苏教版九年级上册数学 期末试卷中考真题汇编[解析版]

苏教版九年级上册数学 期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足
PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）
A ．5
B ．1
C ．2
D ．3 3．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定 4．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1 5．在六张卡片上分别写有13
，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．56
6．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ）
A ．23
B ．1.15
C ．11.5
D ．12.5
7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该 企业一年中应停产的月份是( )
A．1月，2月B．1月，2月，3月C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月
8．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（）
A．1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
10．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名读听写
小莹928090
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（）A．86 B．87 C．88 D．89
11．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )
A．点M在⊙C上B．点M在⊙C内C．点M在⊙C外D．点M不在⊙C内12．如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AD平分BAC
∠，交BC于点E，6
AB=，5
AD=,则AE的长为（）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
二、填空题
13．关于x的一元二次方程20
x a
+=没有实数根，则实数a的取值范围是．
14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O 分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，
点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进
行下去…，若点A（5
3
，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____．
15．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F在CD上，且CF=3，连接FE’，当点E在圆C上运动，FE’长的最大值为____.
16．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
17．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．
18．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．
19．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若5∠EAF=45°，则AF的长为_____．
20．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
21．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
22．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．
23．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MN PM
＝_____．
24．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是⊙O 上一个动点．且不与A ，B 重合．若∠PAC ＝α，∠ABC ＝β，则α与β的关系是_______．
三、解答题
25．（1）x2+2x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）
26．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
27．定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°<α<90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数
4
y
x
=（x>0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和
y 轴于点A ，B 两点，且满足BC ＝3CA ，∠AOB 的“相关角”为∠APB ，请直接写出OP 的长及相应点P 的坐标．
28．计算：
（1）()2
8233+-- （2）()
1
03127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 29．解下列方程：
（1）()2239x +=
（2）2430x x --= 30．（1）如图①，在△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n （n ＞m ），点P 在边AC 上．当AP ＝ 时，△APB ∽△ABC ；
（2）如图②，已知△DEF （DE ＞DF ），请用直尺和圆规在直线DF 上求作一点Q ，使DE 是线段DF 和DQ 的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
31．已知关于x 的一元二次方程()22
2140x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设方程两根分别为1x 、2x ，且21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线，求m 的值．
32．如图，已知⊙O 的直径AC 与弦BD 相交于点F ，点E 是DB 延长线上的一点，∠EAB=∠ADB ．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）已知点B 是EF 的中点，求证：△EAF ∽△CBA ；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE 的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】
解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,
∴劣弧ADC的度数是140°,
∴∠AOC=140°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°,
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.
【详解】
如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°,
∴∠PCD+∠PCB=90°,
∵PBC PCD
∠=∠,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
∴∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，
在Rt△OCD中，OC=11
84
22
BC,CD=3，
由勾股定理得，OD=5，∵PD≥OD OP ,
∴当P ,D,O 三点共线时，PD 最小，
∴PD 的最小值为OD-OP=5-4=1.
故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P 点的运动轨迹是解答此题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】
∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，
∴直线和圆相切，
故选B ．
【点睛】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
4．D
解析：D
【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，
∴()2
240m =-->，
解得：m ＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5．B
解析：B
【解析】
【分析】
无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】
∵这组数中无理数有 共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是21 =
63
.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．
【详解】
解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
当－n2＋15n－36≤0时该企业应停产，即n2-15n+36≥0，n2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n≥12或n≤3时n2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为
CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证
CPE∽DQE，可得CP DQ
=
PE EQ
，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE
的长度可得．
【详解】
解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，
∴OCP和ODQ为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，
∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，
∴CPE∽DQE，故CP DQ
=
PE EQ
，
设PE=x，则EQ=14-x，
∴68
=
x14-x
，解得x=6，
∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C．
【点睛】
本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.
【详解】
因为共有6个球，红球有2个，
所以，取出红球的概率为
21
63 P==，
故选A.
【点睛】
本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键. 10．C
解析：C
【解析】
利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】
根据题意得：
92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可求得CM 的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
如图，
∵由勾股定理得2268+，
∵CM 是AB 的中线，
∴CM=5cm ，
∴d=r ，
所以点M 在⊙C 上，
故选A ．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接BD,CD,由勾股定理求出BD 的长，再利用ABD BED ，得出DE DB DB AD
=，从而求出DE 的长，最后利用AE AD DE =-即可得出答案．
【详解】
∵AB为O的直径
90
ADB
∴∠=︒
2222
6511 BD AB AD
∴=-=-
∵弦AD平分BAC
∠
11
CD BD
∴==
CBD DAB
∴∠=∠
ADB BDE
∠=∠
ABD BED
∴
DE DB
DB AD
∴=
11
5
11
=
解得
11
5
DE=
11
5 2.8
5
AE AD DE
∴=-=-=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．
解析：a＞0．
【解析】
试题分析：∵方程20
x a
+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．
考点：根的判别式．
14．10100
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
【详解】
由图象可知点B2020在第一象限
解析：10100
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
【详解】
由图象可知点B2020在第一象限，
∵OA=5
3
，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB
13
3
===，
∴OA+AB1+B1C2=5
3
+
13
3
+4=10，
∴B2的横坐标为：10，
同理：B4的横坐标为：2×10=20，B6的横坐标为：3×10=30，
∴点B2020横坐标为：2020
10
2
⨯=10100．
故答案为：10100．
【点睛】
本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
15．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=
解析：171
+
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP=22
41
+=17,
∴FE’=171+,
故答案是：171
+
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
16．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知
∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可
以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC ∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线. 【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
18．1
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】
如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB
解析：1
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】
如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.
