(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(含答案解析)(3)

一、选择题
1．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2
+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
2332
a << B ．
2
13
a < C ．9a
D ．
2
93
a < 2．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-
C ．(4,4)-
D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
3．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）
A ．当0m =时，12x =，23x =
B ．14
m ≥-
C ．当0m >时，1223x x <<<
D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 4．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]
0,2x ∈时，()f x x =；④函数
()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在
[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）
A ．80,
11⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．110,
8⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．80,
19⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．190,
8⎛⎫
⎪⎝⎭
5．已知函数22,()11,x x x a
f x x a x
⎧--≤⎪
=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a
的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．()[),11,2-∞-⋃
C ．[)1,2
D ．(]()1,1
2,-+∞
6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）
A ．4.25米
B ．4.5米
C ．3.9米
D ．4.05米
7．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕ
λ
=
，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一
半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光
测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()
9
1560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的
频移为()9
8.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）
A ．320km/h
B ．330km/h
C ．340km/h
D ．350km/h
8．函数()
3
2x
y x x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．有一组数据，如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）． A ．指数函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
10．已知函数,0
()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，若函数g （x ）＝f （x ）+2x +ln a （a ＞0）有2个零
点，则数a 的最小值是（ ） A ．
1
e
B ．
12
C ．1
D ．e
11．函数()x
f x 2sinx =-在区间[]
10π,10π-上的零点的个数是( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
12．已知函数()22,0
log ,0
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若a b c <<，且满足()()()f a f b f c ==，则abc 的
取值范围为（ ） A ．(],0-∞
B ．(],1-∞-
C ．[]2,0-
D ．[]4,0-
二、填空题
13．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若满足x R ∀∈，()0f x <和
()0g x <至少有一个成立，则m 的取值范围是______．
15．已知函数()33
3x
x
f x -=+-，若函数()()()lo
g 2a g x f x x =-+ （0a >且
1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.
16．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数
关系：()1
2
7
101
20
19
130.
520
x x
f x
x x
，＜
，＜
-
⎧
-+≤
⎪⎪
=⎨
⎪+≤
⎪⎩
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．
其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）
17．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．
18．已知()
f x是以2e为周期的R上的奇函数，当()
0,
x e
∈，()ln
f x x
=，若在区间
[]
,2
e e
-，关于x的方程()1
f x kx
=+恰好有4个不同的解，则k的取值集合是
__________.
19．已知函数
1,0
()
ln,0
ax x
f x
x x
+≤
⎧
=⎨
>
⎩
，给出下列三个结论：
①当2
a=-时，函数()
f x的单调递减区间为(,1)
-∞；
②若函数()
f x无最小值，则a的取值范围为(0,)
+∞；
③若1
a<且0
a≠，则b R
∃∈，使得函数()
y f x b
=-.恰有3个零点
1
x，
2
x，
3
x，且123
1
x x x=-．
其中，所有正确结论的序号是______．
20．用符号[]x表示不超过x的最大整数，例如：[]
0.60
=；[]
2.32
=；[]55=.设函数()()()()
222
2ln22ln2
f x ax x ax x
=-+-有三个零点
1
x，
2
x，
3
x()
123
x x x
<<且
[][][]
123
3
x x x
++=，则a的取值范围是_____________.
三、解答题
21．已知函数2
()log(2)
a
f x ax x
=-，其中0
a>且1
a≠.
（1）若函数()f x 在区间1(,1)2
单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）当3a =时，若关于x 的方程3(3)log (3)x
x
f m x -=++恰有两个不同的解，求实数
m 的取值范围.
22．已知函数()2
21g x ax x b =-++，函数()g x 有两个零点分别是1-和3.
（1）若存在[]01,3x ∈，使不等式()000g x mx ≥-成立，求实数m 的取值范围； （2）记()()32f x g x kx k =-+，若方程()
2
10x
f -=有三个不同的实数解，求实数k
的取值范围.
23．已知函数()()2
22f x ax a x =-++，()a R ∈.
（1）()32f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式()0f x ≥的解集； （3）若存在0m >使关于x 的方程()1
1f x m m
=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
24．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知:甲城市收益1y 与投入x （单位:万元）满足
1450
40,2040{25,4060
x y x x -+≤<=≤≤，乙城市收益2y 与投入x (单位:万元)满足21202
y x =+
（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?
