高考题型专题讲解1： 含参数导数问题的分类讨论

上递增．
对于第③种情况，
g
(
x
)
=
0
有两个不等的实根，
x1
=
1 2a
−
和 (a −1)(3a −1)
2a(1− a)
1 x2 = 2a +
(a −1)(3a − 2a (1− a)
1)
．由于不知道两根是否落在定义域
(0,
+∞
)
内，因此要考虑讨论点
2
，
而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．
因为 ， ，所以当 时，有 且 ，此时 x1
1 / 10
况．由于 g(x) 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．
（1）当 a =1时，g (x) 是常数函数，此时 g (x) =1， f ′(x) = 1 > 0 ，于是 f (x) 在(0,+∞) x
上递增．
（2）当a ≠1时，g(x) 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1—— f ′(x) = 0是
（2）若 ln
1 1
+ −
x x
≥
a
x
对
x
∈ ( −1,1)
恒成立，求正数
a
的最大值．
【解析】（1）定义域为(0,+∞) ， f ′(x) = 1 − k = −kx +1 ．
x
x
法 1：①当 k = 0 时， f ′(x) = 1 > 0 ，函数 f (x) 在[1,2] 为增函数，所以 x
． f ( x)min = f (1) = 0
否有实根的问题．由于 g(x) 不能因式分解，所以我们考虑其判别式∆ = 4(a −1)(3a −1) ，判
别式的正负影响到 g(x) = 0 的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当∆ < 0 ，即
1 < a <1时， g (x) = 0 没有实根；②当 ∆ = 0 ，即 a = 1 时， g (x) = 0 有两个相等的实根；③
3
3
当 ∆ > 0 ，即0 < a < 1 或 a >1时， g (x) = 0 有两个不等的实根． 3
对于第①种情况， g(x) = 0 没有实根且永远在 x轴上方，于是 f ′(x) > 0，所以 f (x) 在
(0, +∞ ) 上递增．
对于第②种情况，g (x) = 0 有两个相等的实根 x = 3 ，于是 f ′(x) ≥ 0 ，所以 f (x) 在(0,+∞) 2
f (x) 在 (0, x1) 上递增；由 f ′(x) < 0 可得 x > x1 ，所以 f (x) 在 (x1,+∞) 上递减．
综上所述，当
0
<
a
<
1 3
时，f
(
x
)
在
(
0,
x1
)
和
(
x2
,
+∞
)
上递增，在
(
x1
,
x2
)
上递减；当
1 3
≤
a
≤
1
2 / 10
时， f (x) 在(0,+∞)上递增；当 a >1时， f (x) 在(0, x1) 上递增，在(x1,+∞) 上递减．其中
分类讨论点 2：求导后， f ′(x) = 0有实根，但不清楚 f ′(x) = 0的实根是否落在定义域内，
从而引起分类讨论； 分类讨论点 3：求导后， f ′(x) = 0有实根， f ′(x) = 0的实根也落在定义域内，但不清楚
这些实根的大小关系，从而引起分类讨论． 以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问
②当 k ≠ 0 时，令 f ′(x) = 0 可得 x = 1 ． k
（i）当 1 < 0，即 k < 0 时， f ′(x) > 0在[1,2] 上恒成立，函数 f (x) 在[1,2] 为增函数，所 k
【解析】 的定义域是 ． f (x)
(0,+∞) f ′( x) = 1 + 2a (1− a) x − 2(1− a)
x
． 2a (1− a) x2 − 2(1− a) x +1
= x
令 g (x) = 2a(1− a) x2 − 2(1− a) x +1，则 f ′(x) = 0 的根的情况等价于 g (x) = 0 的根的情
题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨 论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时 的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类 讨论，需要灵活把握．
例1
设 a > 0 ，讨论函数 f ( x) = ln x + a(1− a) x2 − 2(1− a) x 的单调性．
模块 1 整理方法 提升能力
在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见 的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问 题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：
分类讨论点 1：求导后，考虑 f ′(x) = 0是否有实根，从而引起分类讨论；
， ． x1
=
1 2a
−
(a −1)(3a −1) 2a(1− a)
x2
=
1 2a
+
(a −1)(3a −1) 2a (1− a)
【点评】只要按照 3 个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此
外，涉及两根与 0 的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．
例2
已知函数 f ( x) = ln x − kx + k （ k ∈R ）． （1）求 f (x) 在[1,2] 上的最小值；
f ( x) (0, x1 ) ( x2 , +∞)
f ′(x) < 0
可得 x1 < x < x2 ，所以 f (x) 在(x1, x2 ) 上递减．
当 时，有 且 ，此时 ，由 可得 ，所以 a >1
x1 + x2 > 0 x1x2 < 0
x2 < 0 < x1
f ′( x) > 0 0 < x < x1
+
x2
=
1 a
x1 x2
=
1
2a (1−
a)
0< a< 1 3
x1 + x2 > 0 x1x2 > 0
两个根都在定义域内切0 < x1 < x2（因为 x1与 x2的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点
）．由 可得 或 ，所以 在 和 上递增；由 3
f ′( x) > 0 0 < x < x1 x > x2
高考题型专题讲解
专题一 含参数导数问题的分类讨论
导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数 问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题 成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论， 如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．