1.2 样本空间与事件
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这六个随机事件都包含一个共同的样本点：HHT
A = { 第一次是正面 } = { HHH，HHT，HTH，HTT }
B = { 第二次是正面 } = { HHH，HHT，THH，THT }
C = { 第三次是反面 } = { HHT，HTT，THT，TTT }
D = { 正面比反面多一次 } = { HHT，HTH，THH，} E = { 正面反面都出现 } = {HHT，HTH， HTT， THH， THT， TTH }
E 3 ： 记录一小时落在地球上某一区域的粒子数 Ω3 ：{ 0，1，2，3，······} 可数个点
E 4 ：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命 Ω4 ：{ t | t ≥ 0 } 不可数点构成的区间
E5 ：从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出 一张，观察它的花色和点数
Ω5 ：{ ( x,y ) | x 表示花色，有 4 种可能 ； y 是点数，1 ≤ y ≤ 13 }
A1∩A2 = { HHH }；
A1 I A2 = {THH，THT，TTH } 。
□
例1.1.6 把 A∪B 分解成互不相容的事件的和。
B A
Ω
解. ① ②
A∪B = A + (B – A) = A + (B – AB) ； A∪B = (A – B) + AB + (B – A)
= (A – AB) + AB + (B – AB) 。
关于“差事件”的理解
1. A∪B 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的并集； AB 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的交集；
A – B 的样本点是从 A 中去掉同时也属于B 的样本点。 2. 如果 A B ，则 A – B 是不可能事件。
3. 事件的运算不能等同于数的运算，如： (A – B) + B = A∪B ，而不能是 A ；
利用事件的交来表示： A∪B = ( A I B)
□
例1.1.7 A、B、C 是三个随机事件，利用事件的 关系与运算表示出下面新的随机事件。
(1) A 发生而 B 与 C 都不发生， A – B – C 或 A – (B∪C) 或 A B C
(2) A、B都发生而 C 不发生， AB – C 或 AB – A 中的某一个样本点发生
样本点 发生 所有包含这个 的随机事件都
发生
例1.1.2 抛掷均匀硬币三次，考虑随机事件 A = { 第一次出现的是正面H }
A 包含了四个样本点：{ HHH，HHT，HTH，HTT }； 如果 A 发生，说明它们之中的某一个发生了。
反之，如果样本点 { HHT }发生，则不仅表明随机事件 A = { 第一次是正面 } 发生了，同时，随机事件 B = { 第二次 是正面 }、C = { 第三次是反面 }、 D = { 正面比反面多出现 一次 }、 E = {正面反面都出现 }、 F = {正面比反面先出现 } 等等也都发生了。
四. 随机事件的运算规则
随机事件与集合的对照关系
符号 集合论含义
Ω
A
A
空间或全集 空集 元素 子集
是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件 不可能事件 样本点(基本事件) 随机事件
事件 A 包含样本点
符号 集合论含义
AB
AB =
A∪B A∩B A–B
A
A 是 B 的子集 A、B 不相容
讨论： A1∪A2，A1 – A2，A2 – A1，A1∩A2，A1 I A2 。 解. Ω = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH，
THT，TTH，TTT }
A1∪A2 = { HHH，HHT，HTH，HTT，TTT }；
A1 – A2 = { HHT，HTH，HTT }；
A2 – A1 = { TTT }；
A∪A = A， A∪ = A， A∪ Ω = Ω
当 A、B 不相容时，记成： A∪B = A＋B
4. 事件的交
A
B
Ω
新事件。它的发生表示这些事件中
每一个都要发生，记为 A∩B 或 AB
A = { H }，B = { H } ； AB = { HH} 前两次都是正面
特别的，对任意的随机事件 A ，
B 包含在 C 中，即 B C ；
A 与 C 不相容，因此 A 与 B 也不会相容。
□
3. 事件的和
AB
Ω
新事件。它的发生表示这些事件中至少有 一个发生，记为 A∪B 。
