吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试数学(文)试题Word版含答案

吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的
1．若复数212i
z i
-=
+，则z =（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 2- 2．在区间
上任取一个实数，则
的概率是( )
A. B. C. D.
3．已知命题2
000:,230p x R x x ∃∈-+≤的否定是2
,230x R x x ∀∈-+>，命题:q 双曲线2
214
x y -=的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p q ∨
B. p q ⌝∧
C. p q ⌝∨
D. p q ∧
4．命题“2m =-”是命题“直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
5．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于（ ）
A. 12
B. 18
C. 24
D. 36
6．已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7．空间两条直线、与直线都成异面直线，则、的位置关系是（ ）．
A. 平行或相交
B. 异面或平行
C. 异面或相交
D. 平行或异面或相交 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 64 B. 32 C. 96 D. 48 9．函数f (x )＝
12
x 2
－ln x 的最小值为( ) A.
1
2
B. 1
C. 0
D. 不存在 10．已知直线l 与抛物线C ： 24y x =相交于A ， B 两
点，若线段
AB 的中点为()2,1，则直线l 的方程为（ ）
A. 1y x =-
B. 25y x =-+
C. 3y x =-+
D. 23y x =-
11．已知函数()222x f x xe ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],e -∞ B. (],1-∞ C. [),e +∞ D. [)1,+∞
12．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>经过点()1,2-，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ， B 两点，
7,02Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，若BQ BF ⊥，则BF AF -=（ ） A. 1- B. 3
2
-
C. 2-
D. 4- 第Ⅱ卷（共90 分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线1y kx =+与圆()2
221x y -+=有公共点，则实数k 的取值范围是_____． 14．已知两个球的表面积之比为
，则这两个球的半径之比为__________．
15．观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=，
5511a b +=，…，则1111a b += _________.
16．已知函数
在点处的切线方程为，则函数
在点
处的切线方程为__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（本题满分12分）已知函数()32392f x x x x =-++-，求： （1）函数()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间．
18．（本题满分12分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方 图如图所示：
（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；
（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学 生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别 抽取了多少人？
（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有 1人当选为正、副小组长的概率．
19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面
ABCD ，
PA ＝2，∠PDA=450，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． （1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求三棱锥C －BEP 的体积．
20．（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为
，，离心率.
（1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于
点，当变化时，求
面积的最大值.
21．（本题满分12分）已知函数()ln a
f x x x
=+， a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当0a >时，证明()21
a f x a
-≥
．
22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22,{
32x cos y sin αα
=+=+（α为参数，
2παπ≤≤），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 42
t πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
．
P
E C
A
D
F
（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；
（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围．
吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9 A 10．D 11．A 12． B
二、填空题
13．4,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
14．
15．199 16．
三、解答题
17．解：（1）∵()32392f x x x x =-++-
∴()2369f x x x '=-++， ∴()09f '=， 又()02f =-， ∴函数()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程为()29y x --=，
即920x y --=。

………………6分 （2）由（1）得()()
()()22369323331f x x x x x x x =-++=---=--+'，
令()0f x '<，解得1x <-或3x >。

∴函数()y f x =的单调递减区间为()(),1,3,-∞-+∞。

………………12分
18．解：（1）由频率分布直方图得：众数为：=65．
成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10=0.4， 成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，
∴中位数为：70+×10≈73.3． ………………4分
（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1， ∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．
…………………8分
（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a ，b ，c ；
成绩在[80，90）有2人，分别记为d ，e ；成绩在[90，100]有1人，记为f ．
∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，分别为：
ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ， dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe ，
记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q ， 则事件Q 包含的基本事件有18种，
∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P （Q ）=．
…………………12分
19．解：（1）证明：取PC 的中点G ，连接GF ，因为F 为PD 的中点， 所以，GF ∥CD 且,2
1
CD GF =
又E 为AB 的中点，ABCD 是正方形，
所以，AE ∥CD 且,2
1
CD AE =
故AE ∥GF 且,GF AE = 所以，AEGF 是平行四边形，故AF ∥EG ，而AF ⊄平面PCE ，
EG ⊆平面PCE ，所以，AF ∥平面PCE . ………………6分
（2）因为PA ⊥底面ABCD ，所以，PA 是三棱锥P-EBC 的高，PA ⊥AD ，PA ＝2，
∠PDA=450
，所以，AD=2，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以，EB=1，故EBC Rt ∆
的面积为1，故3
22131=⨯⨯=
=--EBC P BEP C V V . 故三棱锥C －BEP 的体积为
3
2
. ………………12分 20．解：（1）由离心率，半焦距，解得.
所以，所以椭圆的方程是. ………………4分
（2）解：设
，
，
据得
∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴
，又
，所以
且
.
由根与系数的关系得， …………6分
设线段中点为，点横坐标，，∴，
∴线段垂直平分线方程为，∴点坐标为，
点到直线的距离， ……………… 9分
又，
所以，
所以当时，三角形面积最大，且. …………………12分
21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()221a x a f x x x x
='-=
-.………1分 当0a ≤时， ()0f x '>， ()f x 在()0,+∞上单调递增； ………………3分
当0a >时，若x a >时，则()0f x '>，函数()f x 在(),a +∞上单调递增；若0x a <<时，则()0f x '<，函数()f x 在()0,a 上单调递减. ………………5分
（2）由（1）知，当0a >时， ()()min ln 1f x f a a ==+.…………7分
要证()21a f x a -≥
，只需证21ln 1a a a -+≥，即只需证1
ln 10a a
+-≥ 构造函数()1ln 1g a a a =+
-，则()22111
a g a a a a
='-=-. 所以()g a 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.
所以()()min 10g a g ==. 所以1ln 10a a +
-≥恒成立，所以()21
a f x a
-≥
. …………12分 22．解：（1）∵曲线1C 的参数方程为22,{
32x cos y sin αα
=+=+（α为参数， 2παπ≤≤），
∴曲线1C 的普通方程为： ()()2
2
234x y -+-=（04x ≤≤， 13y ≤≤），
∵曲线2C 的极坐标方程为sin 222ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴曲线2C 的直角坐标方程为0x y t -+=． …………5分
（2）∵曲线1C 的普通方程为： ()()2
2
234x y -+-=（04x ≤≤， 13y ≤≤）为半圆弧，由曲线2C
于1C 有两个公共点，则当2C 与1C 2=，整理得1t -=
∴1t =-或1t =+（舍去）， 当2C 过点()4,3时， 430t -+=，所以t=-1.
∴当1C 与2C 有两个公共点时， 11t -<≤-． …………10分
若复数212i
z i
-=
+，则z =（ ） A. 4 B. 1 C. 0 D. 2- 2．在区间
上任取一个实数，则
的概率是( )
A. B. C. D.
3．已知命题2
000:,230p x R x x ∃∈-+≤的否定是2
,230x R x x ∀∈-+>，命题:q 双曲线2
214
x y -=的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p q ∨
B. p q ⌝∧
C. p q ⌝∨
D. p q ∧ 4．命题“2m =-。