带电粒子在平行板电容器极板间的运动知识点

五、带电粒子在平行板电容器极板间的运动
带电粒子在平行板电容器极板间的运动主要考查的内容 主标题：带电粒子在平行板电容器极板间的运动
副标题：剖析考点规律，明确高考考查重点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：带电粒子、电容器
难度：3
重要程度：5
内容：
考点剖析：
带电粒子在平行板电容器极板间的运动和静止问题是高考经常考的问题，这类问题一般给出一个带电粒子（或油滴、小球等）在平行板电容器极板间的运动和静止，要求考生求有关物理量、判断某些物理量的变化情况、大小比较关系等。

在分析这类问题时应当注意：
1.平行板电容器在直流电路中是断路，它两板间的电压与它相并联的用电器（或支路）的电压相同。

2.如将电容器与电源相接、开关闭合时，改变两板距离或两板正对面积时，两板电压不变，极板的带电量发生变化。

如开关断开后，再改变两极板距离或两极板正对面积时，两极带电量不变，电压将相应改变。

3.平行板电容器内是匀强电场，可由d
U E
求两板间的电场强度，从而进—步讨论两极板间电荷的平衡和运动。

典型例题 例1．（2013·全国）一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d ，极板分别与电池两极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)。

小孔正上方d /2处的P 点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回。

若将下极板向上平移d /3，则从P 点开始下落的相同粒子将（ ）
A.打到下极板上
B.在下极板处返回
C.在距上极板错误!未找到引用源。

处返回
D.在距上极板2d /5处返回
【解析】D.根据题述，粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器后电场力
做负功。

设粒子带电量为q，电池两极之间的电压为U，由动能定理，mg(d+d/2)-qU=0。

若将下极板向上平移d/3，一定不能打在下极板上。

设粒子在距上极板nd处返回，则电场力做功为-3qnU/2，由动能定理，mg(nd+d/2)- 3qnU/2=0。

解得n=2/5，即粒子将在距上极板2d/5处返回，选项D正确。

例2．(2014·天津卷) 同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型。

M、N为两块中心开有小孔的平行金属板。

质量为m、电荷量为＋q的粒子A(不计重力)从M板小孔飘入板间，初速度可视为零。

每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零。

两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离。

A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化。

不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。

求：
(1)A运动第1周时磁场的磁感应强度B1的大小；
(2)在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率P n；
(3)若有一个质量也为m、电荷量为＋kq(k为大于1的整数)的粒子B(不计重力)与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变。

下图中虚线、实线分别表示A、B的运动轨迹。

在B的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A、B的运动轨迹，并经推导说明理由。

A B C D
【解析】(1) 1
R
2mU
qπ
qU
R2
nqU
m
(3)A 图，理由略
(1)设A经电场第1次加速后速度为v1，由动能定理得qU＝1
2
mv21－0①
A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
qv1B1＝
2
1 mv
R
②
由①②得
B1＝1
R 2mU
q
③
(2)设A 经n 次加速后的速度为v n ，由动能定理得
nqU ＝12mv 2n －0④
设A 做第n 次圆周运动的周期为T n ，有 T n ＝2πn
R v ⑤ 设在A 运动第n 周的时间内电场力做功为W n ，则
W n ＝qU ⑥
在该段时间内电场力做功的平均功率为
P n ＝n n
W T ⑦ 由④⑤⑥⑦解得
P n ＝πqU R
2nqU m ⑧ (3)A 图能定性地反映A 、B 运动的轨迹。

A 经过n 次加速后，设其对应的磁感应强度为
B n ，A 、B 的周期分别为T n 、T ′，综合②、⑤式并分别应用A 、B 的数据得
T n ＝2πn
m qB T ′＝2πn m kqB ＝n T k
由上可知，T n 是T ′的k 倍，所以A 每绕行1周，B 就绕行k 周。

由于电场只在A 通过时存在，故B 仅在与A 同时进入电场时才被加速。

经n 次加速后，A 、B 的速度分别为v n 和v ′n ，考虑到④式
v n 2nqU m
v ′n 2nkqU m k n 由题设条件并考虑到⑤式，对A 有
T n v n ＝2πR
设B 的轨迹半径为R ′，有
T ′v ′n ＝2πR ′
比较上述两式得
R ′＝R k 上式表明，运动过程中B 的轨迹半径始终不变。

由以上分析可知，两粒子运动的轨道如图A
所示。

例3.（15·新课标2卷）如图，两平行的带电金属板水平放置。

若在两板中间a 点从
静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态。

现将两板绕过a 点的轴（垂直于纸面）逆时针旋转45°，再由a 点从静止释放一同样的微粒，改微粒将( )
A ．保持静止状态 B.向左上方做匀加速运动
C.向正下方做匀加速运动
D.向左下方做匀加速运动
【解析】D.现将两板绕过a 点的轴（垂直于纸面）逆时针旋转时，两板间的电场强度不变，电场力也不变，所以现将两板绕过a 点的轴（垂直于纸面）逆时针旋转后，带电微粒受两大小相等的力的作用，合力方向向左下方，故微粒将向左下方做匀加速运动，故D 正确，
A 、
B 、
C 错误。

