运筹学ch2.4
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20
信息学院
罗捍东
3、最优性定理： 若 X 和 Y 分别是（LP）和 （LD）的可行解，且有 CX Y b ，则 X 和 Y 分别是（LP）和（LD）的最优解 。
证明：若 CX Y b
由弱对偶性（LP）和（LD）的任何可行 解 X、Y 均满足：
CX Yb CX Yb
即 X 和 Y分别是LP和LD的最优解 。
15
信息学院
罗捍东
求LP的对偶问题的原则是：
1: 标准对标准 ； 2: 非标准对非标准 ； 3: 等式对无约束 。 例1: 求线性规划问题的对偶问题
min z 2 x1 3x2 5 x3 x4 x1 x2 3x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 s.t x2 x3 x4 6 x1 0；x2，x3 0；x4为无约束
28
证明： （LP）和（LD）标准化为： min w Yb max z CX
AX X s b s.t. X , Xs 0
设B是原问题的一个可行基，于是A＝(B,N)， 所以原问题可以改写为：
三 、对偶理论的基本定理
min w Yb YA C s.t. Y 0
min w Yb YA Ys C s.t. Y , Ys 0
18
标准化后分别为：
max z CX AX X s b s.t. X , Xs 0
信息学院
罗捍东
1、弱对偶性：若 X 和 Y 分别是原问题（LP）及 对偶问题（LD）的可行解，则有 CX Y b 。 证明：因 X 和 Y 分别是LP及LD的可行解 所以
AX b 和 YA C
则 YAX Yb 和 YAX CX
即 CX Y AX Y b
19
பைடு நூலகம்
信息学院
罗捍东
2、无界性：若原问题(对偶问题）为无界解， 则对偶问题(原问题）无可行解。
S S
证明：（LP）和（LD）标准化为：
max z CX
min w Yb
AX X s b YA Ys C s.t. s.t. X , Xs 0 Y , Ys 0
24
信息学院
则有:
罗捍东
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z CX (YA Ys ) X YAX Ys X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ W Yb Y ( AX X s ) YAX YX s
6 y2 y3 2 出让收益应不低于 用同等数量的资源 5 y1 自己生产的利润。 2 y2 y3 1
• 收购方的意愿：
min w 15 y1 24 y2 5 y3
Ⅰ 原料A 原料B 设备C 利润(百元) 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 资源限量 15公斤 24公斤 5台时
x1＋3x5 4 2x1 +x5 =3
∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T , min W=5
27
信息学院
XB
罗捍东
XN
6、原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解。
0 Ys1
Xs 1 1 CN CB B N CB B
Ys 2
Y
YA Ys C s.t. Y , Ys 0
x1 x2 3 x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 x2 x3 x4 6 x1 0；x2，x3 0；
17
信息学院
设原问题（LP）
max z CX AX b s.t. X 0
罗捍东
对偶问题（LD）
x1 X x2
A (aij ) mn
b1 b b2 b3
6
信息学院
特点：
罗捍东
其它形式 的对偶
1.
max Z min W
?
