2013大兴区初三(上)期中数学

2013大兴区初三（上）期中
数学
一、选择题（本题共28分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（4分）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）下列图形一定是相似图形的是（）
A．任意两个菱形B．任意两个等边三角形C．任意两个等腰三角形D．任意两个矩形
3．（4分）已知抛物线的解析式为y=﹣（x﹣5）2﹣1，则它的顶点坐标是（）
A．（5，1）B．（﹣5，1）C．（5，﹣1）D．（1，5）
4．（4分）把抛物线y=5x2向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式是（）
A．y=﹣5x2﹣2 B．y=﹣5x2+2 C．y=5x2﹣2 D．y=5x2+2
5．（4分）已知：如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若AD：AB=2：3，则S△ADE：S△ABC 的值为（）
A．9：4 B．4：9
C．4：5 D．5：4
6．（4分）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）
A．B．C．D．
7．（4分）已知：如图，关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④x=1是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根．
其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
8．（5分）把长为8cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长为cm．
9．（5分）若抛物线y=x2+3x+a与x轴有两个交点，则a的取值范围是．
10．（5分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，若点（﹣，y1）、（4，y2）在抛物线上，则y1y2（填“＞”，“＜”或“=”号）
11．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上有四个点：（1，m），（0，4），（3，m），（4，n），则n的值为．三、解答题（本题共30分，每小题6分）
12．（6分）已知反比例函数y=的图象经过点（4，3）．在x=6时，求y的值．
13．（6分）作函数的图象．
14．（6分）已知抛物线y=x2+bx+c过点（2，1），且此抛物线的对称轴是直线x=，求这条抛物线的解析式．15．（6分）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．
16．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：DA=2：5，CD=10．求EF的长．
四、解答题（本题共10分，每小题0分）
17．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+1（a≠0），自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：x …﹣3 0 1 …
y … 1 1 5 …
求这个二次函数的解析式．
18．已知：抛物线y=nx2﹣（3n+2）x+2n+2（n＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）当n=2时，求抛物线与x轴的交点坐标．
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
19．（5分）某种进口水果的进价每千克20元，如果以每千克x元的价格销售，那么每天可售出（100﹣x）千克．当销售单价为何值时，这种进口水果每天可获得的利润y最大？最大利润是多少元？
20．（5分）已知：如图，AB⊥BC，AB=BC=4，DC⊥BC，点E是BC边上的一个动点（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．设BE的长为x，CF的长为y．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
六、解答题（本题共10分）
21．（10分）已知：如图，一次函数y=﹣x﹣2的图象与二次函数y=2x2+2x﹣4的图象与x轴交于同一点A，且与y 轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成三角形与△ADB相似．试求出C 点的坐标．
七、解答题（本题共22分，第22题7分，第23题7分，第24题8分）
22．（7分）关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象与x轴有交点，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象向下平移4个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=（b＜3）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
23．（7分）已知：如图，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，均以2厘米/秒的速度分别沿AD向点D和沿CB向点B运动．设运动时间为t（其中t≤6.25）秒
（1）当EF与AC垂直时，求出t的值；
（2）在（1）的条件下，若P为线段AC上一点（点P不与点A、C重合），连结EP，当2AE2=AC•AP时，请判断EP 与AD的位置关系，并说明理由；求出此时AP的长．
24．（8分）已知关于x的二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，当﹣3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜﹣3或x＞2时，函数值y＞0．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在直线y=﹣5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
数学试题答案
一、选择题（本题共28分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】根据等式性质2，可判断出只有B选项正确，故选B．
2．【解答】A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．
故选：B．
3．【解答】抛物线y=﹣（x﹣5）2﹣1的顶点坐标为（5，﹣1）．故选C．
4．【解答】∵y=5x2向上平移2个单位长度，
∴新抛物线为y=5x2+2．
故选；D．
5．【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2=．
故选B．
6．【解答】∵k1＜0＜k2，b=﹣1＜0
∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．
故选：A．
7．【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为（3，0），
∴ax2+bx+c=0（a≠0）的根为﹣1和3，所以④错误．
故选B．
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
8．【解答】较长线段的长度=×8cm=4（﹣1）cm．故答案为4（﹣1）．
9．【解答】∵抛物线y=x2+3x+a与x轴有两个交点，
∴令y=0，则关于x的方程x2+3x+a=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即9﹣4a＞0，
解得a＜，
故答案为：a＜．
10．【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，开口向上，
而点（﹣，y1）比点（4，y2）离对称轴近，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
