2021版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天学案

第四节 万有引力与航天
【基础梳理】
提示：椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量m 1和m 2的乘积 它们之间距离r 的二次方
G m 1m 2
r
2 质量分布均匀
GM R
gR
【自我诊断】
1．判一判
(1)所有物体之间都存在万有引力．( )
(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( )
(5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．( )
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( ) 提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．做一做
(1)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( )
A ．ρ＝k
T
B ．ρ＝kT
C ．ρ＝kT 2
D ．ρ＝k
T
2
提示：选D.由万有引力定律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，联立M ＝ρ·43πR 3 和r ＝R ，解得ρ＝3πGT 2，3π
G
为一常
数，设为k ，故D 正确．
(2)(2020·安徽安庆二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地的预选着陆区．存在“月球背面”是因为月球绕地球公转的同时又有自转，使得月球在绕地球公转的过程中始终以同一面朝向地球．根据所学物理知识，判断下列说法中正确的是( )
A ．月球绕地球公转的周期等于地球自转的周期
B ．月球绕地球公转的周期等于月球自转的周期
C ．月球绕地球公转的线速度大于地球的第一宇宙速度
D ．月球绕地球公转的角速度大于地球同步卫星绕地球运动的角速度
提示：选B.由题意知，月球绕地球一周的过程中，其正面始终正对地球，据此可知，月球公转一周的时间内恰好自转一周，故形成人们始终看不到月球背面的原因是月球绕地球的公转周期与其自转周期相同，故A 错误，B 正确；根据万有引力提供向心力得线速度为v ＝
GM r
，地球的第一宇宙速度是绕地
球做圆周运动的最大环绕速度，所以月球绕地球公转的线速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；根据万有引力提供向心力得角速度为ω＝
GM r 3
，月球绕地球公转的半径大于地球同步卫星绕地球运动的半
径，所以月球绕地球公转的角速度小于地球同步卫星绕地球运动的角速度，故D 错误．
开普勒行星运动定律与万有引力定律[学生用书P78]
【知识提炼】
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋mg ，所以mg ＝F －F 向＝
GMm R 2
－mRω2自.
2．星体表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g (不考虑地球自转)，由mg ＝G
mM R 2
，得g ＝
GM R 2
.
(2)设在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，由mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g ′＝GM
（R ＋h ）2
所以g
g ′＝（R ＋h ）2
R 2
.
3．求天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算利用运行天体
r、T
G
Mm
r2＝
mr
4π2
T2
M＝
4π2r3
GT2
只能得
到中心
天体的
质量
r、v G
Mm
r2＝
m
v2
r M＝
rv2
G
v、T
G
Mm
r2＝
m
v2
r
T＝
2πr
v
M＝
v3T
2πG
利用天体表面重
力加速度
g、R mg＝
GMm
R2M＝
gR2
G
密度的计算
利用运行天体r、T、R
G
Mm
r2＝
mr
4π2
T2
M＝
4
3
ρπR3
ρ＝
3πr3
GT2R3
当r＝R时
ρ＝
3π
GT2
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体表面重
力加速度
g、R
mg＝
GMm
R2
M＝
4
3
ρπR3
ρ＝
3g
4πGR
(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器
所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图象是D.
