数据的分组及相应频数如下:
[107，109),3株;[109，111)，9株;［111，113)，13株；
[113,115)，16株；［115,117)，26株;［117，119）,20株；
[119，121)，7株；[121,123),4株；[123，125］,2株．
(1)列出频率分布表；
（2)画出频率分布直方图；
(3）据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？
［解]
（2
(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0。

03＝0.91,即数据落在[109，121）范围内的可能性是91%.
在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度（cm）的平均数．
［解] 由频率分布直方图可得树苗的高度(cm)的平均数的估计值为
0。

03×108＋0.09×110＋0。

13×112＋0.16×114＋0。

26×116＋0。

20×118＋0.07×120＋0.04×122＋0。

02×124＝115。

46（cm)
用样本估计总体分布的方法
1用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
2借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流。

数据的集中趋势和离散程度的估计【例3】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲:82 81 79 78 95 88 93 84；
乙:92 95 80 75 83 80 90 85.
(1)求甲成绩的80%分位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
［解］（1)把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：
78 79 81 82 84 88 93 95
因为一共有8个数据,所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93。

（2）错误!甲＝错误!(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
错误!乙＝错误!（75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85。

s2甲＝错误!［（78－85）2＋(79－85)2＋（81－85）2＋（82－85）2＋(84－85)2＋(88－85)2＋（93－85)2＋（95－85）2］＝35.5, s错误!＝错误!［（75－85）2＋（80－85）2＋（80－85）2＋（83－85)2＋(85－85）2＋(90－85)2＋（92－85）2＋(95－85)2］＝41,
∵错误!甲＝错误!乙，s错误!〈s错误!，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
用样本的数字特征估计总体的方法
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大（或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数，处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中间两个的数据的
平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用错误!表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是s＝错误!。

错误!
2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表，则这100人成绩的标准差为（）
分
数
54321
人
数
2010303010
A．3 B．错误!C．3 D．错误!
B[∵错误!＝错误!＝3，
∴s2＝错误!［(x1－错误!)2＋（x2－错误!)2＋…＋（x n－错误!）2]
＝错误!（20×22＋10×12＋30×12＋10×22）＝错误!＝错误!⇒s＝错误!。

］
[培优层·素养升华]
【典例】为了保护学生视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须更换前使用的天数如下:
天数［150，
180）
[180，
210)
［210,240）
［240，
270）
[270，
300)
[300，
330）
［330，
360）
［360,390］
灯
管
数
1111820251672
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换,可选择多长时间统一更换比较合适？
[解］（1)各组组中值分别为165，195，225，255，285,315，345，375，由此可算得平均数约为165×1％＋195×11%＋225×18％＋255×20％＋285×25％＋315×16%＋345×7％＋375×2％＝267.9≈268（天)．故估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天．（2）方差为错误!×［1×（165－268）2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268）2＋25×（285－268)2＋16×（315－268)2＋7×（345－268）2＋2×（375－268)2］＝2 128.60.
故标准差为错误!≈46。

故标准差约为46,268－46＝222(天）,268＋46＝314(天)，所以这100只日光灯的使用寿命大部分落在222~314天之间，故可在第222天到第314天内统一更换较合适．
平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过了规定界限时，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏离，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题，本题主要考查了数据分析的核心素养.
[素养提升练］
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分［75,85)[85，95)
［95，
105）
[105,115)[115,125]
组
频数62638228
(1)根据上表作出这些数据的频率分布直方图;
（2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定?
[解] （1）产品质量指标的频率分布直方图如图．
（2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0。

38＋110×0。

22＋120×0。

08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝（80－100)2×0.06＋（90－100）2×0.26＋(100－100）2×0.38＋（110－100)2×0。

22＋（120－100）2×0.08＝104。

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0。

68。

由于该估计值小于0。

8，故不能认为该企业生产的这种产品
符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%"的规定．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

祝：学子考试顺利，学业有成。