25．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，设比例系数为
2k ，其关系如图2．（注：利润和投资单位是万元）
（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到20万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这
万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
26．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且
a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近
似为()y a f x =⋅，其中()16
1,048
15,4102x x
f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩
，若多次投放，则某一时刻水中的药
剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？
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一、选择题 1． B 解析：B 【分析】
可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和
1
()2
f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围． 【详解】
解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a
x a
-=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3a >，且9a 或1a ，则213a <；
当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2
+∞上有两个实数根，如图所示，
则需
3122a a ->，且113
()10242
a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302
a <<
且2
3<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅．
综上可得，a 的取值范围是2
13
a <． 故选：B ． 【点睛】
本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.
2．D
解析：D 【分析】
画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
【详解】
数形结合法：画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
由图可得：204a a <<解得4a > 或2
04
a a >>-解得4a
故选：D 【点睛】
数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
3．C
解析：C 【分析】
画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】
画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，
当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知， 当 2.5x =时，y 取得最小值为1
4
-
，
要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需1
4
m >-
，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误. 由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以
()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，
故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】
思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.
4．A
解析：A 【分析】
先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周
期[]22-,上的表达式为(),02,20
x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为1
2，其图
象可由()f x 的图象压缩为原来的1
8
得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果.
【详解】
因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得
()()()222f x f x f x +=-=-，
即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；
若[]2,0x ∈-，则[
]
0,2x ∈；
因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，
因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，
则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02
,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩
，
因为()()()
1
2n n f x f x -=⋅，*n N ∈，
所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，
故()()4f x 的周期为1
2，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18
得到，
作出()()4f x 的图象如图：
易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]
0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，
因为7,24A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以208
71114
MA k -==+，故8011k <<. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.
5．B
解析：B 【分析】
讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】
∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+， ∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；
∵当x a >时，1
(1)f x x
=-
，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点；
当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；
综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-，
故选：B 【点睛】
易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.
1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥.
1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-.
6．D
解析：D 【分析】
可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令
3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．
【详解】
解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，
将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，
令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，
则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．
【点睛】
利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.
7．C
解析：C 【分析】
先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】 解：332
sin 1.0004
1(2010)ϕ--=
=
+⨯，
98.7210∴⨯=
，即
8.72=，
340148.009v ∴=
≈米/小时340/km h ≈，
故该时刻高铁的速度约为340/km h ．
故选：C ． 【点评】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．
8．B
解析：B 【分析】
先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】
因为函数()
3
2x
y x x =-定义域为R ，且
()()()(
)
()()3
32
2x
x
f x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，
由()
()()3
2112x
x
y x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，
0y <，当1x >时，0y >，排除AD
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】
随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，
故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．
10．A
解析：A 【分析】
令()0g x =，将问题转化为函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点来求解. 【详解】
令()0g x =得()2ln f x x a =--，若()g x 有两个零点，则函数()f x 与函数
()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点.
画出函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象如下图所示，当直线过点()0,1时，两个函数图象有两个交点，此时1
120ln a a e
=-⨯-⇒=.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以1
ln 1a a e -≤⇒≥，所以a 的最小值为1e
. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
画出函数x y 2=和y sinx =的图象，通过图象即得结果． 【详解】
画出图象函数x y 2=和y sinx =的图象，根据图象可得函数()x
f x 2sinx =-在区间
[]10π,10π-上的零点的个数是10，
故选A ．
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．
12．A
解析：A
【分析】
画出()f x 的图象结合图象，求得1bc =、求得a 的取值范围，由此求得abc 的取值范围. 【详解】
由函数()f x 的图象（如图），可知1
022
a b c ≤<
≤<≤，由22log log b c =得22log log b c -=，所以1bc =，所以(],0abc a =∈-∞．
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图象与性质，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】试题分析：根据二分法取区间中点值而所以故判定根在区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法属于基础题型对于零点所在区间的问题不管怎么考察基本都要判断端点函数值的正负如果异号那零点必在此
解析：3
(,2)2
【解析】
试题分析：根据二分法，取区间中点值
，而
，
，所以
，故判定根在区间
考点：二分法
【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间．
14．【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛
解析：()4,0-
【分析】
先判断函数()g x 的取值范围，然后根据()0f x <和()0<g x 至少有一个成立．则可求得
m 的取值范围.
