贵州省凯里市2019届高三上学期适应性月考数学(理)试题Word版含答案

贵州省凯里市2019届高三上学期适应性月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.集合{1}A x x =<，{21}x B x =<，则A
B =（ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．1(0,)2
D ．(1,0)- 2.若1i
z i
=
+，则z z ∙=（ ）
A ．2-
B ．12
C ．2
D ．12
- 3.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则9a 等于（ ） A ．
172 B ．19
2
C ．9
D ．10 4.若双曲线C 的顶点和集点分别为椭圆22
195x y +=的焦点和顶点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．
22159x y -= B ．22195x y -= C ．22154x y -= D ．22
145
x y -= 5.一个底面为正方形的棱锥的三视图如图1所示，则它的外接球的表面积为（ ）
A ．
134
π
B ．2
C ．13π D
6.某程序框图如图2所示，若输出的67S =，则判断框内可填入的是（ ）
A ．9?k <
B ．8?k <
C ．7?k <
D ．6?k <
7.从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A =“取到的两个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则()P B A =（ ） A ．
25 B ．12 C ．1
4
D ．18
8.已知(
,)2
π
απ∈
，且sin cos 3
αα+=-
，则cos2α=（ ） A
．
3 B
．3-
．3 D
．3
- 9.用数字5和3可以组成（ ）个四位数. A ．22 B ．16 C ．18 D ．20
10.若点(,)M x y （其中,x y Z ∈）为平面区域250
27000
x y x y x y +->⎧⎪+->⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩内的一个动点，点A 坐标为(3,4)，O 为坐
标原点，则OA OM ∙的最小值为（ ）
A ．13
B ．17
C ．16
D ．19
11.已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，直线28y x =-与抛物线C 相交于,A B 两点，则tan AFB ∠=（ ） A ．
34 B ．34- C ．43 D ．4
3
- 12.定义在R 上的函数()f x 满足'
()1()f x f x >-，若(0)6f =，则不等式5
()1x
f x e >+（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(5,)+∞
C ．(,0)
(5,)-∞+∞ D ．(,0)-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
13. 7
(1)x -的二项展开式中，x 的系数与3
x 的二项式系数之和等于_________. 14.已知向量,a b 满足,6
a b π=
，1a =，213a b -=，则b =_____________.
15.已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为__________. 16.“求方程512(
)()11313x x +=的解”
，有如下解题思路：设512()()()1313
x x
f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =，类比上述解题思路，不等式6
3
2
(2)(2)x x x x -+>+-的解集是___________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知a =b =，2B A =.
（1）求sin A ； （2）求边长c .
18.（本小题满分12分）
新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）
表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2960)，(13,3830)，(17,4750)，(22,5500)，（(25,6），
(3,8140)
，（(
37,8950)），(45,1070)
，设由这8组数据得到的回归直线方程为^
1110y bx =+，李先生
2016年1月购买一辆价值20万元的新车. （1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；
（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如下（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：
根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 19.（本小题满分12分）
如图3所示，四棱锥P ABCD -，ABC ∆为边长为2的正三角形，CD =1AD =，PO 垂直于平面
ABCD 于O ，O 为AC 的中点，1PO =，求：
（1）异面直线AB 与PC 所成角的余弦值； （2）平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
如图4，已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>，点A 是椭圆上的一点，且椭圆C 的离心率为2，
直线AO 与椭圆C 交于点B ，且,C D 是椭圆上异于,A B 的任意两点，直线,AC BD 相交于点M ，直线
,AD BC 相交于点N .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：直线MN 的斜率为定值
.
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln()f x x x k =-+（0k >）. （1）若()f x 的最小值为0，求k 的值；
（2）当()f x 的最小值为0时，若对[0,)x ∀∈+∞，有2
()f x ax ≤恒成立，求实数a 的最小值；
（3）当（2）成立时，证明：
2
222
()2121n
i n f i n =-<--∑（*
2,n n N
≥∈）.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆22
:(1)4P x y -+=，圆2
2
:(1)4Q x y ++=.
（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P 和圆Q 的极坐标方程，并求出这两圆的交点
,M N 的极坐标；
（2）求这两圆的公共弦MN 的参数方程. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）证明柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bc ++≥+，并指出此不等式里等号成立的条件：
（2
）用柯西不等式求函数y =.