A = { HHH }，B = { TTT } ；
A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面 特别的，对任意的随机事件 A ，
§1.2 样本空间与事件
什么是随机试验？
如果这个试验满足下述条件： （1）试验在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知
道的，且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能
结果中的一个，但不能肯定出现哪一个结 果。
二.样本空间和随机事件
随机试验 E 的所有可能的基本结果组成的 集合称为 E 的样本空间，用符号Ω来表示。
6. 对立事件
A
A
Ω
新事件，它的发生表示原来的事件不发生，
记为 A 。
A A A B AB AA
例如， A= { HHH，TTT } ，则 A 的对 立事件的样本点是{ HHT，HTH，HTT， THH，THT，TTH }即，三次出现的结果不 全相同(或正反面都出现)。
F = { 正面比反面先出现 } = { HHH，HHT，HTH，HTT } □
三. 事件的关系与运算
两种关系、四个运算
1. 事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生，则称 A 包含
在 B 中， 记为 A B 。即 A 的每个样本点也都
属于 B
A = { HHH }，三次都是正面，
AB
互斥
利用交事件表示不相容关系： AB =
例1.1.3 一次考试中某同学有 4 个判断题不会做， 只能靠猜测。猜对的题数 X 是随机的，可能是 { 0，1，2，3，4 } 中的某一个。
下面的几个事件： A = { X = 0 }， B = { X = 4 }，C = { X ≥ 3 }
显然它们之间的关系是：
A∩A = A， A∩ = ，A∩ Ω = A
练习1.1.4 等公交车的时间是随机的。以T 记某人从到
车站开始直到车来为止所需要等待的时间。
下面的三个事件： A = {T ≤ 5 }，B = { 5 ＜T ≤ 15 }，C = {T ≤ 10 }
0
5
10
15
(1) 讨论随机事件 A、B、C 的关系； (2) 讨论它们之间彼此的和、交运算。
5. 事件的差
A
B
Ω
新事件。它表示一个发生而另一个不会 发生，记为 A – B 。
A = { HH }，B = { T } ；
A – B = { HHH} 三次都是正面
A – B = A – AB 特别的，对任意的随机事件 A ，
A – = A， A – Ω = ， A – A =
(3) A、B、C 都发生， ABC
(4) A、B、C 都不发生， A B C or A U B U C (5) 恰好只有一个发生， A B C A B C A B C (6) 恰好只有两个发生， ABC ABC ABC (7) 至少有一个发生，A∪B∪C 或
A B C A B C A B C ABC ABC ABC ABC
Ω
B = { H } ， 第一次是正面。
特别的，对任意随机事件 A ，有 A Ω
2. 事件的互不相容(互斥) 关系
表示这些事件不会同时发生。
即它们没有公共样本点
A
B
Ω
A = { HHH }，三次都是正面，
B = { TTT } ， 三次都是反面。
特别的，不可能事件 与任意一个随机事件 A
讨论事件之间的关系与运算，目的就是想通过事件之间的运 算来进一步表示更复杂的事件。
例1.1.8 某企业招聘，要求应聘人要全部通过4项考核， 才能被录用。就以下两种应聘程序，求应聘者被淘汰 的事件及淘汰率。
(1)应聘者需全部参加这4项考核，若全部通过，则被 录用，否则被淘汰。
(2)应聘者只要有一项考核没通过，就没有资格参加下 一项的考核，随即被淘汰。
般用 A、B、C …来表示。
随机事件理解成：可能发生、也可能不发生的事件
样本空间Ω包含了所有的样本点，称为必然事件；
空集 不包含任何样本点，称为不可能事件。
它们是特殊的随机事件
注意 “不可能事件”与“发生可能性非常小的事件”的
区别
区别样本点与随机事件 样本点 ←→ 元素 随机事件←→ 集合
(1) 样本点也是一个随机事件，它是不可分 割的基本的随机事件 (2) 随机事件是由样本点构成的，它可以分 解成样本点(基本随机事件) 的并集
= { A1∪A2∪…∪An }
n
i1
Ai
lim
n
i 1
Ai
{ L、R 两点接通 }
= { A1∩A2∩…∩An }
n
i1
Ai
lim
n
i 1
Ai
例1.1.5 抛掷均匀硬币三次，定义随机事件：
A1 = {第一次是正面}={HHH，HHT，HTH，HTT}， A2 = {三次都是同一面}={HHH，TTT}，