2.资源向量b 价值向量C
3.一个约束条件 一个变量
4.max Z的LP约束" " min W的LP是 " "的约束
max目标函数个约束约束约束约束个变量变量变量自由变量目标函数的价值向量约束条件的资源向量原问题或对偶问题对偶问题或原问题min目标函数个变量变量变量自由变量个约束约束约束约束约束条件的资源向量目标函数的价值向量max等式对无约束
信息学院
罗捍东
第四节 、对偶理论
一、对偶问题的提出
例：某工厂利用三种资源生产两种产品， 有关数据如下表：
16
信息学院
解：对偶问题为
罗捍东
2 x1 3 x2 5 x3 x4
max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2 2 y1 y3 3 s.t 3 y1 2 y2 y3 5 y y y 1 3 1 2 y1 0, y2 0, y3为无约束
* 1
于是 CX＊=Y*b
由最优性定理知X＊，Y*是最优解。
23
信息学院
罗捍东
ˆ ˆ 5、互补松弛性：若 X , Y 分别是原问题 (LP)与对偶问题(LD)的可行解， X S , YS 分别 ˆ ˆ 为(LP)、(LD)的松弛变量，则 X , Y 为最优 ˆ ˆ 解的充分必要条件是： YX 0, Y X 0
对 偶 问 题
5
信息学院
原问题
max Z CX AX b s.t. X 0
罗捍东
对偶问题
min W Yb YA C s.t. Y 0
一 般 规 律
3个约束 2个变量
2个约束 3个变量
C (c1 , c2 ) Y ( y1 , y2 , y3 )
必要性：
ˆ ˆ 若 X , Y 为最优解
于是
则
ˆ ˆ CX Yb
ˆ ˆ Ys X YX s ˆ ˆ 所以 Y X 0 , YX 0 s s ˆ ˆ 充分性：若 Y X 0 , YX 0
s s
则
ˆ ˆ CX Yb
25
ˆ ˆ 所以 X , Y 为最优解
信息学院
罗捍东
例2: min w 2 x1 3x 2 5 x3 2 x4 3x5
信息学院
解：对偶问题为
罗捍东
将y1﹡，y2﹡代入，知(2), (3), (4)为严格不等式
∴ x2 = x 3 = x4 = 0 由y1﹡，y2﹡﹥0知 原约束为等式:
max z 4 y1 3 y2
(1) y1 2 y2 2 y y 3 (2) 1 2 2 y1 3 y2 5 (3) (4) y1 y2 2 3 y1 y2 3 (5) y1, y 2 0
max Z CX
即：
A b X b s.t. A X 0
12
信息学院
罗捍东
根据对称形式的对偶模型,可直接写出上 述问题的对偶问题:
b min W (Y 1,Y 2 ) -b A (Y 1,Y 2 ) C s.t. A Y 1 0 ,Y 2 0
13
信息学院
罗捍东
min W (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C s.t. Y 1 0, Y 2 0
令Y
Y 1 Y 2，得对偶问题为：
min W Yb YA C s.t. Y 无约束
14
信息学院
原问题（或对偶问题）
4
信息学院 罗捍东 max z 2 x1 x 2
原 问 题
5x 2 15 6x1 2 x 2 24 s.t. x1 x 2 5 x1, x 2 0 一对对偶问题
厂 家
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3 2 收 购 s.t 5 y1 2 y2 y3 1 方 y1 , y2 , y3 0
罗捍东
定理:(对称性) 对偶问题的对偶是原问题。 证明：原问题（LP）
对偶问题（LD）
max z CX AX b s.t. X 0
将（LD）化为：
min w Yb YA C s.t. Y 0
9
信息学院
罗捍东
max( w) b Y
T T
max( w) Yb YA C s.t. Y 0
AT Y T C T s.t. T Y 0
根据对称形式的变换关系，求上式的对偶问 题是：
min Z X
C T T X A bT s.t.
