上海市宝山区行知实验中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(1)及解析

上海市宝山区行知实验中学2017-2018学年高一下学期期中数
学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.在中，，则这个三角形一定是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
2.∆ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2 ，则
b
a
=（ ）
A. B.
3.已知如下命题：①1
tan 2
6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是4π；②函数tan y x =在定义域
内单调递增；③函数sin 2y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
在[0,]π上是减函数；④函数arccos 2
y x π
=-
是奇函
数；其中正确的命题个数是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈{x |f(x)=A
2 },且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( )
A. 3π
B. 2π
C. π
D. π
2
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
5.ABC ∆中，2
3,3
a A π==
，则为其外接圆半径R =_____
6.若函数2sin y x x =+的最大值为3，则a 的值为_____
7.函数2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的减区间为_________ 8.不等式arccos arccos(1)x x >-的解为______
9.函数3sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为______ 10.已知甲、乙两船同时从A 处出发，甲沿北偏东30的方向航行，乙沿正东方向航行至B 处，然后沿一新航向继续航行，与甲在C 处相遇，此时甲航行了60海里，乙由A 至B 航行了50海里，则B C 、两处的距离为______海里（精确到0.1）
11.ABC ∆中，60,A a =︒=
______
12.定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，其最小正周期为π，且当
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =，则
113f π⎛⎫
⎪⎝⎭
=_____ 13.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点2,03M π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，且在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调函数，则ω的值为______ 14.已知函数()()11
sin cos sin cos 2
f x x x x x =+--，则()f x 的值域是________．
三、解答题（题型注释）
,5,7AB BC ︒==，求ABC ∆的面积. 16.已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
图像上的一个最高点的坐标为
8π⎛ ⎝，由这个最高点到其相邻的最低点间，图像与x 轴交于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
（1）求函数()f x 解析式； （2）求函数()f x 的对称轴方程；
（3）解方程：(),[0,2]2
f x x π=
∈.
17.已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+- （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域； （3）把函数()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得到的图像对应的函数是奇函数，求ϕ的最小值
18.如图所示，在直角ABC ∆中有一内接正方形DEFG ，它的一条边DE 在直角ABC ∆的
斜边BC 上，设,AB a ABC θ=∠=
（1）用a 和θ表示出ABC ∆的面积P 和正方形DEFG 的面积Q ； （2）当θ变化时，求
P
Q
的最小值.
19.已知函数22()sin )2sin cos f x x x x x ωωωω=-+的图像关于直线2
x π=对称，
且(0,1)ω∈.
（1）求()f x 的表达式；
（2）若将()y f x =图像上各点的横坐标变为原来的
16
，再将所得图像向右平移3π
个单位，
得到()y g x =的图像，且关于x 的方程()0g x k +=在区间02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.
参考答案
1.A
【解析】1.
在△ABC 中，a
cosC =2b ，由正弦定理可得：sinA
cosC =2sinB ，即sinA =2sinBcosC .
又sinA
=sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC .
所以cosBsinC = sinBcosC ，即sin (B −C )=0.
有B
=C .
所以△ABC 为等腰三角形.
故选A.
2.D
【解析】2.
由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB
sinA ，从而得到b
a ，可得答案．
∵△ABC 中，asinAsinB+bcos2A
a ，
∴根据正弦定理，得sin 2AsinB+sinBcos 2A
sinA ， 可得sinB （sin 2A+cos 2A
sinA ，∵sin 2A+cos 2A ＝1， ∴sinB
sinA ，得b
a ，可得b
a
． 故选：D ． 3.A
【解析】3.
结合三角函数的周期性、单调性、奇偶性逐一判断即可得解.
解：对于①，1
tan 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
的最小正周期是212
π
π=-，即①错误；
对于②，函数tan y x =的增区间为,,2
2k k k Z π
πππ⎛⎫
-+
∈ ⎪⎝
⎭
， 即函数在定义域内不单调，即②错误；
对于③，函数sin cos 2y x x π⎛⎫
=-
=- ⎪⎝
⎭
，又函数cos y x =在[0,]π上是减函数，则
sin cos 2y x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭在[0,]π上是增函数；即③错误；
对于④，函数()arccos 2
f x x π
=-
，则
()arccos()arccos (arccos )()2
2
2
f x x x x f x π
π
π
π-=--
=--
=--
=-，即函数
arccos 2
y x π
=-
是奇函数，即④正确，
即正确的命题个数是1个， 故选：A. 4.A
【解析】4. 由题意可得
13×2πω
=π，求得ω的值，可得f (x )的最小正周期是2πω
的值
由题意可得sin (ωx +θ)=12的解为两个不等的实数x 1，x 2
且
13×2πω
=π，求得ω=23
故f (x )的最小正周期是2π
ω=3π
故选A
【解析】5. 由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===,将条件代入运算即可得解. 解：由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===, 可得
2sin 2a
R A
=
==
6.5
【解析】6.