【详解】 解：()22x g x =-，当1x 时，()0g x ，
又
x R ∀∈，()0f x <或()0<g x ，
()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x 时恒成立，
即(2)(3)0m x m x m -++<在1x 时恒成立，
则二次函数(2)(3)y m x m x m =-++图象开口只能向下，且与x 轴交点都在(1,0)的左侧，
∴0
3121m m m <⎧⎪
--<⎨⎪<⎩，即0412m m m ⎧
⎪<⎪>-⎨⎪⎪<
⎩
，解得40m -<<，
∴实数m 的取值范围是：(4,0)-．
故答案为：(4,0)-． 【点睛】
利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x 时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
15．【分析】将函数（且）在区间上有4个不同的零点转化为函数与函数的图象在区间上有4个不同的交点再根据函数的奇偶性和单调性作出函数的图象与函数的图象利用图象【详解】所以为偶函数设则因为所以即因为所以所以所 解析：27a ≥
【分析】
将函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点转化为函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点，再根据函数()f x 的奇偶性和单调性作出函数|()|f x 的图象与函数log (2)a y x =+的图象，利用图象 【详解】
()333()x x f x f x --=+-=，所以()f x 为偶函数，
设120x x ≤<，则11
2212()()33
3333x
x x x f x f x ---=+---+
1212
1(33)(1)3
x x x x +=--
，
因为12,x x <所以1233x x <，即12330x x -<，
因为120x x ≤<，所以120x x +>，所以1231x x +>，所以12
1103x x +->，
所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，
因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上递减， 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =-，
因为函数()()()log 2a g x f x x =-+ （0a >且1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，所以函数|()|y f x =与函数log (2)a y x =+的图象在区间[]1,1-上有4个不同的交点， 作出两个函数的图象如图：
由图可知，log (02)(0)log (12)(1)1a a f f a ⎧+<⎪+≤⎨⎪>⎩，即log 21
1log 331
a a a <⎧⎪⎪
≤⎨⎪
>⎪⎩，解得27a ≥.
故答案为：27a ≥. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
16．①②【分析】由分段函数可得函数的单调性可判断①；由的值可判断②；由的值可判断③【详解】可得随着的增加而减少故①正确；当时9天后小菲的单词记忆保持量低于故②正确；故③错误故答案为①②【点睛】本题考查分
解析：①② 【分析】
由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由()9f 的值可判断②；由()26f 的值可判断③．
【详解】
()1
271012019130.
520
x x f x x x ，＜，＜-
⎧-+≤⎪⎪
=⎨⎪+≤⎪⎩， 可得()f x 随着x 的增加而减少，故①正确；
当130x <≤时，()1219520f x x -+=，()1
219
990.35520
f -=+⋅=，
9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确； ()12191
26265205
f -=+⋅>，故③错误，故答案为①②．
【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题．
17．【分析】问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点画出函数的图象然后结合图象求解即可【详解】关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个 解析：()1,0-
【分析】
问题等价于函数f(x)与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，画出函数()y f x =的图象，然后结合图象求解即可． 【详解】
关于x 的方程f(x)＝k 有三个不同的实根，等价于函数y=f(x)的图象与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，
由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)． 【点睛】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
18．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象
最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰 解析：11,2e e ⎧⎫--
⎨⎬⎩⎭
【分析】
先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[],2e e -上图象，最后结合图象确定与动直线1y kx =+恰有4个交点的情况，再求出对应数值. 【详解】
因为()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，
所以(0)0,()()()()()0f f e f e f e f e f e ==-=-∴=-=，
当()0,x e ∈，()ln f x x =，所以当(),0x e ∈-，()()ln(-)f x f x x =--=-，
作出区间[]
,2e e -上图象如图，则直线1y kx =+过(,0)A e 或(2,0)B e 时恰有4个交点，此时11,2k k e e
=-=-
故答案为：11,2e e ⎧⎫
--⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.
19．②③【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设进而可得令验证后即可判断③；即可得解【详解】对于①当时由所以函数在区间不单调递减故①
解析：②③ 【分析】
由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断
②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a
-=
，2b
x e -=，3b x e =，令11
1b x a
-=
=-验证后即可判断③；即可得解. 【详解】
对于①，当2a =-时，由201e -<<，22
(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()
f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；
对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0
()ln ,01ln ,1
ax x f x x x x x +≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
，
画出函数的图象，如图：
由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；
对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==， 所以11b x a
-=，2b x e -=，3b
x e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令11
1b x a
-=
=-即1b a =-+， 当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】
本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.