T T
max z CX
即：
X 0
T
AX b s.t. X 0
产品Ⅰ 原料A 原料B 设备C 利润(百元) 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1
1
资源限量 15公斤 24公斤 5台时
信息学院
设
Ⅰ产量––––– Ⅱ产量–––––
罗捍东
如何安排生产， 使获利最多？
x2
x1
max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 s.t x1 x 2 5 x1, x 2 0
10
信息学院
标准形式的对偶：
原问题
罗捍东
对偶问题
max
Z CX
min
W Yb
AX b s.t. X 0
YA C s.t. Y 无约束
11
信息学院
推导:
原问题化为：
罗捍东
max Z CX AX b s.t. AX b X 0
x1 x 2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x4 x5 3 x1, x 2, x , x , x 0 5 3 4
若其对偶问题的最优解为： y1﹡=4/5 , y2﹡=3/5 , Z﹡=5 用互补松弛定理求最优解。
26
注意：原问题和对偶问题皆无可行解。
max z x1 x 2 min w y1 y 2 x1 x 2 1 y1 y 2 1 例 x 1 x 2 1 y 1 y 2 1 x1, x 2 0 y1, y 2 0
目标函数 max Z m个约束 约束 约束 约束 n个变量 变量 0 变量 0 自由变量 目标函数的价值向量 约束条件的资源向量
罗捍东
对偶问题（或原问题）
一般形式的对偶关系用表格表示为：
max Z
min W
目标函数 min W m个变量 变量 0 变量 0 自由变量 n个约束 约束 约束 约束 约束条件的资源向量 目标函数的价值向量
(C 0) CB B (A I) 0
1
即C-CB B A 0,-CB B 0
1
1
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信息学院
令
则 Y*
* 1
罗捍东
* *
Y CB B , 则Y A C,Y 0
1
CB B 就是对偶问题(LD)的可行解 同时，W Y *b C B1b B Z CX CB B b
厂 家
厂家考虑将资源转让出去？
2
信息学院
设：原料A —— 原料B ––––
罗捍东
设备C––––
y1百元／公斤 y 2百元／公斤 y 3百元／台时
付出的代价最小， 且让对方能接受。
收 购 方
出让收益应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
3
信息学院
• 厂家能接受的条件：
罗捍东
单位产品Ⅰ出让 收入不低于2百元 单位产品Ⅱ出让 收入不低于1百元
21
信息学院
罗捍东
4、对偶定理（强对偶性）：若原问题及其对 偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解， 且它们最优解的目标函数值相等。 max z CX
AX X s b s.t. X , Xs 0 设X＊为（LP）的最优解， 则其相应最优基B下检验数为：
证明：LP标准化为
5.变量都是非负限制
7
信息学院
罗捍东
二、原问题与对偶问题的关系
当原问题与对偶问题只含有不等式约束时， 称为对称形式的对偶。
原问题 对偶问题
max Z CX AX b s.t. X 0
min W Yb YA C s.t. Y 0
8
称为标准的对偶问题:
信息学院
信息学院
罗捍东
3、最优性定理： 若 X 和 Y 分别是（LP）和 （LD）的可行解，且有 CX Y b ，则 X 和 Y 分别是（LP）和（LD）的最优解 。
证明：若 CX Y b
由弱对偶性（LP）和（LD）的任何可行 解 X、Y 均满足：
CX Yb CX Yb
即 X 和 Y分别是LP和LD的最优解 。
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罗捍东
求LP的对偶问题的原则是：
1: 标准对标准 ； 2: 非标准对非标准 ； 3: 等式对无约束 。 例1: 求线性规划问题的对偶问题
min z 2 x1 3x2 5 x3 x4 x1 x2 3x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 s.t x2 x3 x4 6 x1 0；x2，x3 0；x4为无约束
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证明： （LP）和（LD）标准化为： min w Yb max z CX
AX X s b s.t. X , Xs 0
设B是原问题的一个可行基，于是A＝(B,N)， 所以原问题可以改写为：
三 、对偶理论的基本定理
min w Yb YA C s.t. Y 0
min w Yb YA Ys C s.t. Y , Ys 0
18
标准化后分别为：
max z CX AX X s b s.t. X , Xs 0
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1、弱对偶性：若 X 和 Y 分别是原问题（LP）及 对偶问题（LD）的可行解，则有 CX Y b 。 证明：因 X 和 Y 分别是LP及LD的可行解 所以
AX b 和 YA C
则 YAX Yb 和 YAX CX
即 CX Y AX Y b
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2、无界性：若原问题(对偶问题）为无界解， 则对偶问题(原问题）无可行解。
S S
证明：（LP）和（LD）标准化为：
max z CX
min w Yb
AX X s b YA Ys C s.t. s.t. X , Xs 0 Y , Ys 0
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则有:
罗捍东
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Z CX (YA Ys ) X YAX Ys X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ W Yb Y ( AX X s ) YAX YX s
6 y2 y3 2 出让收益应不低于 用同等数量的资源 5 y1 自己生产的利润。 2 y2 y3 1
• 收购方的意愿：
min w 15 y1 24 y2 5 y3
Ⅰ 原料A 原料B 设备C 利润(百元) 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 资源限量 15公斤 24公斤 5台时
x1＋3x5 4 2x1 +x5 =3
∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T , min W=5
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XB
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XN
6、原问题的检验数行对应对偶问题的一个基解。
0 Ys1
Xs 1 1 CN CB B N CB B
Ys 2
Y
YA Ys C s.t. Y , Ys 0
x1 x2 3 x3 x4 5 2 x 2 x x 4 1 3 4 x2 x3 x4 6 x1 0；x2，x3 0；
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设原问题（LP）
max z CX AX b s.t. X 0
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对偶问题（LD）
x1 X x2
A (aij ) mn
b1 b b2 b3
6
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特点：
罗捍东
其它形式 的对偶
1.