贵州省凯里市2019届高三上学期适应性月考
数学（理）试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．由于{|11}A x x =-<<，{|0}B x x =<，∴{|10}A B x x =-<<，故选D ．
2．∵i 1i 1i 2z +=
=
+，∴1i 2z -=，∴1
2
z z =，故选B ． 3．∵1d =，由已知可以求得112a =
，∴917
2
a =，故选A ． 4．由已知，可得双曲线的顶点为(20)±，，焦点为(30)±，，∴双曲线C 的方程为2
2
145
x y -=，故选D ．
524π13πS R ==表，故选C ． 6．由程序框图知，当67S =，7k =时输出，故判断框内的条件应填8k <，故选B ． 7．2()5P A =
，1
()10
P AB =，∴()1(|)()4P AB P B A P A ==，故选C ．
8．平方得2sin 23α=-，25(cos sin )3αα-=，又ππ2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，∴cos sin αα-=，
∴22cos2cos sin ααα⎛=-== ⎝⎭
，故选A ． 9．①4个“5”（或4个“3”）共2个；②3个“5”（或3个“3”）共34C 28⨯=个；③2个“5”（或2个“3”）共24C 6=个．综上，一共有16个，故选B ．
10．画出可行域，34OA OM x y =+在点(4，1)处取得最小值16，故选C ．
11．可求得(88)A ，，(24)B -，，(20)F ，，作AM ⊥x 轴于点M ，在Rt △AFM 中，3
cot 4
AFM ∠=
， 3
tan tan(90)cot 4
AFB AFM AFM ∠=︒+∠=-∠=-，故选B ．
12．令()e ()e 5x x g x f x =--，则()e [()()1]0x g x f x f x ''=+->，∴()g x 在R 上递增．又 ∵(0)(0)60g f =-=，所以不等式的解集为(0)+∞，，故选A ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
(2)+∞， 【解析】
13．17C ()r
r r T x +=-，∴x 的系数为−7，3x 的二项式系数为35，∴和为28．
14．由已知得，222|2|4||||413a b a b a b -=+-=，∴2||23||90b b --=，∴||33b =． 15．由已知得113(1)n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴31n n a =-． 16．令3()f x x x =+，则()f x 在R 上递增，∴22x x >+，∴21x x ><-或， 故不等式解集为(1)
(2)-∞-+∞，，．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据正弦定理，有sin sin a b
A B
=
，
=
， ………………………………………………………（2分）
∴cos A = ………………………………………………………（4分）
∴sin A ． ………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）在△ABC 中，根据余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，
∴26
83c +-=，
280c -， ………………………………………………………（8分）
∴c c =． ……………………………………………………（10分）
当c ∵c a =，且B =2A ，
∴4A π
=
与sin A 矛盾，
………………………………………………………（11分）
∴c =． ………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）25x =万元，6400y =元， ………………………………………………（2分）
直线ˆˆ1110y
bx =+经过样本中心()x y ，， 解得ˆ211.6b
=， …………………………………………………………………（4分）
则回归直线方程为ˆ211.61110y
x =+， ……………………………………………（5分）
李先生购买20万元车时应缴纳保费211.62011105342⨯+=元．
………………（6分）
且X 的分布列为
X 0.85 1 1.25 1.5 1.75 2
P
0.5
0.38
0.1
0.015 0.004 0.001
…………………………………………………………（9分）
2017年保费的期望倍率为E (X )=0.850.5+10.38+1.250.1+1.50.015+1.750.004+2⨯⨯⨯⨯⨯⨯
0.001=0.9615． ………………………………………………………（10分）
该车辆估计2017年1月应缴纳保费为5342⨯0.9615≈5136元． ………………（11分）
因0.9615＜1，基于以上数据可知， 车险新政总体上减轻了车主的负担． ……………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图1，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ，
因为AD =1，CD AC =2， 所以AD ⊥CD ，∠DAC =π
3
， ∴AD ∥BC ．
(000)A ，，，10)B -，，10)C ，(010)D ，，，
102O ⎫⎪⎪⎝⎭，，，112P ⎫⎪⎪⎝⎭，，， …………………………………………（2分）
(310)AB =-，，，112CP ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，， …………………………………（3分）
cos ||||2AB CP AB CP AB CP 〈〉=
==⨯
⨯，，
…………………………………（5分）
异面直线AB 与PC ． ……………………………………（6分）
（Ⅱ）设平面PAB 法向量为1n
=(x 1，y 1，z 1)， 可得11111
1
02
0x y z y ++=
-=，， 令11x =，则1(13n =，，， ………………………………………………（8分）
又311(300)2DP DC ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭
，，，，，，
设平面PCD 法向量为222
2()n x y z =，，， 可得2222
1
020y z -+==，，
令21y =，则2n =1012⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，， ………………………………………………（10分）
121212105cos =
=||||35
n
n n n n n 〈〉，． 平面PAB
与平面PCD ． ……………………（12分）
20．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：如图2，
∵c e a =
=
，
∴c ， ………………………………………（1分） ∴22222211
22b a c a a a =-=-=．
……………………………………………（2分）
又
22
21
1a b +=， ∴2242a b ==，，
∴该椭圆的方程为22
142
x y +=．
……………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：由已知，A