[答案] D
【迁移题组】
迁移1 开普勒定律在椭圆轨道上的应用
1．(多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过
程中( )
A ．从P 到M 所用的时间等于
T 0
4
B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大
C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小
D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：选CD.在海王星从P 到Q 的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C 正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 0
4，A 错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械
能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 正确．
迁移2 星球附近重力加速度的求解
2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R 约为45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 2
2G (其
中c ＝3×108 m/s ，G 为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( )
A ．108 m/s 2
B ．1010 m/s 2
C ．1012 m/s 2
D ．1014 m/s 2
解析：选C.黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g ，对黑洞表面的某一质量为m 的物体，有
GMm R 2
＝mg ，又有M R
＝
c 2
2G
，联立解得g ＝c 2
2R
，代入数据得重力加速度约为1012 m/s 2，故C 正确．
迁移3 天体质量和密度的计算
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A ．5×109 kg/m 3
B ．5×1012 kg/m 3
C ．5×1015 kg/m 3
D ．5×1018 kg/m 3
解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2
＝
m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3π
GT
2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于或等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
卫星运行规律及特点[学生用书P79]
【知识提炼】
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星的特点：六个“一定”
3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不考虑中心天体自转影响时，万有引力等于重力，即G Mm
R
2＝mg ，整
理得GM ＝gR 2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2r
T
2＝ma n . 【典题例析】
(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速
度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R
地<R 火，由此可以判定(
)
A ．a 金>a 地>a 火
B ．a 火>a 地>a 金
C ．v 地>v 火>v 金
D ．v 火>v 地>v 金
[解析] 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G Mm R 2＝ma ，解得a ＝G M
R 2，结
合题中R 金<R 地<R 火，可得a 金>a 地>a 火，A 正确，B 错误；同理，有G Mm R 2＝m v 2
R
，解得v ＝
GM R
，
再结合题中R 金<R 地<R 火，可得v 金>v 地>v 火，C 、D 均错误．
[答案] A
【迁移题组】
迁移1 卫星运行参量的比较
1．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )
A ．F 1＝F 2＞F 3
B ．a 1＝a 2＝g ＞a 3
C ．v 1＝v 2＝v ＞v 3
D ．ω1＝ω3＜ω2
解析：选D.地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v ＝ωr 和a ＝ω2r 可知，v 1＜v 3，a 1＜a 3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引
力提供向心力，即G Mm r 2＝mω2r ＝mv 2
r
＝ma 可得v ＝
GM
r ，a ＝G M
r
2，ω＝GM r 3
，可见，轨道半
径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v 2＞v 3，a 2＞a 3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v 2＝v ，其向心加速度等于重力加速度，即a 2＝g ；所以v ＝v 2＞v 3＞v 1，g ＝a 2＞a 3＞a 1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F ＝ma ，所以F 2＞F 3＞F 1.由以上分析可见，A 、B 、C 错误，D 正确．
迁移2 同步卫星的运行特点
2．(多选)(2020·甘肃兰州理一诊)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说
法正确的是( )
A ．它们均位于赤道正上方
B ．它们的周期小于近地卫星的周期
C ．它们离地面的高度都相同
D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
解析：选AC.所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A 正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道
卫星的周期大于近地卫星的周期，故B 错误；根据G Mm
r 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r 知，地球静止轨道卫星的轨道半
径相同，离地面的高度相同，故C 正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就可能实现全球通讯，故D 错误．
迁移3 宇宙速度问题
3．(2020·广西高三上学期跨市联合调研)天文兴趣小组查找资料得知：某天体的质量为地球质量的a 倍，其半径为地球半径的b 倍，表面无大气层，地球的第一宇宙速度为v .则该天体的第一宇宙速度为( )
A ．v
a
b
B ．v
b a
C.a
b
v
D.b a
v
解析：选A.设地球质量为M ，半径为r ，某天体的质量是地球质量的a 倍，其半径是地球半径的b 倍，
卫星沿地球表面做匀速圆周运动的速度为v ，则由万有引力提供向心力得：G Mm r 2＝m v 2
r
，解得地球的第一
宇宙速度v ＝
GM r
，同理得该天体的第一宇宙速度v 天体＝
G ·aM br
＝v
a b
，A 正确．
双星及多星模型[学生用书P80]
【知识提炼】
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近．
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)多星系统的结构
类型双星模型三星模型
结构图
向心力由两星之间的万有引力提供，
故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行
星对其万有引力的合力提供
运动参量两星转动方向相同，周期、角
速度相等
—
【跟进题组】
1．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A ．质量之积
B ．质量之和
C ．速率之和
D ．各自的自转角速度
解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2π
T
，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为
m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2
L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝
ω2L 3G
，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1
＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．
2.