max Z min W
?
2.资源向量b 价值向量C
3.一个约束条件 一个变量
4.max Z的LP约束" " min W的LP是 " "的约束
max目标函数个约束约束约束约束个变量变量变量自由变量目标函数的价值向量约束条件的资源向量原问题或对偶问题对偶问题或原问题min目标函数个变量变量变量自由变量个约束约束约束约束约束条件的资源向量目标函数的价值向量max等式对无约束
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第四节 、对偶理论
一、对偶问题的提出
例：某工厂利用三种资源生产两种产品， 有关数据如下表：
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解：对偶问题为
罗捍东
2 x1 3 x2 5 x3 x4
max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2 2 y1 y3 3 s.t 3 y1 2 y2 y3 5 y y y 1 3 1 2 y1 0, y2 0, y3为无约束
* 1
于是 CX＊=Y*b
由最优性定理知X＊，Y*是最优解。
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ˆ ˆ 5、互补松弛性：若 X , Y 分别是原问题 (LP)与对偶问题(LD)的可行解， X S , YS 分别 ˆ ˆ 为(LP)、(LD)的松弛变量，则 X , Y 为最优 ˆ ˆ 解的充分必要条件是： YX 0, Y X 0
对 偶 问 题
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原问题
max Z CX AX b s.t. X 0
罗捍东
对偶问题
min W Yb YA C s.t. Y 0
一 般 规 律
3个约束 2个变量
2个约束 3个变量
C (c1 , c2 ) Y ( y1 , y2 , y3 )
必要性：
ˆ ˆ 若 X , Y 为最优解
于是
则
ˆ ˆ CX Yb
ˆ ˆ Ys X YX s ˆ ˆ 所以 Y X 0 , YX 0 s s ˆ ˆ 充分性：若 Y X 0 , YX 0
s s
则
ˆ ˆ CX Yb
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ˆ ˆ 所以 X , Y 为最优解
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例2: min w 2 x1 3x 2 5 x3 2 x4 3x5
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解：对偶问题为
罗捍东
将y1﹡，y2﹡代入，知(2), (3), (4)为严格不等式
∴ x2 = x 3 = x4 = 0 由y1﹡，y2﹡﹥0知 原约束为等式:
max z 4 y1 3 y2
(1) y1 2 y2 2 y y 3 (2) 1 2 2 y1 3 y2 5 (3) (4) y1 y2 2 3 y1 y2 3 (5) y1, y 2 0
max Z CX
即：
A b X b s.t. A X 0
12
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根据对称形式的对偶模型,可直接写出上 述问题的对偶问题:
b min W (Y 1,Y 2 ) -b A (Y 1,Y 2 ) C s.t. A Y 1 0 ,Y 2 0
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min W (Y 1 Y 2 ) b (Y 1 Y 2 ) A C s.t. Y 1 0, Y 2 0
令Y
Y 1 Y 2，得对偶问题为：
min W Yb YA C s.t. Y 无约束
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原问题（或对偶问题）
4
信息学院 罗捍东 max z 2 x1 x 2
原 问 题
5x 2 15 6x1 2 x 2 24 s.t. x1 x 2 5 x1, x 2 0 一对对偶问题
厂 家
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3 2 收 购 s.t 5 y1 2 y2 y3 1 方 y1 , y2 , y3 0
罗捍东
定理:(对称性) 对偶问题的对偶是原问题。 证明：原问题（LP）
对偶问题（LD）
max z CX AX b s.t. X 0
将（LD）化为：
min w Yb YA C s.t. Y 0
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罗捍东
max( w) b Y
T T
max( w) Yb YA C s.t. Y 0
AT Y T C T s.t. T Y 0
根据对称形式的变换关系，求上式的对偶问 题是：
min Z X
C T T X A bT s.t.