样本空间的元素，即 E 的每一个可能的
结果称为 E 的样本点，用符号 来表示。
同一个随机试验可以构造出不同的样本空间
E1 ：抛均匀硬币三次，以正面 H 出现的次数来 构造样本空间 Ω1′：{ 0，1，2，3，}
E 2 ：抛一个均匀硬币三次，观察正面 ( H ) ，
反面 ( T ) 出现的情况 Ω2 ：{ HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 有限个点
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)； (3) 分配律 A∪( B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )，
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C )。
思考： (A∪B) – (A∩B) = ？
3. 事件的关系与运算可以推广到有限、 以及无穷个多个随机事件的情形。
·· ·
…
L
R
L
R
{ L、R 两点接通 }
E6 ：任意找出一名同学，测量身高、体重 Ω6 ：{ ( x,y ) | a ≤ x ≤ b，c ≤ y ≤ d }
样本空间可以是：有限 (或无限) 多个离散的点； 有限 (或无限) 的区间；
样本空间还可以是：二维以及任意维数的集合。
随机事件 样本点的集合，即随机试验 E 的样本
空间 Ω 的子集，称为E 的随机事件。一
并集 交集 差集 补集 (余集)
概率论含义
A 发生将导致B 发生 A、B 不可能同时发生 A、B 至少有一个发生
A、B 同时发生 A 发生而B 不发生
A 不发生
De Morgan(德莫根) 公式 AUB AI B , AI B AUB
2. 类似于集合运算，随机事件的运算同时也满足
(1) 交换律 A∪B = B∪A ， AB = BA ； (2) 结合律 (A∪B)∪C = A∪( B∪C )，
(8) 至少有两个发生， AB∪BC∪AC 或 ABC ABC ABC ABC
(9) 最多只有一个发生， AB U BC U AC or ABC ABC ABC ABC
(10) 最多有两个发生， A U B U C or ABC or A B C A B C A B C A B C ABC ABC ABC □
解：设应聘者被淘汰的事件为A,
Ai表示第i项考核没通过， i=1,2,3,4 则 (1) A= (2) A= A1 U A2 U A3 U A4 至于淘汰率A1就是A1A下2 节A所1 A要2 A3讨论A1 A的2 A概3A率4 。
A = { 第一次是正面 } = { HHH，HHT，HTH，HTT }
B = { 第二次是正面 } = { HHH，HHT，THH，THT }
C = { 第三次是反面 } = { HHT，HTT，THT，TTT }
D = { 正面比反面多一次 } = { HHT，HTH，THH，} E = { 正面反面都出现 } = {HHT，HTH， HTT， THH， THT， TTH }
E 3 ： 记录一小时落在地球上某一区域的粒子数 Ω3 ：{ 0，1，2，3，······} 可数个点
E 4 ：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命 Ω4 ：{ t | t ≥ 0 } 不可数点构成的区间
E5 ：从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出 一张，观察它的花色和点数
Ω5 ：{ ( x,y ) | x 表示花色，有 4 种可能 ； y 是点数，1 ≤ y ≤ 13 }
A1∩A2 = { HHH }；
A1 I A2 = {THH，THT，TTH } 。
□
例1.1.6 把 A∪B 分解成互不相容的事件的和。
B A
Ω
解. ① ②
A∪B = A + (B – A) = A + (B – AB) ； A∪B = (A – B) + AB + (B – A)
= (A – AB) + AB + (B – AB) 。
关于“差事件”的理解
1. A∪B 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的并集； AB 的样本点是 A 的样本点与B 的样本点的交集；
A – B 的样本点是从 A 中去掉同时也属于B 的样本点。 2. 如果 A B ，则 A – B 是不可能事件。
3. 事件的运算不能等同于数的运算，如： (A – B) + B = A∪B ，而不能是 A ；
利用事件的交来表示： A∪B = ( A I B)
□
例1.1.7 A、B、C 是三个随机事件，利用事件的 关系与运算表示出下面新的随机事件。
