2020-2021北京裕中中学高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)

2020-2021北京裕中中学高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
2．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
3．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个 C ．有无限多个 D ．不存在 4．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1
B ．1-
C ．2-或1
D ．2或1
5．已知圆O ：2
2
24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）
A ．42
B ．24
C ．21
2
D ．6
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
7．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭
D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：
①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β ②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；
③//αβ，//m m αβ⊂⇒； ④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒ 其中正确命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5
B ．10
C ．25
D ．210
10．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C ．2a
D ．
2a 11．如图在正方体中，点为线段
的中点. 设点在线段
上，直
线
与平面
所成的角为，则的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．43
B ．
10
33
C ．23
D ．
833
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以
AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v
，则点A 的横坐标为
________．
14．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．
15．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ
＝l ，现有下列结论：
①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；
③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.
其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)
16．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2
2
36x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．
17．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m n α
α⊥⎧⇒⎨
⊥⎩；②,////m n m n α
βαβ
⊂⎧⎪
⊂⇒⎨⎪⎩
；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨
⊥⎩．其中的正确命题为_________________．
18．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为
1803，则圆台的侧面积为
_____．
19．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部
分的体积为2V ，则2
1
V V =__________．
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面
ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.
（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记
PE
PC
λ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.
（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.
23．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线
34100x y -+=上任意一点．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．
24．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．
（1）求证：BC AM ⊥；
（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．
25．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点．
(1)求证：A 1B ⊥AM ；
(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.
26．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;
(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;
(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面
ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】
三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三
角形，且2
ABC π
∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是
直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，
则球O 的表面积2420S R ππ==.
故选：C 【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .
在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面
ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】
此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应
a 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为1
22x y a a a
+=--，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a
2a a
-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】
设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222
128d d MO +==，
22121
216162S AC BD d d =
⋅=-⋅-，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2
2
1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.
()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.
222222121211
222161622
S AC BD r d r d d d =
⋅=⨯-⋅-=-⋅- 2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为
，故选C ．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
7．D
解析：D 【解析】 试题分析：A.
}r r
ααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.
}m l l m β
β⇒⊥⊥P
不正确，,l β有可能平行；C.}m r
m n n r
⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；
对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；
对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 【点睛】
本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.
9．A
解析：A 【解析】
(,)x y 到坐标原点的距离，
又原点到直线250x y ++=的距离为d =
=
A.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可. 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
设正方体的棱长为，则
，所以
，
.
又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.
【考点定位】
空间直线与平面所成的角.
解析：B 【解析】
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=. 故选：B.
二、填空题
13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范
解析：3 【解析】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫
⎪⎝⎭
易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以
()1,2D .所以()
55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v
得()()()2
551220,230,32a a a a a a a +⎛
⎫--+--=--== ⎪⎝⎭
或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
14．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问
解析：4x －5y +1=0 【解析】 【分析】
先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果. 【详解】
因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13
:1(1),451014
MQ y x x y +-=
--+=+.
本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题.
15．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故
解析：④ 【解析】 【详解】
连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ， ∴l ∥平面ABCD ，故①成立； 又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；
∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立； 当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立． 即不成立的结论是④.
16．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2
224x y -+=
【解析】 【分析】
直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】
直线40Ax By A +-=过定点()4,0，
设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，22
2236x y +=，
两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=.
故22
04
y x y x +=-，整理得到：()2
224x y -+=. 故答案为：()2
224x y -+=. 【点睛】
本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.
17．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④
解析：③④ 【解析】
关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.
18．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π
【解析】 【分析】
首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】
圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3
所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，
由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803， 所以
()46332
k k k
+=6k =.
所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.
故答案为：360π 【点睛】
本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.
19．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD
解析：（2，4） 【解析】 【分析】 【详解】
取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，
而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．
20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：
23
【解析】
分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求2
1
V V . 详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则2222122221
11()
23
3.3
r h r h h r h r h
V V r h
r h
ππππππ-+-=
=
=故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)
圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为211
33
V sh r h π=
=. 三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）3
4
. 【解析】 【分析】
（1）证明AD BD ⊥，利用平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，可得AD ⊥平面
PBD ，从而AD PB ⊥；
（2）作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，连接DF ，PBD ∆中，由余弦定理求得
cos 25
BPD ∠=
，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：在ABD △中，2AD =Q ，4AB =，60BAD ∠=︒， ∴由余弦定理可得23BD =，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，
AD ∴⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD AD PB ∴⊥.
（2）解：作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ， 由////EF BC AD 可知A ，D ，E ，F 四点共面，
连接DF ，所以由（1）的结论可知，PB ⊥平面ADE ，当且仅当PB DF ⊥. 在PBD △中，由4PB =，23BD =25PD = 余弦定理求得cos 25
BPD ∠=
，∴在Rt PDF V
中，cos 3PF PD BPD =∠=， 因此3
4
PE PF PC PB λ=
== 【点睛】
本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析（2）26
-
【分析】
（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；
（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小. 【详解】
（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ， ∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，
∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ， ∴DE ⊥平面ACD ， 又DE ⊂平面ADE ， ∴平面ACD ⊥平面ADE.