20．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以
解析：2ln 2,ln 69⎡⎫
--⎪⎢⎣⎭
【分析】
由题意可知()()()
2
1ln 22ln 20f x x ax x =-+=，得22ln 2x a x -=
；令()2
2ln 2x
g x x
=，可知()g x 单调递增区间为0,
e ⎛⎫
⎪⎝⎭，()g x 单调递减为,e ⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
，作出()g x 的草图，由图可知()10,1x ∈，()21,22
e
x =
∈，所以[]10x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈，可得()
()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩
，由此即可求出结果.
【详解】
因为()()()2
2
2
2
ln22ln22ln 21ln22ln21ln2f x ax ax x x x ax x x x =-+-=-+-
()()21ln 22ln 20x ax x =-+=，0x >，
所以1ln 20x -=①或22ln 20ax x +=②. 由①得2e x =，由②得2
2ln 2x a x -=
. 令()22ln 2x g x x =
，则()()3
212ln 20x g x x -'==，所以e
x =. 当0,e x ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，()g x 单调递增，
,e x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，()g x 单调递减.
事实上，当1
02
x <<
时，()0g x <，当1x >时，()0g x >.
由图显然()10,1x ∈，()21,22
e x =∈，所以[]10x =，[]21x =， 而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈.
所以()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，即2ln 4,42ln 6,9a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得2ln 6ln 29a -≤<-. 故答案为：2ln 2,ln 69⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题. 三、解答题
21．（1）12a =
或1a >；（2）146
m -<<. 【分析】
（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得；
（2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论．
【详解】
解（1）由复合函数的单调性法则，以及()f x 的定义域可得 1104a a >⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0112210
a a a <<⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪-≥⎩1a ⇒>或12a = （2）原方程2333log [63(3)]log (3)log (3)x x x x
m -⇔⋅-=++ 233log [63(3)]log (31)x x x m ⇔⋅-=⋅+
263(3)31x x x m ⇔⋅-=⋅+（其中036x <<），
2(3)(6)310x x m ⇔+-⋅+=其中036x <<），
令3(0,6)x t =∈，原条件⇔关于t 的方程2(6)10t m t +-⋅+=在区间(0,6)内有两个不同的根
记2()(6)1g t t m t =+-+，由二次方程根的分布的求解方法可得
2(6)406062(0)10(6)610
m m g g m ⎧∆=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩146m ⇒-<<． 【点睛】
关键点点睛：本题考查复合函数的单调性，对数方程解的问题．对数方程的解的个数问题的解题关键是进行转化，一是由对数方程转化为指数方程，二是指数方程转化为一元二次方程，最后由一元二次方程的根的分布知识可求解．
22．（1）(],0-∞；（2）3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）首先根据函数()g x 的零点得到()223g x x x =--，由题意知存在[]01,3x ∈，使不等式()00g x mx ≥成立，等价于32x m x
--≥在[]01,3x ∈上有解，再根据()32u x x x
=--的单调性即可得到答案； （2）令21x t =-，分析得出关于t 的方程()()232230t k t k -++-=有两解1t 、2t ，且
101t <<，21t ≥或者10t =，201t <<，利用二次函数的零点分布可得出关于k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.
【详解】
（1）
()10g -=，()03g =，所以，1x =-，3x =是方程2210ax x b -++=的两个
根. 所以12122213x x a b x x a ⎧+==⎪⎪⎨+⎪⋅==-⎪⎩
，解得14a b =⎧⎨=-⎩，()223g x x x ∴=--. ∵存在[]01,3x ∈，使不等式()00g x mx ≥成立，等价于32x m x -
-≥在[]1,3x ∈上有解，
记()32u x x x =--，由于函数2y x =-、3y x
=-在[]1,3上均为增函数， 所以，函数()u x 在[]1,3x ∈时单调递增，则()()max 30u x u ==，0m ∴≤， 因此，实数m 的取值范围为(],0-∞；
（2）()()()2323223f x g x kx k x k x k =-+=-++-， 原方程可化为()()2213221230x x k k --+-+-=.
函数21x
y =-的图象如下图，当0x <时，()20,1x ∈，则()210,1x y =-∈，
令21x t =-，当01t <<时，关于x 的方程21x t =-有两个根，
当1t ≥或0t =时，关于x 的方程21x t =-只有一个根.
要使()210x f -=有3个实数解，
所以，关于t 的方程()()232230t k t k -++-=有两解1t 、2t ，且101t <<，21t ≥或者
10t =，201t <<.
