2020届山西省太原五中高考文科数学3月模拟试题

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频数
3
9
17
11
8
2
（I）求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率； （Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率． （i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率； （ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别 为 m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．
A．7 9．（5 分）函数
B．6
C．5
D．4
在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线 BD 与 AC1
所成角的余弦值为 ，则该长方体外接球的表面积为（ ）
第 2 页（共位置，使得直线 EF∥平面 PDC；
（Ⅱ）若 PB＝3BF，求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值．
19．（12 分）2016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手 气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如表：
全额分组 [1，5） [5，9） [9，13） [13，17） [17，21） [21，25]
，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝
．
（1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程． （2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的 坐标． [选修 4­5：不等式选讲] 23．设函数 f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|． （1）解不等式 f（x）≥2； （2）当 x∈R，0＜y＜1 时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤ + ．
16．（5 分）如图所示，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（a＜b），原点 O
为 AD 的中点，抛物线 y2＝2px（p＞0）经过 C，F 两点，则 ＝
．
三、解答题（本大题 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．
，则|z|＝（ ）
A．1 3．（5 分）已知向量
B．2 ，向量
C．
D．
，则向量 在 方向上的投影为（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
4．（5 分）若过椭圆
内一点 P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程
为（ ） A．8x+9y﹣25＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝0 5．（5 分）已知函数 f（x）＝x3+x+1+sinx，若 f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数 a 的取值范围 是（ ）
20．（12 分）已知椭圆 C：
的离心率为 ，与坐标轴分别交于 A，B
两点，且经过点 Q（﹣ ，1）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若 P（m，n）为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2，
求动点 P 的轨迹方程，并求△ABP 面积的最大值． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，x2＞0，命题 q：∃α，β∈R，使 tan（α+β）＝tanα+tanβ，则
下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧q
D．p∧（￢q）
7．（5 分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一
叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现
在青蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现
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用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数 n 后，输出的 S∈（ ， ），则输入 的 n 的值为（ ）
2020 届山西省太原五中高考文科数学 3 月模拟试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）
1．（5 分）已知集合 A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则 A∩B＝（ ）
A．（0，e）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，e）
D．（0，2）
2．（5 分）已知复数
13．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝3x+y 的最小值是
．
14．（5 分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为 ，则 m＝
．
15．（5 分）在△ABC 中，内角 A、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）sinB＝csinC﹣
asinA，
，△ABC 的面积记为 S，则当 取最小值时，ab＝
B．196π
C．784π
D．
11．（5 分）若
，当 x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，
有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知 a 为常数，函数 （） A．
有两个极值点 x1，x2，且 x1＜x2，则有 B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）
（Ⅰ）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC＝2sin（A+C）； （Ⅱ）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值．
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18．（12 分）如图所示的多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD
的中点，F 为线段 PB 上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，
（1）求实数 a 的取值范围；
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（2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22． 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4­4： 坐标系与参数方程]
22．（10 分）已知直线 l 的参数方程为