第一章 空间向量与立体几何 章末整合提升新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评人教B版

章末整合提升
本章我们将平面向量推广到空间向量，学习了空间向量的运算，空间向量的坐标等；在此基础上学习了空间向量在立体几何中的应用．依照知识之间的联系，完成如下的知识结构图：
类型1 空间向量及其运算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
(一题多解)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为矩形ABCD 的中心，记A 1B 1→
＝a ，
A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量C 1M →.
【尝试解答】 解法一 如图所示，
∵M 为矩形ABCD 的中心， ∴M 为AC 中点， ∴C 1M →＝12(C 1A →＋C 1C →)
＝12[(C 1B 1→＋B 1A 1→＋A 1A →)＋C 1C →] ＝1
2[(－b －a ＋c )＋c ] ∴C 1M →
＝－12a －12
b ＋
c .
解法二 如图所示，∵M 为矩形ABCD 的中心， ∴AM →＋CM →
＝0.
又∵C 1M →＝C 1B 1→＋B 1A 1→＋A 1A →＋AM →.① C 1M →＝C 1C →＋CM →
，② ①＋②得
2C 1M →＝C 1B 1→＋B 1A 1→＋A 1A →＋C 1C → ＝－b －a ＋2c . ∴C 1M →
＝－12a －12
b ＋
c .
用已知基向量表示指定向量以及进行向量表达式的化简一定要结合实际图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，利用三角形法则或平行四边形法则求解．
应用数量积解决问题时一般有两种方法：
(1)已知基向量的模及相互之间的夹角，先用基向量表示题中向量再计算； (2)建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决．
1．设点C (2a ＋1，a ＋1，2)在点P (2，0，0)，A (1，－3，2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则a 的值为( )
A ．－7 B.4 C ．－16
D.16
解析：P A →＝(－1，－3，2)，PB →
＝(6，－1，4)． 根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →
(x ，y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1，2)＝x (－1，－3，2)＋y (6，－1，4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y ，2x ＋4y )，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，
解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16. 答案：D
2．在空间四边形O -ABC 中，其对角线为OB ，AC ，M 是OA 的中点，G 为△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示向量MG →
.
解：如图所示，连接AG 并延长交BC 于点D ，∴D 为BC 的中点． ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．
∵G 为△ABC 的重心， ∴AG →＝23AD →＝13
(AB →＋AC →)，
又∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →
， ∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13(－2OA →＋OB →＋OC →
)．
∵M 为OA 的中点，∴AM →
＝－12
OA →.
∴MG →＝AG →－AM →＝13(－2OA →＋OB →＋OC →
)＋12OA →
＝－16OA →＋13OB →＋13
OC →
.
类型2 空间向量与平行垂直问题
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一．利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .
求证：
(1)平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)PC ∥平面BAQ .
【尝试解答】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .
(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →
＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →
＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，DQ ∩DC ＝D .
故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC . 所以平面PQC ⊥平面DCQ .
(2)根据题意，DA →＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →
＝0，所以DA →
为平面BAQ 的一个法向量．
又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →·PC →
＝0，
即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .
用空间向量判断空间中位置关系的类型与方法
(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：
①证明两个平面的法向量平行(既是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：
①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．
(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；
(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .
证明：如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，
设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，1
2，2. (1)设平面C 1E 1F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→
＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0， FC 1→
＝(－1，0，1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.
取n ＝(1，2，1)． ∵CE →
＝(1，－1，1)． n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →
⊥n .
又∵CE ⊄平面C 1E 1F ，∴CE ∥平面C 1E 1F . (2)设平面CEF 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )． ∵EF →＝(0，1，0)，FC →
＝(－1，0，－1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.取m ＝(－1，0，1)．
∵n ·m ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .
类型3 利用空间向量求空间角、距离
利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点，解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量，并用它们表示空间中的角及距离，所有的空间距离问题用向量求时，有着相同的表现形式，应加强理解；求角时，要弄清向量夹角与所求角的关系．
如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB
⊥平面BCD ，AB ＝2 3.
(1)求点A 到平面MBC 的距离；
(2)求平面ACM 与平面BCD 所成角的正弦值．
【尝试解答】 取CD 中点O ，连接OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD . 又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .
取O 为原点，直线OC ，BO ，OM 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，OB ＝OM ＝3，各点坐标分别为C (1，0，0)， M (0，0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)． (1)设n ＝(x ，y ，z )是平面MBC 的法向量， 则BC →＝(1，3，0)，BM →
＝(0，3，3)． 由n ⊥BC →
，得x ＋3y ＝0； 由n ⊥BM →
，得3y ＋3z ＝0. 取n ＝(3，－1，1)， 又BA →
＝(0，0，23)， 则d ＝|BA →
·n ||n |＝235
＝2155.
所以点A 到平面MBC 的距离是215
5
.
(2)CM →＝(－1，0，3)，CA →
＝(－1，－3，23)． 设平面ACM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥CM →n 1⊥CA →得⎩⎨⎧－x 1＋3z 1＝0，
－x 1－3y 1＋23z 1＝0.
解得x 1＝3z 1，y 1＝z 1，取n 1＝(3，1，1)， 又平面BCD 的法向量为n 2＝(0，0，1)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1
5 .
设所求二面角为θ，则sin θ＝25
5
，
5
用向量法求空间角的注意点
1．(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π
2
－〈n ，a 〉．
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
2．求空间距离的基本方法：两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
4．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.
(1)求证：BF ∥平面ADE ；
(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E -BD -F 的余弦值为1
3
，求线段CF 的长．
解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，E (0，0，2)．设CF ＝h (h >0)，则F (1，2，h )．
(1)证明：依题意，AB →＝(1，0，0)是平面ADE 的法向量，又BF →
＝(0，2，h )，可得BF →·AB →
＝0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .
(2)依题意，BD →＝(－1，1，0)，BE →＝(－1，0，2)，CE →
＝(－1，－2，2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·
BD →＝0，n ·
BE →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，
－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2，2，1)． 因此有cos 〈CE →
，n 〉＝CE →
·n |CE →
||n |
＝－49.
9
(3)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BDF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·
BD →＝0，m ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，2y 1＋hz 1＝0，不妨令y 1
＝1，
可得m ＝⎝
⎛⎭⎫1，1，－2
h . 由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝
|m ·n |
|m ||n |
＝⎪⎪⎪
⎪4－2h 3
2＋4h
2
＝13， 解得h ＝8
7.经检验，符合题意．
所以，线段CF 的长为8
7
.
(12分)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝
AC ＝CB ＝
22
AB .
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C ­E 的正弦值． 【审题指导】
【素养立意】
本题主要考查空间向量与位置关系及空间角，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养．。