则()()0230140
f k f k ⎧=->⎪⎨=--<⎪⎩①，解得32k >. 或()()023*********f k f k k ⎧=->⎪⎪=--=⎨+⎪<<⎪⎩
②，不等式组②无实数解. 或()()023*********f k f k k ⎧⎪=-=⎪=-->⎨⎪+⎪<<⎩
③，不等式组③无实数解. 综上所述，实数k 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
23．（1）(] 4,0-；（2）答案见解析；（3）(,423-∞--.
【分析】
（1）将()32f x x <-，x ∈R 恒成立，转化为210ax ax --<，x ∈R 恒成立求解. （2）由()()120x ax --≥，分02a <<，2a =， 2a >讨论求解.
（3）由0m >时，得到11213t m m
=+++=≥，令x s =，将问题转化为存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根求解.
【详解】
（1）因为()32f x x <-，x ∈R 恒成立，
所以210ax ax --<，x ∈R 恒成立；
0a =时，10-<恒成立，满足题意；
0a ≠时，只需0a <，∆<0，即40a ；
综上，实数a 的取值范围是(] 4,0-；
（2）()0f x ≥即()()120x ax --≥，
当02a <<时，21>a ，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
； 当2a =时，
21a ，不等式解集为R ； 当2a >时，21a <，不等式解集为[)2,1,a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；
（3）0m >时，令11213t m m =+++=≥， 则存在3t ≥，()f
x t =有四个不等实根， 即()2220a x a x t -++-=有四个不等实根，
令x s =，0s >时一个s 对应两个x ；0s =时一个x 对应一个x ；0s <时无x 与之对应；
则存在3t ≥，()2
220as a s t -++-=有两个不等正根， 则0a ≠，存在3t ≥，2020a a t a
+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩， 即存在3t ≥，()()224202
a a t a ⎧+-->⎪⎨<-⎪⎩， 即2a <-，且存在3t ≥，24440a a at -++>，
0a <时，3t ≥时22441284a a a a a -++=++最大值为
22441284a a a a a -++=++，
则2840a a ++>，
由2a <-可得4a <--
所以实数a 的取值范围是(,4-∞--.
【点睛】
方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
24．（1）
1392万元 （2）甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元 【分析】
（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元，直接分别代入对应的收益表达式中，得出答案.
（2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元,分2040x ≤<和4060x ≤≤分别求出甲、乙两个城市的投资的总收益，再分别求出其最大值，再比较得出答案.
【详解】
（1）当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为802555-=万元 则甲城市收益1450402225y =-
+=万元 乙城市收益2195552022
y =⨯+= 所以甲、乙两个城市的投资的总收益为951392222+
=万元 （2）设甲城市的投入为x 万元，则乙城市的投入为80x -万元
当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()45014080202y x x =-
++⨯-+
即4501100100702y x x ⎛⎫=-+≤-=
⎪⎝⎭，当且仅当45012x x =即30x =时，取等号.
当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+
⨯-+ 即()112580208522
y x x =+⨯-+=- 当40x =时，1852
y x =-有最小值65
综上，当30x =时，甲、乙两个城市的投资的总收益最大.
所以甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元，甲、乙两个城市的投资的总收益最大
【点睛】
关键点睛：本题考查函数的实际应用问题，解答的关键是分段得出甲、乙两个城市的投资的总收益的表达式，当2040x ≤<时，甲、乙两个城市的投资的总收益为
()45014080202
y x x =-++⨯-+，当4060x ≤≤时，甲、乙两个城市的投资的总收益为()12580202y x =+
⨯-+，分别求出最大值，从而可解，属于中档题. 25．（1）A 产品函数关系式是1(),4
f x x =(0)x ≥，B 产品函数关系式是
()g x =(0)x ≥；（2）当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元．
【分析】
（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据求参数，即得结果；
（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元．则有 ()(20)y f x g x =+-，(020)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题，即得结果．
【详解】
解：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，
依题意，设1()f x k x =，()g x k =， 由图知1(1)4f =，所以114k =，又2(4)24g k ==，所以22k =，
所以1(),4
f x x =(0)x ≥，()
g x =(0)x ≥； （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入20x -万元，设企业的利润为y 万元． 1
()(20)4
y f x g x x =+-=+(020)x ≤≤，
t =，则220x t =-，故()2220124944
t y t t -=+=--+(0t ≤≤． 所以当4t =时，max 9y =，此时20164x =-=，此时2016x -=．
∴当A 产品投入4万元，B 产品投入16万元时，企业获得最大利润为9万元．
【点睛】
本题解题关键是利用函数模型构建函数关系后，能利用换元法将问题转化成二次函数最值问题来解决．
26．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3
【分析】。