(多选)2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A 的轨道半径大于黑洞B 的轨道半径，两个黑洞的总质量为M ，两个黑洞间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )
A ．黑洞A 的质量一定大于黑洞
B 的质量
B ．黑洞A 的线速度一定大于黑洞B 的线速度
C ．两个黑洞间的距离L 一定，M 越大，T 越大
D ．两个黑洞的总质量M 一定，L 越大，T 越大
解析：选BD.设两个黑洞质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度为ω，由万有引力定律可知：
Gm A m B
L 2
＝m A ω2R A ，
Gm A m B
L 2
＝m B ω2R B ，R A ＋R B ＝L ，得
m A m B ＝
R B R A
，黑洞A 的质量小于黑洞B 的
质量，A 错误；v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确；又由M ＝m A ＋m B 得GM ＝ω2L 3，又因为
T ＝2π
ω
，故T ＝
2π
L 3
GM
，C 错误，D 正确．
卫星的变轨问题[学生用书P81]
【知识提炼】
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
示意图
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心力的大小关
系
G
Mm
r2<
m
v2
r G
Mm
r2>
m
v2
r
变轨结果
转变为椭圆轨道运动或在较
大半径圆轨道上运动
转变为椭圆轨道运动或在较
小半径圆轨道上运动
新圆轨道上运动的速率比原
轨道的小，周期比原轨道的大
新圆轨道上运动的速率比原
轨道的大，周期比原轨道的小
动能减小、势能增大、机械能
增大
动能增大、势能减小、机械能
减小
【典题例析】
如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )
A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能
B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为v A，则v1＜v A
C．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为a A，则a A ＜a1＜a3
D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率v B＞
5GM
8R
[解析] 2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜v A，又因v1＜v4，所以v1＜v A，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是a A＞a1＞a3，C错误；
由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R ，OB ＝1.6R ，3轨道上的线速度v 3＝
5GM
8R
，又因v B ＜v 3，所以v B ＜
5GM
8R
，D 错误． [答案] B
【迁移题组】
迁移1 卫星变轨过程中运动参量的变化分析
1．(2020·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对发射地球同步卫星的过程进行分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
解析：选C.第一宇宙速度是卫星在近地轨道的线速度，根据G Mm r 2＝m v 2
r
可知v ＝
GM r
，故轨道
半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A 错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B 错误；P 点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P 点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度，C 正确；在Q 点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q 点加速，即轨道Ⅱ上经过Q 点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q 点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于第一宇宙速度，D 错误．
迁移2 卫星的追及、相遇问题
2．(2020·江西重点中学联考)小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )
A．10π5R
g－6π
3R
g B．6π
3R
g－4π
2R
g
C．10π5R
g－2π
R
g D．6π
3R
g－2π
R
g
解析：选B.当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有
GMm r2＝m
4π2r
T2，
r＝3R，则有T＝2π
r3
GM＝6π
3R3
GM.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引
力，可得GM＝gR2，所以T＝6π3R
g①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用
T1表示，航天站在圆
轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有
T2
（3R）3
＝
T21
（2R）3
＝
T22
（3R）3
②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满
足t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…)③，联立①②③式得t＝6πn 3R
g－4π
2R
g(其中
n＝1、2、
3、…)，当n＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t min＝6π3R
g－4π
2R
g.