(1) A 发生而 B 与 C 都不发生， A – B – C 或 A – (B∪C) 或 A B C
(2) A、B都发生而 C 不发生， AB – C 或 AB – A 中的某一个样本点发生
样本点 发生 所有包含这个 的随机事件都
发生
例1.1.2 抛掷均匀硬币三次，考虑随机事件 A = { 第一次出现的是正面H }
A 包含了四个样本点：{ HHH，HHT，HTH，HTT }； 如果 A 发生，说明它们之中的某一个发生了。
反之，如果样本点 { HHT }发生，则不仅表明随机事件 A = { 第一次是正面 } 发生了，同时，随机事件 B = { 第二次 是正面 }、C = { 第三次是反面 }、 D = { 正面比反面多出现 一次 }、 E = {正面反面都出现 }、 F = {正面比反面先出现 } 等等也都发生了。
四. 随机事件的运算规则
随机事件与集合的对照关系
符号 集合论含义
Ω
A
A
空间或全集 空集 元素 子集
是 A 的元素
概率论含义
样本空间或必然事件 不可能事件 样本点(基本事件) 随机事件
事件 A 包含样本点
符号 集合论含义
AB
AB =
A∪B A∩B A–B
A
A 是 B 的子集 A、B 不相容
讨论： A1∪A2，A1 – A2，A2 – A1，A1∩A2，A1 I A2 。 解. Ω = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH，
THT，TTH，TTT }
A1∪A2 = { HHH，HHT，HTH，HTT，TTT }；
A1 – A2 = { HHT，HTH，HTT }；
A2 – A1 = { TTT }；
A∪A = A， A∪ = A， A∪ Ω = Ω
当 A、B 不相容时，记成： A∪B = A＋B
4. 事件的交
A
B
Ω
新事件。它的发生表示这些事件中
每一个都要发生，记为 A∩B 或 AB
A = { H }，B = { H } ； AB = { HH} 前两次都是正面
特别的，对任意的随机事件 A ，
B 包含在 C 中，即 B C ；
A 与 C 不相容，因此 A 与 B 也不会相容。
□
3. 事件的和
AB
Ω
新事件。它的发生表示这些事件中至少有 一个发生，记为 A∪B 。
A = { HHH }，B = { TTT } ；
A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面 特别的，对任意的随机事件 A ，
§1.2 样本空间与事件
什么是随机试验？
如果这个试验满足下述条件： （1）试验在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知
道的，且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能
结果中的一个，但不能肯定出现哪一个结 果。
二.样本空间和随机事件
随机试验 E 的所有可能的基本结果组成的 集合称为 E 的样本空间，用符号Ω来表示。
6. 对立事件
A
A
Ω
新事件，它的发生表示原来的事件不发生，
记为 A 。
A A A B AB AA
例如， A= { HHH，TTT } ，则 A 的对 立事件的样本点是{ HHT，HTH，HTT， THH，THT，TTH }即，三次出现的结果不 全相同(或正反面都出现)。
F = { 正面比反面先出现 } = { HHH，HHT，HTH，HTT } □
三. 事件的关系与运算
两种关系、四个运算
1. 事件的包含关系
如果 A 发生必然导致 B 的发生，则称 A 包含
在 B 中， 记为 A B 。即 A 的每个样本点也都
属于 B
A = { HHH }，三次都是正面，
AB
互斥
利用交事件表示不相容关系： AB =
例1.1.3 一次考试中某同学有 4 个判断题不会做， 只能靠猜测。猜对的题数 X 是随机的，可能是 { 0，1，2，3，4 } 中的某一个。
下面的几个事件： A = { X = 0 }， B = { X = 4 }，C = { X ≥ 3 }
显然它们之间的关系是：
A∩A = A， A∩ = ，A∩ Ω = A
练习1.1.4 等公交车的时间是随机的。以T 记某人从到
车站开始直到车来为止所需要等待的时间。
下面的三个事件： A = {T ≤ 5 }，B = { 5 ＜T ≤ 15 }，C = {T ≤ 10 }
0
5
10
15
(1) 讨论随机事件 A、B、C 的关系； (2) 讨论它们之间彼此的和、交运算。
5. 事件的差
A
B
Ω
新事件。它表示一个发生而另一个不会 发生，记为 A – B 。
A = { HH }，B = { T } ；
A – B = { HHH} 三次都是正面