由三角函数辅助角公式可得),(tan y x ϕϕ=+=
，由三角函数的有界性
可得函数2sin y x x =+.
解：因为2sin ),(tan 2
y x x x ϕϕ=+
=+=
，
即函数2sin y x x =+
3=， 即945a =-=， 故答案为：5. 7.5,,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
【解析】7.
先将求函数2sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的减区间转化为求函数2sin(2)3y x π=-的增区间，
再由2222
32
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
求解即可.
解：由题意有2sin 22sin(2)33y x x ππ⎛⎫
=-=-- ⎪
⎝⎭
， 则函数2sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的减区间为函数2sin(2)3y x π=-的增区间，
由2222
32
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，
解得：5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈， 即函数2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭的减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
， 故答案为：5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 8.10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】8.
由反余弦函数的定义域及单调性可得111111x x x x -≤≤⎧⎪
-≤-≤⎨⎪<-⎩
，再求解即可.
解：由函数arccos y x =是定义在[]1,1-的减函数， 又arccos arccos(1)x x >-，
则11
1111x x x x
-≤≤⎧⎪
-≤-≤⎨⎪<-⎩
，解得：102x ≤<，
即不等式的解集为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
， 故答案为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 9.2
π
【解析】9. 由3sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的周期为函数3sin(2)3
y x π
=-的周期的一半，再求解即可.
解：因为函数3sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则函数的最小正周期为
2
π， 故答案为：2
π. 10.55.7
【解析】10.
先阅读题意，则问题可转化为在ABC ∆中，已知50,60,60AB AC BAC ==∠=,求BC 长，结合余弦定理求解即可.
解：由题意可知，在ABC ∆中，已知50,60,60AB AC BAC ==∠=, 由余弦定理可得
2221
2cos 250036002506031002
BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯
=,
即55.7BC =≈， 故答案为：55.7.
11.4
【解析】11.
先由余弦定理可得223b c bc +-=，再由重要不等式可得3bc ≤，再结合三角形面积公式
1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解即可.
解：在ABC ∆中，60,A a =︒=
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得，
223b c bc +-=，
又222b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号， 所以23bc bc bc -=≤， 又1
sin 2
ABC S bc A ∆=，
则13224
ABC S ∆≤
⨯⨯=
，
故ABC ∆的面积的最大值为
4
，
.
12.
【解析】12.
先由函数()f x 的最小正周期为π，可得11()33f f ππ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，再由函数()f x 为奇函数，
所以()()33f f ππ
-=-，再结合当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()sin f x x =，求解即可.
解：由函数()f x 的最小正周期为π，可得11(4)()333f f f ππππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
又函数()f x 为奇函数，所以()()33
f f π
π
-=-，
又当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，()sin f x x =，则()sin 33f ππ==
，
即113f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
故答案为：. 13.34
【解析】13.
由()sin()f x x ωϕ=+是R 上的偶函数，可得2
ϕπ
=，即()cos f x x ω=，由函数图像关于点2,03M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可得33
24
k ω=+，k Z ∈，再结合函数的单调性可得02ω<≤，综合条件即可得解.
解：由()sin()f x x ωφ=+是R 上的偶函数，则,2
k k Z π
ϕπ=+∈，
又0φπ≤≤，则2
ϕπ
=，即()cos f x x ω=， 令2
x k π
ωπ=+
，则23
x π=
为此方程的解，则33
24k ω=
+，k Z ∈， 由()cos f x x ω=在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调函数，则2πωπ⨯≤，即02ω<≤， 则3
4
ω=
， 故答案为：
34
.
14.1,2⎡-⎢⎣⎦
【解析】14.当sin cos x x ≥时， ()()()11
sin cos sin cos cos 22
f x x x x x x =
+--=； 当sin cos x x <时， ()()()11
sin cos sin cos sin 22
f x x x x x x =++-=；
考查一个周期[]0,2π内三角函数的性质：
当5,44x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时， sin cos x x >； 当50,,244x πππ⎛⎫⎛⎫
∈⋃ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
时， sin cos x x <，
绘制函数在[]
0,2π内的图象如图(实线)所示，
观察可得，函数的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦
.
【解析】15.
先由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅可得，3AC =，再由三角形面积公式1
sin 2
ABC S AB AC A ∆=
⨯⨯⨯求解即可. 解：在ABC ∆中，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅可得， 又120,5,7A AB BC =︒==，
则25240AC AC +-=,又0AC >，即3AC =，
则11sin 5322ABC S AB AC A ∆=
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=
故ABC ∆.
16.（1）4()sin()33
f x x π=+
（2）3,48
k x k Z ππ
=
+∈ （3）370,,,424πππ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【解析】16.
（1）由函数的最高点坐标，零点及函数的周期可得函数解析式； （2）令
4332
x k ππ
π+=+，可得函数()f x 的对称轴方程；
（3）由[0,2]x π，求得4[,3]333x πππ+∈，再解方程4sin()332
x π+=即可.