（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝22，
以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则D
（0，0，1），E （0，22，1），A （22，0，0），B （0，22，0），
∴AB =uu u r （﹣22，22，0），BE =u u u r （0，0，1），DE =uuu r （0，22，0），DA =u u u r
（22，0，﹣1），
设平面DAE 的法向量为m =r （x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =r
（x 2，y 2，z 2），
则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即111220220
x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22222220
0x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，
令x 1＝1得m =r （1，0，22），令x 2＝1得n =r
（1，1，0）.
∴cos 232m n m n m n ⋅==
=⨯r r r r
r r <，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角， ∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为2-
.
本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题. 23．（1）()()22
314x y -+-=（2
）【解析】 【分析】
（1）首先列出圆的标准方程()()()2
2
20x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于
,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222
S PM PM =⨯⨯⨯=，这样
求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】
解：（1）设圆C 的方程为()()()2
2
20x a y b r r -+-=>．
由题意得()()(
)()222
222
250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨
=-⎩解得3,
1,
x y =⎧⎨=⎩从
而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=． （2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以1
2
PMC S PM CM PM =
⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥
，所以PM ==
因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以
3PC ≥=，
则PM =
，即2PMC S S =≥V
故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
24．（1）证明见解析；（2）2CM =. 【解析】 【分析】
（1）由已知可得1CC BC ⊥，结合AC BC ⊥，可得BC ⊥平面11AAC C ，即可证明结论； （2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，则//ND CM ，由//CN 平面1AB M ，可证
//CN MD ，得到四边形CMDN 为平行四边形，即可求CM 的长. 【详解】
（1）在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC ⊥平面ABC ，
1CC BC ∴⊥，又11,,,AC BC AC CC C AC CC ⊥=⊂I 平面11AAC C ，
BC ∴⊥平面11AAC C ，AM ⊂Q 平面11AAC C ，BC AM ⊥∴；
（2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，N 是AB 的中点，
11111
//,22
DN BB DN BB CC ∴=
=，又11//,//BB CC DN CM ∴， ,DN CM ∴可确定平面,CMDN CN ∴⊂平面CMDN ， //CN Q 平面1AB M ，平面1AB M I 平面CMDN DM =，
//,CN DM ∴∴四边形CMDN 为平行四边形，
11
22
CM DN CC ∴===.
【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明，注意空间垂直间的相互转化，以及直线与平面平行性质定理的应用，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题. 25．（1）见解析（2）45° 【解析】
(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，
则B (1,0,0)，A (0
，0)，A 1(0
)，
M ⎛ ⎝⎭
. 所以1A B u u u r ＝(1
)，AM u u u u r
＝0,⎛ ⎝⎭
. 因为1A B u u u r ·AM u u u u r ＝1×0＋(
)＋(
)×2
0，所以A 1B ⊥AM .
(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .
所以CB u u u r 是平面AMC 的一个法向量，CB u u u r
＝(1,0,0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA u u u r ＝(－1
0)，BM u u u u r
＝1,0,2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
由0,
{0nBA nBM ==u u u r u u u u r
得0
{0
2
x x z -=-+=，令z ＝2，得x
，y
. 所以n ＝
，2)
因为|CB u u u r |＝1，|n |＝
cos 〈CB u u u r ，n 〉＝CB n CB n ⋅⋅u u u r u u u r
＝2
， 因此二面角B -AM -C 的大小为45° 26．(1)证明见解析；(2)
10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，
390x y +-=，320x y -=
【解析】 【分析】
(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由20
50x x y -=⎧⎨+-=⎩
可得直线l 必过一定点
()2,3P ；
(2)由题可得52B y a =+，521
A a x a +=
+，则()1252521AOB a
S a a ++⋅=⋅+V ，求出最值，并找到
最值的条件，进而可得AOB ∆的周长；
(3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要3
1
a +是整数即可，另外不
要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.
【详解】
解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=， 则20
50
x x y -=⎧⎨
+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，
所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由()1520a x y a ++--=得， 当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521
A a
x a +=
+， 又由5205201B A y a a
x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩
，得1a >-， ()()
119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡
⎤⎡⎤∴=
⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
+V ， 当且仅当()9
411a a +=
+，即12
a =时，取等号. ()4,0A ∴，()0,6B ，
AOB ∴∆
的周长为4610OA OB AB ++=+=+
(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数， 即52a +，
521
a
a ++均为整数， 523
211
a a a +=+++Q
，4,2,0,2a ∴=--， 又当5
2
a =-
时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，
320x y -=.
【点睛】
本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.。