11．【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（1，m）、（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，即b=﹣4a，
把（0，4）代入解析式得c=4，
把（4，n）代入解析式得n=16a+4b+c=16a+4×（﹣4a）+4=4．
故答案为4．
三、解答题（本题共30分，每小题6分）
12．【解答】把（4，3）代入y=得k=4×3=12，
所以反比例函数解析式为y=，
当x=6时，y===2．
13．【解答】列表：
描点、连线：
14．【解答】根据题意得，解得，所以这条抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1．
15．【解答】在△ABC中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=79°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC∽△DEF．
16．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=10，
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴=，
∴=，
∴EF=4．
四、解答题（本题共10分，每小题0分）
17．【解答】根据题意得，解得，
所以这个二次函数的解析式为y=x2+3x+1．
18．【解答】（1）∵y=nx2﹣（3n+2）x+2n+2（n＞0），
∴b2﹣4ac=（3n+2）2﹣4n（2n+2）=9n2+12n+4﹣8n2﹣8n=n2+4n+4=（n+2）2，
∵n＞0，
∴b2﹣4ac=（n+2）2＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）当n=2时，抛物线y=nx2﹣（3n+2）x+2n+2=2x2﹣8x+6，
当y=0时，0=2x2﹣8x+6，
∴x2﹣4x+3=0，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（1，0），（3，0）．
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
19．【解答】y=（100﹣x）（x﹣20）=﹣（x﹣60）2+1600．即y=﹣（x﹣60）2+1600（0＜x≤100）．所以，当x=60时，y最大值=1600．
答：当销售单价为60元时，这种进口水果每天可获得的利润y最大，最大利润是1600元．
20．【解答】BE的长为x，则CE=BC﹣BE=4﹣x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEF=90°，
∴∠A=∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴=，即=，
∴y=﹣x2+x（0＜x＜4）．
六、解答题（本题共10分）
21．【解答】令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，﹣2），
二次函数与y轴的交点为D（0，﹣4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=﹣2﹣（﹣4）=2，
∴AB==2，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°﹣45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°，
∴点C在点A的左边，
①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴==1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
点C的坐标为（﹣4，0），
②AC和AB是对应边时，
∵△ADB∽△CBA，
∴==，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（﹣6，0），
综上所述，在x轴上有一点C（﹣4，0）或（﹣6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．
七、解答题（本题共22分，第22题7分，第23题7分，第24题8分）
22．【解答】（1）由题意得，△=4﹣4（k﹣1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；
（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1．
当k=1时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（0，0），不合题意；
当k=2时，图象y=x2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1，0），符合题意；
综上所述，k=2符合题意．
当k=2时，二次函数为y=x2+2x+1，把它的图象向下平移4个单位得到的图象的解析式为：y=x2+2x﹣3；
（3）设二次函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，
则A（﹣3，0），B（1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线y=x+b经过A点时，可得b=；
当直线y=x+b经过B点时，可得b=﹣．
由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为：﹣＜b＜．
23．【解答】（1）∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO=CO，EO=FO．
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC=20．
∴AO=AC=10．
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴CD=12．
∴cos∠CAD=，
∴，
∴，
∴AE=，
t=÷2=秒．
答：时，EF与AC垂直；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P．
∴∠AEP=90°，
∴∠AEP=∠AOE．
∵∠OAE=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，
∴AE2=A0•AP，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．
24．【解答】（1）∵二次函数y=x2+mx+n，当﹣3＜x＜2时，函数值y＜0；当x＜﹣3或x＞2时，函数值y＞0，∴二次函数y=x2+mx+n过点A（﹣3，0），B（2，0），
把A，B点代入二次函数解析式得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y=x2+x﹣6；
（2）如图所示：过点B作BD⊥AC于点D，
当x=0，则y=﹣6，
∴CO=6，
∵A（﹣3，0），B（2，0），
∴AO=3，BO=2，AB=5，
∴AC==3，BC=2，
∴DB×AC=AB×CO，
∴BD===2，
∴sin∠DCB===，
∴∠DCB=45°，
当∠APB=∠ACB，即∠APB=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P在直线y=﹣5上，
∴当PA⊥AB垂足为A时，PA=AB，∠BAP=90°，
∴∠APB=∠ABP=45°，此时P点坐标为：（﹣3，﹣5），
当∠AP′B=∠ACB，即∠AP′B=∠ACB=45°，
∵AB=5，点P′在直线y=﹣5上，
∴当P′B⊥AB垂足为B时，P′A=AB，∠P′BA=90°，
∴∠AP′B=∠BAP′=45°，此时P′点坐标为：（2，﹣5），
综上所述：在直线y=﹣5上是否存在点P，使得∠APB=∠ACB，点P的坐标分别为：（﹣3，﹣5），（2，﹣5）．word下载地址。