材料力学 截面几何特性

= 144 ×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (20mm) 2 + 0.58 ×10 mm + 700mm × (35mm)
4 4 2 2
= 278.33mm
4
I xC yC = A1 xc1 yc1 + A2 xc 2 yc 2
= 1200mm × (15mm) × (20mm)
2
A
ρ
= ∫ ( yC + b) 2 dA
A 2 = ∫ ( yC + 2byC + b 2 )dA A
= I xC + 2bS xC + b 2 A
I x = I xC + 2bS xC + b 2 A
因为C为形心 因为 为形心
S xC = AyC = 0
Ix = IxC + b2 A
同理: 同理:
+ 700mm × (25mm) × (35mm)
2
= 97.25 ×10 4 mm 4
(2)计算主轴位置
tan 2α 0 =
2 I xy Ix Iy
2 × 97.25 ×10 4 mm 4 = 100.33 ×10 4 mm 4 278.33 ×10 4 mm 4 = 1.093
α 0 = 113.80
I x1 = ∫ y12 dA
α
= ∫ ( x sin α + y cos α ) dA
2
= I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = Ix + Iy 2 + Ix Iy 2 cos 2α I xy sin 2α
图(a)
5 × 800 + 65 × 1100 = = 39.7 mm 800 + 1100
2.用负面积法求解,图形分割及坐标如图 2.用负面积法求解, 用负面积法求解
A1 = 9600mm 2 A2 = 7700mm 2
y 10
C1(40,60) C2(45,65) 负面积 120 C2 C1 10
整个图形对某轴的静矩, 整个图形对某轴的静矩,等于图形各部分对同轴 静矩的代数和
A = ∑ Ai
i =1 n
S x = ∑ Ai yi = Ay
i =1 n
n
S y = ∑ Ai xi = Ax
i =1
x = y =
∑ ∑
xi Ai A y i Ai A
例1
试确定下图的形心坐标. 试确定下图的形心坐标. 解 : 1.用正面积法求解,图形分割及坐标如图 1.用正面积法求解, 用正面积法求解
材料力学
附录I 附录I 截面的几何性质
§I–1 截面的面积矩和形心 1
截面的面积矩(静矩,一次矩) 一,截面的面积矩(静矩,一次矩)
y
面积矩:是面积与它到轴的距离之积( 面积矩:是面积与它到轴的距离之积(用S表 示).
S y = ∫ xdA
A A
S x = ∫ ydA
x y x dA
同一截面对于不同的坐标 轴面积矩不同 面积矩可正, 面积矩可正,可负也可为 零
d (2a ) I x1 = 12 (80 mm )(200 mm )3 = 5 333 ×104 mm 4 = 12
3
对于半圆形
d sin(π / 2) 80mm xc 2 = = = 17.0mm 3×π / 2 3×π / 2
d4 16 I x2 = π / 2 64 9×π / 2
二,截面的形心
y
∫ xdA x=
A
A
x
dA
∫ ydA y=
A
x
C y
A
y
x
Sy = Ax
Sx = Ay
如果截面对某一轴的面积矩等于零, ①如果截面对某一轴的面积矩等于零,则该轴必过 截面的形心; 截面的形心; 截面对于通过形心的轴的面积矩必等于零. ②截面对于通过形心的轴的面积矩必等于零.
组合截面的静矩与形心: 三,组合截面的静矩与形心:
I xC = I xC 1 + A y + I xC 2 + A2 y
2 1 c1
2 c2
= 1×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (15mm) 2 + 28.58mm 4 + 700mm 2 × (25mm) 2 = 100.33mm
4
I yC = I yC 1 + A1 xc21 + I yC 2 + A2 xc22
例I-7 截面尺寸如图, 截面尺寸如图,形心 位置已知. 位置已知.试计算截 面的形心主惯性矩. 面的形心主惯性矩.
y
120 C1(20,25) 80 C C2(-35,-25) 10
x
10
:(1 计算Cx 解:(1)计算 cyc坐标系的惯性矩和惯性积
A1 = 120mm × 10mm = 1200mm
y yC x a dA xC C b y x
I y = I yC + a2 A
I xy = I xC yC + abA
I p = I pC + (a2 + b2 ) A
注意: 点必须为形心 注意: C点,组合截面的惯性矩(积): 组合截面对某坐标轴的惯性矩( 组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中 各部分对同一坐标轴惯性矩 (积)之和. 之和.
I x = ∑ I xi
i =1 =1
n
n
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
i =1
n
例题Ⅰ 例题Ⅰ- 5 试求图a所 示截面对于x轴的惯性矩Ix , 对于y轴的惯性矩Iy ,以及 y I 对于x,y轴的惯性积Ixy .
(a)
解:将截面看作由一个矩形和两个 半圆形组成, 半圆形组成,对于矩形
图(b)
§I-2
极惯性矩 惯性矩 惯性积
惯性矩:是面积与它到轴的距离的平方之积. 惯性矩:是面积与它到轴的距离的平方之积. 极惯性矩:是面积与它到原点的距离的平方之积. 原点的距离的平方之积 极惯性矩:是面积与它到原点的距离的平方之积. 惯性积:是面积与它到两根轴的距离的乘积. 两根轴的距离的乘积 惯性积:是面积与它到两根轴的距离的乘积.