T T
max z CX
即：
X 0
T
AX b s.t. X 0
产品Ⅰ 原料A 原料B 设备C 利润(百元) 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1
1
资源限量 15公斤 24公斤 5台时
信息学院
设
Ⅰ产量––––– Ⅱ产量–––––
罗捍东
如何安排生产， 使获利最多？
x2
x1
max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 s.t x1 x 2 5 x1, x 2 0
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标准形式的对偶：
原问题
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对偶问题
max
Z CX
min
W Yb
AX b s.t. X 0
YA C s.t. Y 无约束
11
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推导:
原问题化为：
罗捍东
max Z CX AX b s.t. AX b X 0
x1 x 2 2 x3 x4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x4 x5 3 x1, x 2, x , x , x 0 5 3 4
若其对偶问题的最优解为： y1﹡=4/5 , y2﹡=3/5 , Z﹡=5 用互补松弛定理求最优解。
26
注意：原问题和对偶问题皆无可行解。
max z x1 x 2 min w y1 y 2 x1 x 2 1 y1 y 2 1 例 x 1 x 2 1 y 1 y 2 1 x1, x 2 0 y1, y 2 0
目标函数 max Z m个约束 约束 约束 约束 n个变量 变量 0 变量 0 自由变量 目标函数的价值向量 约束条件的资源向量
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对偶问题（或原问题）
一般形式的对偶关系用表格表示为：
max Z
min W
目标函数 min W m个变量 变量 0 变量 0 自由变量 n个约束 约束 约束 约束 约束条件的资源向量 目标函数的价值向量
(C 0) CB B (A I) 0
1
即C-CB B A 0,-CB B 0
1
1
22
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令
则 Y*
* 1
罗捍东
* *
Y CB B , 则Y A C,Y 0
1
CB B 就是对偶问题(LD)的可行解 同时，W Y *b C B1b B Z CX CB B b
厂 家
厂家考虑将资源转让出去？
2
信息学院
设：原料A —— 原料B ––––
罗捍东
设备C––––
y1百元／公斤 y 2百元／公斤 y 3百元／台时
付出的代价最小， 且让对方能接受。
收 购 方
出让收益应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
3
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• 厂家能接受的条件：
罗捍东
单位产品Ⅰ出让 收入不低于2百元 单位产品Ⅱ出让 收入不低于1百元
21
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4、对偶定理（强对偶性）：若原问题及其对 偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解， 且它们最优解的目标函数值相等。 max z CX
AX X s b s.t. X , Xs 0 设X＊为（LP）的最优解， 则其相应最优基B下检验数为：
证明：LP标准化为
5.变量都是非负限制
7
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二、原问题与对偶问题的关系
当原问题与对偶问题只含有不等式约束时， 称为对称形式的对偶。
原问题 对偶问题
max Z CX AX b s.t. X 0
min W Yb YA C s.t. Y 0
8
称为标准的对偶问题:
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