为1)，B
为(1)-． ①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设CA ，DA 的斜率分别为12k k ，，点C 坐标为00()x y ，，显然12k k ≠；
2
2
022
00211122
222
2CA CB x y k k x x x x ---=
===-
---+， ………………………（6分）
∴112CB
k k =-
，同理2
1
2DB k k =-， …………………………………………（7分）
则直线
AD 的方程为
21(y k x -=， 直线CB 的方程为1
1
1(2y x k +=-
，
由
211(1
1(2y k x y x k ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，， 解得12112
12212
4212
121k
k x k k k k y k k ⎧-=
⎪+⎪⎨--+⎪=⎪+⎩，
∴点N 的坐标为1212N
⎝⎭． …………………（8分） 用2k 代1k ，用1k 代2k ，得到M 点坐标为1212M ⎝⎭
， ………………………………………………………………………………（9分）
图2
所以12
21
1212
)
4()2
MN
k k
k
k k
-
===-
-
．
………………………………………………………………………………（10分）
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题目要求，至多只有一条直线斜率不存在，不妨设直线CA的斜率不存在，
此时点C
为1)
-，设直线DA斜率仍为
2
k，由①知
2
1
2
DB
k
k
=-，
直线CA
方程为x=
直线DB
方程为
2
1
1(
2
y x
k
+=-，
联立得交点
2
1
M
k
⎫
--⎪⎪
⎭
．
直线BC方程为1
y=-，直线AD
方程为
2
1(
y k x
-=-，
联立得交点
2
2
1
N
k
⎛⎫
-+-
⎪
⎝⎭
，
所以2
2
2
MN
k
k
==
综上所述，直线MN的斜率为定值．…………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：()
f x的定义域为()
k
-+∞
，，
11
()1
x k
f x
x k x k
+-
'=-=
++
．…………………………………………（1分）
由()0
f x
'=，得1
x k
=-．
当x变化时，()()
f x f x
'，的变化情况如下表：
x(1)
k k
--
，1k
-(1)
k
-+∞
，
()
f x
'＜0 0 ＞0
()
f x↘极小值↗
……………………………………………………（2分）
当1
x k
=-时，()
f x取最小值(1)10
f k k
-=-=，
∴1
k=．……………………………………………………（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()ln(1)f x x x =-+， 由题意，2()0f x ax -≤对于0x ≥恒成立． 当0a ≤时，取1x =，(1)1ln 20f a a -=-->， ∴0a ≤不符合题意．
当0a >时，令22()()ln(1)g x f x ax x x ax =-=-+-，
12212()1211
a ax x a g x ax x x -⎛
⎫-- ⎪⎝⎭'=--=
++， 令()0g x '=，得0x =或122a
x a
-=．
…………………………………………（5分）
①当12a ≥时，1202a
a -≤，
∴()0g x '<在(0)+∞，上恒成立， ∴()g x 在[0)+∞，上单调递减， ∴当[0)x ∈+∞，时，()(0)0g x g =≤， ∴2()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立．
∴1
2a ≥符合题意．
………………………………………………………………（6分）
②当102a <<
时，1202a a
->， 当1202a x a -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，
∴()g x 在1202a a -⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，上单调递增．
取01202a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，，0()(0)0g x g >=，即2
00()f x ax >，不满足题意．
…………（7分）
综上，12a ≥，∴min 1
2
a =．
………………………………………………………（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当12a ≥时，2
()f x ax ≤在[0)+∞，上恒成立，即2()2x f x ≤，
∴2
2
22221121212(21)(23)(21)2321i f i i i i i i ⎛⎫
⎪-⎛⎫⎝⎭
=<=- ⎪------⎝⎭
≤， ……………（10分）
∴2
22111111
112123213352321n
n i i f i i i n n ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑
122
1(2*)2121
n n n n n -=-=∈--N ≥，．
……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修
4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）圆P 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=， ………………………………（1分）
圆Q 的极坐标方程为22cos 3ρρθ+=．
…………………………………………（2分）
联立2
2
2cos 32cos 3ρρθρρθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，
解得ρ=，
cos 0θ=，
…………………………………………………………（3分）
所以M ，N
的极坐标分别为π
2⎫⎪⎭，，3π2⎫⎪⎭，．
………………………………（5分）
注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．
（Ⅱ）M ，N 的直角坐标分别为(0，(0-，， ………………………………（7分）
所以公共弦MN 的参数方程为0[x t y t =⎧∈⎨=⎩
，
，． …………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）证明：222222222(
)()()2a
b c d ac bd a d b c adbc ++-+=
+- …………………（2分）
2()0ad bc =-≥，
………………………………………………………………（4分）
当且仅当0ad bc -=时，等号成立．
………………………………（5分） （Ⅱ）解：函数的定义域为[35]，，且0
y >，
………………………………（
6分）
则24y
=………………（8分）
==，
………………………………………………………………（9分）
当且仅当=时，等号成立， 即17
5
x =时函数取最大值 …………………………………………………（10分）。