19．【解析】
分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的
解析：410 3
【解析】
分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴2x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AB=2，
∴BE=1，
∴=∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴AM ME FN AN
=，
=，
解得：x=4 3
∴=
故答案为
3
．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
20．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可
以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P ，
∴△APQ ∽△ABC ，
故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或
AP AQ AB AC
=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
=31.5
故答案为：=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的
解析：()2
561x -=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
()2
561x -=31.5
故答案为：()2561x -=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 22．【解析】
【分析】
设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF 的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，
解析：25 4
【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB
EC
＝
BE
CF
，
∴
5
5x
-
＝
x
y
，
∴y＝﹣1
5
x2+x＝﹣
1
5
（x﹣
5
2
）2+
5
4
，
∵﹣1
5
＜0，
∴x＝5
2
时，y有最大值
5
4
，
∴CF的最大值为5
4
，
∴DF的最小值为5﹣5
4
＝
15
4
，
∴AF的最小值＝22
AD DF
+＝
2
2
15
5
4
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝
25
4
，
故答案为25
4
．
【点睛】
本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值．
23．【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1
解析：【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2
MN PM 即可解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1，2），
设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121
a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2
MN PM ． 24．或
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点
解析：αβ=或180αβ+︒＝
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点C 在优弧AB 上时，如图，
连接OA 、OB 、OC ，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴180αβ+︒＝
；
当点C 在劣弧AB 上时，如图，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴αβ=.
综上：α与β的关系是180αβ+︒＝
或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝
. 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
三、解答题
25．（1）x ＝﹣3或x ＝1;（2）x ＝1或x ＝4.
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】
解：（1）∵x 2+2x ﹣3＝0，
∴(x+3)(x ﹣1)＝0，
∴x ＝﹣3或x ＝1；
（2）∵(x ﹣1)2＝3(x ﹣1)，
∴(x ﹣1)[(x ﹣1)﹣3]＝0，
∴(x ﹣1)(x ﹣4)＝0，
∴x ＝1或x ＝4；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
26．（1）y ＝﹣2x +260；（2）销售单价为80元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】
（1）设y ＝kx +b （k ≠0，b 为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
1605010080k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得2260k b =-⎧⎨=⎩
∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +260
（2）由题意得：（x ﹣50）（﹣2x +260）＝3000
化简得：x 2﹣180x +8000＝0
解得：x 1＝80，x 2＝100
∵x ≤50×（1+90%）＝95
∴x 2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得
w ＝（x ﹣50）（﹣2x +260）
＝﹣2x 2+360x ﹣13000
＝﹣2（x ﹣90）2+3200
∵a ＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w 有最大值，当x ＝90时， w 最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
27．（1）见解析；（2）1
9180,sin 22MON MPN S αα∠=︒-=△；（3）3
OP =，P
点坐标为⎝⎭或⎝⎭
【解析】
【分析】 （1）由角平分线求出∠MOP ＝∠NOP ＝
12
∠AOB ＝30°，再证出∠OMP ＝∠OPN ，证明△MOP ∽△PON ，即可得出结论； （2）由∠MPN 是∠AOB 的“相关角”，判断出△MOP ∽△PON ，得出∠OMP ＝∠OPN ，即可得出∠MPN ＝180°﹣12
α；过点M 作MH ⊥OB 于H ，由三角形的面积公式得出：S △MON ＝12
ON •MH ，即可得出结论； （3）设点C （a ，b ），则ab ＝3，过点C 作CH ⊥OA 于H ；分两种情况：①当点B 在y 轴正半轴上时；当点A 在x 轴的负半轴上时，BC ＝3CA 不可能；当点A 在x 轴的正半轴上时；先求出14CA AB =，由平行线得出△ACH ∽△ABO ，得出比例式：14CH AH AC OB OA AB ===，得出OB ，OA ，求出OA •OB ，根据∠APB 是∠AOB 的“相关角”，得出OP ，即可得出点P 的坐标；②当点B 在y 轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠AOB ＝60°，P 为∠AOB 的平分线上一点，
∴∠AOP ＝∠BOP ＝12
∠AOB ＝30°， ∵∠MOP +∠OMP +∠MPO ＝180°，
∴∠OMP +∠MPO ＝150°，
∵∠MPN ＝150°，