[学生用
书P82]
卫星运动规律分析
【对点训练】
1．(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为4π2r3
GM B．动能为
GMm
2R
C．角速度为Gm
r3D．向心加速度为
GM
R2
解析：选A.嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，
有GMm
r2＝
mω2r＝m
v2
r＝
m
4π2
T2
r＝ma，解得ω＝
GM
r3、
v＝
GM
r、
T＝
4π2r3
GM、
a＝
GM
r2，则嫦
娥四号探测器的动能为E k＝1
2mv2＝
GMm
2r
，由以上可知A正确，B、C、D错误．
2．(2019·高考江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距
离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )
A ．v 1>v 2，v 1＝
GM r B ．v 1>v 2，v 1>
GM r
C ．v 1<v 2，v 1＝GM r
D ．v 1<v 2，v 1>
GM r
解析：选B.“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v 1>v 2；又“东方红一号”
离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G Mm r 2<m v 21
r
，解得v 1>
GM r
，B 正确，A 、C 、
D 错误．
[学生用
书P323(单独成册)] (建议用时：40分钟)
一、单项选择题
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )
A ．2∶1
B ．4∶1
C ．8∶1
D ．16∶1
解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故
T P
T Q
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝8
1
，C 正确． 2．(2020·山东聊城一模)嫦娥四号探测器平稳落月，全国人民为之振奋．已知嫦娥四号探测器在地球上受到的重力为G 1，在月球上受到月球的引力为G 2，地球的半径为R 1，月球的半径为R 2，地球表面处的重力加速为g .则下列说法正确的是( )
A ．月球表面处的重力加速度为
G 1G 2
g
B ．月球与地球的质量之比为
G 1R 22
G 2R 21
C ．若嫦娥四号在月球表面附近做匀速圆周运动，周期为2π
R 2G 1gG 2
D ．月球与地球的第一宇宙速度之比为
G 1R 2G 2 R 1
解析：选C.嫦娥四号绕月球表面飞行时受到月球的引力为G 2，由G 2＝mg ′，解得月球表面的重力加
速度为：g ′＝G 2m ＝G 2G 1g ，故A 错误；嫦娥四号的质量为：m ＝G 1
g ，根据万有引力等于重力得：G M 地m
R 21＝
mg ，解得地球质量为：M 地＝gR 21
G ，月球对飞船的引力为：G 2＝G M 月m R 22，解得月球的质量为：M 月＝
G 2R 22
Gm
＝
G 2R 22g GG 1
，则月球与地球质量之比为：
M 月M 地＝G 2R 22
G 1R 21
，故B 错误；根据G 2＝m
4π2
T 2
R 2得探测器沿月球表面轨
道上做匀速圆周运动的周期为：T ＝2π
R 2G 1
gG 2，故C 正确；根据G Mm
R 2＝mg 得第一宇宙速度为：v ＝gR ，则月球与地球的第一宇宙速度之比为
v 月v 地
＝
g ′R 2gR 1
＝
G 2R 2G 1R 1
，故D 错误．
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A ．周期变大
B ．速率变大
C ．动能变大
D ．向心加速度变大
解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据
GMm R 2＝m v 2
R
，可得v ＝
GM R
，可知
与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 错误；又T ＝2πR
v
，则周期T 不变，A 错误；质
量变大、速率不变，动能变大，C 正确；向心加速度a ＝
GM R 2
，不变，D 错误．
4.(2020·北京顺义二模)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度．已知地球和月球的半径之比为4∶1，表面重力加速度之比约为6∶1.则地球和月球
相比较，下列说法中最接近实际的是( )
A ．地球的密度与月球的密度之比为3∶2
B ．地球的质量与月球的质量之比为64∶1
C ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8∶1
D ．苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力之比为60∶1
解析：选A.由G Mm R 2＝mg 得M ＝R 2g G ，则M 地M 月＝4212×61＝961，B 错误；由M ＝R 2g G 、V ＝43πR 3、ρ＝
M
V 得：ρ＝3g
4πRG ，则ρ地ρ月＝61×14＝3
2，A 正确；由G Mm R 2＝m v 21
R 和G Mm R 2＝mg 得v 1＝gR ，则v 1地v 1月
＝
61×4
1
＝2
61，C 错误；由F ＝G Mm R 2得F 苹地F 苹月＝M 地M 月×R 2月
R 2地
＝961×1242＝61，D 错误．
5．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km ，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，则土星的质量约为( )
A ．5×1017 kg
B ．5×1026 kg
C ．7×1033 kg
D ．4×1036 kg
解析：选B.卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星质量为M ：GMm R 2
＝
m
4π2
T 2R ，解得M ＝4π2R 3
GT
2
，代入数据计算可得：M ≈5×1026 kg ，故B 正确，A 、C 、D 错误． 6．(2020·江苏淮安质检)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2～3万亿之间．目前在银河系。