(80mm) 4 16 4 4 = π / 2 = 28 ×10 mm 64 9×π / 2
I x2 = I x2 C + A2 × (a + xc 2 ) 2
= 28mm 4 +
π (80mm) 2
8
× (100 + 17) 2
= 3467 mm 4
组合截面对x轴的惯性矩为 组合截面对x
形心主轴的确定
如果截面有一根对称轴, 如果截面有一根对称轴,则该轴及与之正交的 形心轴即为形心主轴
y y c x y x c x y x
c
c
如果截面具有三根以上的对称轴, 如果截面具有三根以上的对称轴,过形心的任 意轴及与之正交的形心轴均为形心主轴
y x y x
c
c
如果截面没有对称轴,形心主轴的确定: 如果截面没有对称轴,形心主轴的确定: 1,确定形心位置; 确定形心位置; 过形心取一对正交轴x,y, 2,过形心取一对正交轴 ,利用平行移轴公式计 算截面对这对轴的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy. 算截面对这对轴的惯性矩 惯性积 3,利用下面的公式计算主轴位置
iy = Iy A
ix =
Ix A
2 I x = ix A
2 I y = iy A
§I-3 惯性矩与惯性积的平行移轴公 式 组合截面的惯性矩和惯性积
一,平行移轴公式 平行移轴公式
y yC x a dA xC C b y x
x = a + xC y = b + yC
I x = ∫ y 2 dA
二,截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
主惯性轴(主轴):截面对其惯性积等于 主惯性轴(主轴) 零的一对坐标轴 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩 主惯性矩: 形心主惯性轴:一对主惯性轴的交点(即 形心主惯性轴:一对主惯性轴的交点( 坐标原点) 坐标原点)与截面的形心重合 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的 形心主惯性矩: 惯性矩
(3)计算形心主惯性矩
I x0 =
Ix + Iy 2
1 2 + ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2
4 4
= 321.4× 10 mm
I y0 =
Ix + Iy 2
1 2 2 ( I x I y ) + 4 I xy 2
4 4
= 57.4 × 10 mm
�
I x = I x1 + 2 I x2 = 5333mm 4 + 2 × 3467 mm 4 = 12270mm 4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截 面的主惯性轴和主惯性矩
一, 惯性矩和惯性积的转轴公式
y y1 x1
x y
dA y1 x1 x
坐标的旋转变换: 坐标的旋转变换: x1 =xcosα + ysinα y1 = xsinα + ycosα 轴的惯性矩: 对x1轴的惯性矩:
I x0 y0 =( I x I y 2 sin2α 0 + I xy cos2α 0 )=0
tan 2α 0 =
Ix + Iy
2 I xy Ix Iy
4,利用下面的公式计算主惯性矩
1 2 I x0 = + ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2 2 Ix + Iy 1 2 I y0 = ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2 2
y 10
A1 = 800mm 2
A2 = 1100mm 2
x
120 C2 C1(40,5) C2(5,65)
∑x A =
i
i
A
=
x1 A1 + x 2 A2 A1 + A2
40 × 800 + 5 × 1100 = 19.7 mm = 800 + 1100
C1 80
x
∑y A y=
i
10
i
A
=
y 1 A1 + y 2 A2 A1 + A2
3 3
2
I xC 1 = 120mm × (10mm) / 12 = 1×10 mm
4 4
4 4
I yC 1 = (120mm) ×10mm / 12 = 144 ×10 mm
I xC 1 y C 1 = 0
A2 = 70mm × 10mm = 700mm 2
I xC 1 = (70mm)3 ×10mm / 12 = 28.58 ×10 4 mm 4 I yC 1 = 70mm × (10mm)3 / 12 = 0.58 ×10 4 mm 4 I xC 2 yC 2 = 0
同理: 同理:
I y1 = Ix + Iy 2 Ix Iy 2 cos 2α + I xy sin 2α
I x1 y1 =
Ix Iy 2
sin 2α + I xy cos 2α
I x1 + I y1 = I x + I y = I p
图形对通过同一坐 标原点任意一对相 互垂直坐标轴的两 个轴惯性矩之和为 常量, 常量,等于图形对原 点的极惯性矩
y
I x = ∫ y 2 dA
A
x
I y = ∫ x 2 dA
dA y x
A
ρ
I p = ∫ ρ 2 dA = I x + I y
A
I xy = ∫ xydA
A
惯性矩和极惯矩永远为正,惯性积可能为正,为 惯性矩和极惯矩永远为正,惯性积可能为正, 为零(主惯性轴), ),任何平面图形对于通过 负,为零(主惯性轴),任何平面图形对于通过 其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积 为零 惯性半径 任意形状的截面图形的面积为A,则图形对 轴 任意形状的截面图形的面积为 ,则图形对y轴 和x轴的惯性半径分别定义为 轴的惯性半径分别定义为
∑x A = x A + x x=
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
40 × 9600 45 × 7700 = = 19.7 mm 9600 7700
∑y A y=
i
i
A
=
y 1 A1 + y 2 A2 A1 + A2
80
x
60 × 9600 65 × 7700 = 39.7 mm = 9600 7700