例4.（15·海南卷）如图，一充电后的平行板电容器的两极板相距l ，在正极板附近有一质量为M 、电荷量为q （q ＞0）的粒子，在负极板附近有另一质量为m 、电荷量为-q 的粒子，在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动。

已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距25
l 的平面。

若两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则M ：m 为（ ） A. 3:2 B. 2：1 C. 5:2 D. 3:1
【解析】A.设电场强度为E ，两粒子的运动时间相同，对M 有，a =Eq M ，25l =12Eq M l ；对m 有a ′=Eq m
，35l =12Eq m t 2，联立解得M m =32，A 正确。

例5.（15·海南卷）如图，两电荷量分别为Q （Q ＞0）和-Q 的点电荷对称地放置在x 轴上原点O 的两侧，a 点位于x 轴上O 点与点电荷Q 之间，b 位于y 轴O 点上方。

取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（ ）
A.b 点的电势为零，电场强度也为零
B.正的试探电荷在a 点的电势能大于零，所受电场力方向向右
–
q –q
C.将正的试探电荷从O 点移到a 点，必须克服电场力做功
D.将同一正的试探电荷先后从O 、b 点移到a 点，后者电势能的变化较大
【解析】BC.因为等量异种电荷在其连线的中垂线上的电场方向为水平指向负电荷，所以电场方向与中垂线方向垂直，故中垂线为等势线，因为中垂线延伸到无穷远处，所以中垂线的电势为零，故b 点的电势为零，但是电场强度不为零，A 错误；等量异种电荷连线上，电场方向由正电荷指向负电荷，方向水平向右，在中点O 处电势为零，O 点左侧电势为正，右侧电势为负，又知道正电荷在正电势处电势能为正，故B 正确；O 点的电势低于a 点的电势，电场力做负功，所以必须克服电场力做功，C 正确；O 点和b 点的电势相等，所以先后从O 、b 点移到a 点，电场力做功相等，电势能变化相同，D 错误。

例6.如图所示，M 、N 是平行板电容器的两个极板，R 0为定值电阻，R 1、R 2为可调电阻，用绝缘细线将质量为m 、带正电的小球
悬于电容器内部。

闭合电键S ，小球静止时受到悬线的拉力为F 。

调节R 1、R 2，关于F 的大小判断正确的是（ ）
A ．保持R 1不变，缓慢增大R 2时，F 将变大
B ．保持R 1不变，缓慢增大R 2时，F 将变小
C ．保持R 2不变，缓慢增大R 1时，F 将变大
D ．保持R 2不变，缓慢增大R 1时，F 将变小
【解析】B.保持R 1不变，缓慢增大R 2时，由于R 0和R 2串联，R 0两端的电压减小，即平行板电容器的两个极板的电压U 减小，带电小球受到的电场力U F qE q d
==⋅电减小, 悬线的拉力22()F mg F =+电减小，选项B 正确，A 错误。

保持R 2不变，缓慢增大R 1时，R 0两端的电压不变，F 电不变，悬线的拉力为F 不变，C 、D 错误。

例7.如图所示，平行板电容器与电动势为E 的直流电源（内阻不计）连接，下极板接地。

一带电油滴位于电容器中的P 点且恰好处于平衡状态。

现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离（ ）
A.带电油滴将沿竖直方向向上运动
B.P 点的电势将降低
C.带电油滴的电势能将减少
D.若电容器的电容减小，则极板带电量将增大
【解析】B.电容器两端电压U 不变，由公式U E d
=可知，场强变小，电场力变小，带电油滴将沿竖直方向向下运动，A 错； P 到下极板距离d 不变，而强场E 减小，由公式U=Ed 知，P 与正极板的电势差变小，又因为下极板电势不变，所以P 点的电势降低，B 对；由于电场力向上，而电场方向向下，可以推断油滴带负电，又P 点的电势降低，所以油滴的电势能增大，C 错；图中电容器两端电压U 不变，电容C 减小时，由公式Q=CU 可知，带电量减小，D 错。

例8.一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比。

若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率v 匀速下降；若两极板间的电压为U ，经一段时间后，油滴以速率v 匀速上升。

若两极板间电压为－U ，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是 （ ）
E P ● E
S R 0 R 1 R 2 M N
A ．2v 、向下
B ．2v 、向上
C ．3 v 、向下
D ．3 v 、向上
【解析】C.当不加电场时，油滴匀速下降，即mg kv f ==；当两极板间电压为U 时，油滴向上匀速运动，即mg kv F +=电，解得mg F 2=电。

当两极间电压为－U 时，电场力方向反向，大小不变，油滴向下运动，当匀速运动时，'kv mg F =+电，解得v ′=3v ，故C 正确。