∴∠MPO +∠OPN ＝150°，
∴∠OMP ＝∠OPN ，
∴△MOP ∽△PON ，
∴OM OP OP ON
=，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，∴OM•ON＝OP2，
∴OM OP OP ON
=，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝1
2α，
∴△MOP∽△PON，∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣1
2α，
即∠MPN＝180°﹣1
2α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝1
2
ON•MH＝
1
2
ON•OM sinα＝
1
2
OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝9
2
sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：
BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：
∵BC＝3CA，
∴
1
4 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
4 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
4 b OA a
OB OA
-
==,
∴OB＝4b，OA＝4
3 a，
∴OA•OB＝4
3
a•4b＝
16
3
ab＝
64
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
6483
3
OP OA OB
⋅
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
4646
,
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：
∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴
1
2 CA
AB
=，
∵CH//OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴
1
2 CH AH AC
OB OA AB
===，
∴
1
2 b a OA OB OA
-
==
∴OB＝2b，OA＝2
3 a，
∴OA•OB＝2
3
a•2b＝
4
3
ab＝
16
3
，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，∴OP2＝OA•OB，
∴
1643
3
OP OA OB
⋅=
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：
2626
⎝⎭
；
综上所述：点P的坐标为：
4646
⎝⎭或
2626
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
28．（1；（2）6
【解析】
【分析】
（1）将原式三项化简，合并同类二次根式后即可得到结果；
（2）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用负指数公式化简，合并后即可得到结果；
【详解】
解：（1）原式=，
（2）原式=3+1+2=6
【点睛】
此题考查了实数的混合运算，涉及的知识有：算术平方根和立方根，绝对值的性质，0指数和负整指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
29．（1）13x =-，20x =；（2）12x =，22x =
【解析】
【分析】
（1）直接用开平方求解即可．
（2）用配方法解方程即可．
【详解】
（1）解：由()2
239x +=
得233x +=±
即233x +=-或233+=x ∴26x =-，或20x =
解得13x =-，20x =
（2）解：243x x -=
∴24434x x -+=+
∴2
(2)7x -=
∴2x -=
∴12x =，22x =．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键. 30．（1）2
m n
；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】
（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则
AB AC
AC AP
=,即
m n
n AP
=,∴AP=
2
m
n
.（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
31．（1）
17
4
m>-；（2）4
m=-
【解析】
【分析】
（1）由根的判别式2
=40
b ac
∆->即可求解；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分，由勾股定理得222
12
5
x x
+=，又由一元二次方程
根与系数的关系
1212
,
b c
x x x x
a a
+=-=，所以有()222
121212
2
x x x x x x
+-=+，据此列出关于m的方程求解．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴()()
22
=2144=417
m m m
∆+--+>0
解得：
17
4
m>-
∴当
17
4
m>-时，方程有两个不相等的实数根；
（2）由题意得：
222
12
12
2
12
5
21?
4
x x
x x m
x x m
⎧+=
⎪
+=--
⎨
⎪=-
⎩
∴()()()
22
2222
121212
=2212424925
x x x x x x m m m m
++-=----=++=
解得：2
m=或4
m=-
∵21x、22x分别是边长为5的菱形的两条对角线
∴122 1 0x x m +=-->，即12
m <-
∴4m =-
【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式、结合菱形的性质考查勾股定理和韦达定理，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
32．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
(1)连接CD ，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠EDC ，然后结合已知条件得出∠EAB+∠BAC=90°，从而说明切线；
(2)连接BC ，根据直径的性质得出∠ABC=90°，根据B 是EF 的中点得出AB=EF ，即∠BAC=∠AFE ，则得出三角形相似；
(3)根据三角形相似得出
AB AC AF EF =，根据AF 和CF 的长度得出AC 的长度，然后根据EF=2AB 代入
AB AC AF EF =求出AB 和EF 的长度，最后根据Rt △AEF 的勾股定理求出AE 的长度.
【详解】
解：(1)如答图1，连接CD ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°
∴∠ADB+∠EDC=90°
∵∠BAC=∠EDC ，∠EAB=∠ADB ，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°
∴EA 是⊙O 的切线；
(2)如答图2，连接BC ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B 是EF 的中点，∴在Rt △EAF 中，AB=BF
∴∠BAC=∠AFE
∴△EAF ∽△CBA ．
(3)∵△EAF ∽△CBA ，∴AB AC AF EF
= ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB ． ∴642AB AB
=，
解得∴
∴
【点睛】
本题考查切线的判定与性质；三角形相似的判定与性质．。