解：（1）由题意可得A =,428T ππ=-,即32T π=，
即243T πω==，即4()sin()3
f x x ϕ=+，
又2()sin()023f ππϕ=+=，即23k πϕπ+=，即2,3
k k Z πϕπ=-∈， 又2π
ϕ<，所以3π
ϕ=
，
即函数()f x 解析式为4()sin()33f x x π=
+； （2）由4332x k πππ+=+，解得3,48
k x k Z ππ=+∈， 即函数()f x 的对称轴方程为3,48k x k Z ππ=
+∈； （3）由[0,2]x π，所以4[,3]333
x πππ+∈，
由()f x =，即4sin()33x π+=， 又[0,2]x π，所以
4[,3]333x πππ+∈， 即4333x ππ+=或42333x ππ+=或47333x ππ+=或48333
x ππ+=， 即0x =或4x π
=或32x π=或74
x π=，
故方程()[0,2]f x x π=
∈的解集为370,,,424πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 17.（1）π
（2）[]1,2-
（3）
512
π
【解析】17. （1）由三角恒等变换可得()2sin(2)6f x x π
=-，再求周期即可；
（2）先利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再求出52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再求值域即可； （3）由函数图像的平移变换可得：把函数()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得到的图像对应的函数解析式为()2sin(22)6g x x π
ϕ=--，再根据函数的奇偶性求解即可.
解：（1）由2()cos 2sin 1f x x x x =+-，
可得()2cos 22sin(2)6
f x x x x π=-=-， 则函数()f x 的最小正周期为22T ππ=
=， 即函数()f x 的最小正周期为π；
（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin(2)126x π-≤-≤， 则12sin(2)26x π
-≤-≤，
故函数()f x 的值域为[]1,2-；
（3）把函数()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得到的图像对应的函数解析式为()2sin[2()]2sin(22)66
g x x x ππϕϕ=--=--，又函数()g x 是奇函数，则26k π
ϕπ+=， 即,212k k Z ππϕ=-∈，又0ϕ>，则ϕ的最小值为512
π， 故ϕ的最小值为
512π. 18.（1）21tan 2P a θ=,222sin 0,2(1sin cos )a Q θπθθθ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭
，， （2）
94
【解析】18.
（1）利用三角形面积公式及正方形的面积公式运算即可；
（2）将P Q
表示为θ的函数，再结合函数的单调性求最小值即可. 解：（1）在ABC ∆中，tan tan AC AB a θθ==，
则211tan 22
ABC S AB AC a θ∆=⨯=， 设正方形DEFG 的边长为x ，则sin BG x θ⋅=，cos AG x θ=，
又AB BG AG a =+=， 所以sin 1sin cos a x θθθ
=+ ， 所以正方形DEFG 的面积2222
sin (1sin cos )a Q x θθθ==+； 故21tan 2P a θ=,222sin 0,2(1sin cos )a Q θπθθθ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭
，，； （2）由（1）得：21(1sin cos )11(sin cos )12sin cos 2sin cos P Q θθθθθθθθ
+==++ 11sin 214sin 2θθ
=++， 设sin 2t θ=，则(]0,1t ∈， 则(]11()1,0,14g t t t t
=++∈ 又函数()g t 在(]0,1为减函数，则min 9()(1)4g t g ==
， 故P Q 的最小值为94
. 19.（1）1
()2sin()33f x x π=+
（2）k <≤
或2k =-
【解析】19. （1）由三角恒等变换可得()f x =2sin(2)3x πω+
，再结合函数()f x 图像的对称性即可求出16
ω=； （2）由三角函数图像的变换可得：将()y f x =图像上各点的横坐标变为原来的16
，再将所得图像向右平移3π个单位，得到()y g x =的图像，则()2sin(2)3
g x x π=-，再作出函
数()y g x =在区间02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，的图像，再观察函数()y g x =的图像与直线y k =-在区间
02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的交点个数即可.
解：（1）因为22()sin )2sin cos f x x x x x
ωωωω=-+
2sin 22sin(2)3x x x πωωω=+=+
， 又函数()f x 的图像关于直线2x π=
对称， 则2232k π
π
π
ωπ⨯+=+，解得1,6
k k Z ω=+∈， 又(0,1)ω∈，即16ω=
， 即()f x 1
2sin()33x π=+，
（2）将()y f x =图像上各点的横坐标变为原来的16
，得函数图像所对应的解析式为y 12sin[(6)]2sin(2)333
x x ππ=⨯+=+，再将所得图像向右平移3π个单位，得到()y g x =的图像，则()2sin[2()]2sin(2)333g x x x π
ππ
=-+=-， 由关于x 的方程()0g x k +=在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个实数解，
则函数()y g x =的图像与直线y k =-在区间02π
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个交点， 又函数()y g x =在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的图像如图所示， 则数()y g x =的图像与直线y k =-在区间02π
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个交点时，
k <≤2k =-，
即实数k 的取值范围为k <≤2k =-.。