高一数学一对一教案 正弦定理和余弦定理的应用

教学内容
高一正弦定理和余弦定理的应用 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的知识点，能熟练利用知识点求解常考的题型、掌握常考题型的常用方法。

教学重、难点
分析期末考试常考题型和解题方法。

考点梳理
一、 典型例题
例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
解：根据正弦定理，得 ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC
ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55= )
7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m) 答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C
南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。

解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，
∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得
AC =
)](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++a BC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )
sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
变式：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒ 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206
例3、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、
β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得
AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h =AC αsin + h =)
sin(sin sin βαβα-a + h
例4、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

已
知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？
若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？
解:在∆ABC 中, ∠BCA=90︒+β,∠ABC =90︒-α,
∠BAC=α- β,∠BAD =α.
根据正弦定理, )sin(βα-BC = )
90sin(β+︒AB 所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)
sin(cos βαβ-BC 在Rt ∆ABD 中,得 BD =ABsin ∠BAD=)
sin(sin cos βααβ-BC 将测量数据代入上式,得BD = )1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'
''︒︒︒≈177 (m) CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.
解:在∆ABC 中, ∠A=15︒,∠C=
25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,
A BC sin = C
AB sin , BC =C A AB sin sin ≈ 7.4524(km) CD=BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
例5、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到
0.01n mile)
解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，
AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222 =︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15
根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABC AC ∠sin sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin = 15.113137sin 0.54︒≈0.3255,
所以 ∠CAB =19.0︒, 75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile
例6、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中，
AC=BC=30， AD=DC=103， ∠ADC =180︒-4θ，
∴θ2sin 310=)
4180sin(30θ-︒ 因为 sin4θ=2sin2θcos2θ
∴ c os2θ=2
3,得 2θ=30︒ ∴ θ=15︒， ∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15 答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m
例7、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
∠ACB=︒75+︒45=︒120
∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120
∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=
23,或x=-16
9(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =21
15⨯23=1435 ∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），
∴3831'︒+︒45=8331'︒
答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
例8、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）
（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150︒;
（2）已知B=60︒, C=45︒, b=4 cm;
（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm
本周作业
教学主管
日期、时间 学生签名。