A – B = A – AB 特别的，对任意的随机事件 A ，
A – = A， A – Ω = ， A – A =
(3) A、B、C 都发生， ABC
(4) A、B、C 都不发生， A B C or A U B U C (5) 恰好只有一个发生， A B C A B C A B C (6) 恰好只有两个发生， ABC ABC ABC (7) 至少有一个发生，A∪B∪C 或
A B C A B C A B C ABC ABC ABC ABC
Ω
B = { H } ， 第一次是正面。
特别的，对任意随机事件 A ，有 A Ω
2. 事件的互不相容(互斥) 关系
表示这些事件不会同时发生。
即它们没有公共样本点
A
B
Ω
A = { HHH }，三次都是正面，
B = { TTT } ， 三次都是反面。
特别的，不可能事件 与任意一个随机事件 A
讨论事件之间的关系与运算，目的就是想通过事件之间的运 算来进一步表示更复杂的事件。
例1.1.8 某企业招聘，要求应聘人要全部通过4项考核， 才能被录用。就以下两种应聘程序，求应聘者被淘汰 的事件及淘汰率。
(1)应聘者需全部参加这4项考核，若全部通过，则被 录用，否则被淘汰。
(2)应聘者只要有一项考核没通过，就没有资格参加下 一项的考核，随即被淘汰。
般用 A、B、C …来表示。
随机事件理解成：可能发生、也可能不发生的事件
样本空间Ω包含了所有的样本点，称为必然事件；
空集 不包含任何样本点，称为不可能事件。
它们是特殊的随机事件
注意 “不可能事件”与“发生可能性非常小的事件”的
区别
区别样本点与随机事件 样本点 ←→ 元素 随机事件←→ 集合
(1) 样本点也是一个随机事件，它是不可分 割的基本的随机事件 (2) 随机事件是由样本点构成的，它可以分 解成样本点(基本随机事件) 的并集
= { A1∪A2∪…∪An }
n
i1
Ai
lim
n
i 1
Ai
{ L、R 两点接通 }
= { A1∩A2∩…∩An }
n
i1
Ai
lim
n
i 1
Ai
例1.1.5 抛掷均匀硬币三次，定义随机事件：
A1 = {第一次是正面}={HHH，HHT，HTH，HTT}， A2 = {三次都是同一面}={HHH，TTT}，
样本空间的元素，即 E 的每一个可能的
结果称为 E 的样本点，用符号 来表示。
同一个随机试验可以构造出不同的样本空间
E1 ：抛均匀硬币三次，以正面 H 出现的次数来 构造样本空间 Ω1′：{ 0，1，2，3，}
E 2 ：抛一个均匀硬币三次，观察正面 ( H ) ，
反面 ( T ) 出现的情况 Ω2 ：{ HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 有限个点
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)； (3) 分配律 A∪( B∩C ) = (A∪B)∩(A∪C )，
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C )。
思考： (A∪B) – (A∩B) = ？
3. 事件的关系与运算可以推广到有限、 以及无穷个多个随机事件的情形。
·· ·
…
L
R
L
R
{ L、R 两点接通 }
E6 ：任意找出一名同学，测量身高、体重 Ω6 ：{ ( x,y ) | a ≤ x ≤ b，c ≤ y ≤ d }
样本空间可以是：有限 (或无限) 多个离散的点； 有限 (或无限) 的区间；
样本空间还可以是：二维以及任意维数的集合。
随机事件 样本点的集合，即随机试验 E 的样本
空间 Ω 的子集，称为E 的随机事件。一
并集 交集 差集 补集 (余集)
概率论含义
A 发生将导致B 发生 A、B 不可能同时发生 A、B 至少有一个发生
A、B 同时发生 A 发生而B 不发生
A 不发生
De Morgan(德莫根) 公式 AUB AI B , AI B AUB
2. 类似于集合运算，随机事件的运算同时也满足
(1) 交换律 A∪B = B∪A ， AB = BA ； (2) 结合律 (A∪B)∪C = A∪( B∪C )，
(8) 至少有两个发生， AB∪BC∪AC 或 ABC ABC ABC ABC
(9) 最多只有一个发生， AB U BC U AC or ABC ABC ABC ABC
(10) 最多有两个发生， A U B U C or ABC or A B C A B C A B C A B C ABC ABC ABC □
解：设应聘者被淘汰的事件为A,
Ai表示第i项考核没通过， i=1,2,3,4 则 (1) A= (2) A= A1 U A2 U A3 U A4 至于淘汰率A1就是A1A下2 节A所1 A要2 A3讨论A1 A的2 A概3A率4 。