【数学】河南省郑州市2018届高三上学期入学考试数学文试题Word版含答案

【关键字】数学
郑州一中2017-2018上期高三入学测试
文科数学试题卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.已知（），其中为虚数单位，则（）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
3.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（）A．B．C．D．
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A．96里B．48里 C. 192里D．24里
5.已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B． C. D．
6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495，135，则输出的（）
A．0 B．5 C. 45 D．90
7. 的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）
A．B． C. D．
8.已知且满足约束条件，则的最小值为（）
A．1 B．4 C.6 D．7
9.定义运算：，将函数（）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）
A．B． C. D．
10.设曲线（）上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象要以为（）
11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（）A．B． C. D．
12.设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）
A．B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知是等差数列的前项和，若，则数列的公差为．
14.已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为．
15.已知曲线在点处的切线为，若与曲线相切，则．
16.已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点作的角平分线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有.
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求的值：
②在地理成绩及格的学生中，已知，，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率. 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面. （1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.
20. 已知圆关于直线对称的圆为. （1）求圆的方程；
（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数2
()ln (1
)f x x a x x =-+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a <时，证明：对任意的(0,)x ∈+∞，有2ln ()(1)1x
f x a x a x
<-
-+-+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t
y t
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .
（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin()4
π
ρα+
=曲线1C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，曲线1C 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.
（1）求不等式()12f x x ++<的解集；
（2）若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且m n a +=（0,0m n >>），求41
m n
+的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:CABAB 6-10: CDBD 11、12：AD
二、填空题
13. 2 14. 3 15. 8 16.
2
三、解答题
17.（1）∵cos (2)cos()b A c a B π=+-，∴cos (2)(cos )b A c a B =+-. 由正弦定理可得，sin cos (2sin sin )cos B A C A B =--， 即sin()2sin cos sin A B C B C +=-=
又角C 为ABC ∆内角，sin 0C >，∴1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴23
B π=.
（2）有1
sin 2
ABC S ac B ∆=
=4ac =. 又2
2
2
2
()16b a c ac a c ac =++=+-=
∴a c +=ABC ∆周长为4+ 18.解：
（1）785，667，199. （2）①
7930%100
a
++=，∴14a =；10030(20184)(56)17b =--++-+=.
②100(7205)(9186)431a b +=-++-++-=. 因为11a ≥，7b ≥，所以,a b 的搭配：
(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，(24,7)，共有14种.
设11a ≥，7b ≥时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A ，5a b +<.
事件A 包括：(11,20)，(12,19)，共2个基本事件；
21()147P A =
=，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为21147
=. 19.（1）证明：连接AC ，在直角梯形ABCD
中，AC ==
BC ==222AC BC AB +=，即AC BC ⊥.
又PC ⊥平面ABCD ，∴PC BC ⊥，又AC PC C =，故BC ⊥平面PAC .
（2）N 为PB 的中点，
因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以//MN AB ，且1
22
MN AB ==. 又∵//AB CD ，∴//MN CD ，所以,,,M N C D 四点共面， 所以点N 为过,,C D M 三点的平面与线段PB 交点.
因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以N 到平面PAC
的距离1
2
d BC ==
又111
222
ACM ACP S S AC PC ∆∆=
=⨯⨯⨯=
1233
N ACM V -==. 由题意可知，在直角三角形PCA
中，PA ==
，CM =，
在直角三角形PCB
中，PB =
=
，CN =
CMN S ∆=设三棱锥A CMN -的高为h
，12
33
N ACM A CMN V V h --===
，解得h =故三棱锥A CMN -
20.解：
（1）圆1C 化为标准为2
2
(3)9x y ++=.
设圆1C 的圆心1(3,0)C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(,)C a b ，则111CC k k •=-， 且1CC 的中点3(
,)22
a b
M -在直线1:21l y x =+上， 所以有213
(3)10
2
b
a b a ⎧⨯=-⎪⎪+⎨⎪--+=⎪⎩，
解得1
2
a b =⎧⎨
=-⎩
所以圆C 的方程为2
2
(1)(2)9x y -++=.
（2）由OS OA OB BA =-=，所以四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥， 是使OA OB ⊥，必须使0OA OB •=，即：12120x x y y +=.
①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程1x =-，与圆2
2
(1)(2)9C x y -++=
交于两点(2)A -，(1,2)B -.
因为(1)(1)2)(2)0OA OB •=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.
②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =+. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由22(1)(2)9(1)
x y y k x ⎧-++=⎨=+⎩，得 由于点(1,0)-在圆C 内部，所以0∆>恒成立.
21222421k k x x k +-+=-+，2122
44
1k k x x k +-•=+
要使OA OB ⊥，必须使0OA OB •=，即：12120x x y y +=，
也就是：22122
4*4
(1)(1)01k k k x x k
++++=+ 整理得：222
22
22
44242(1)011k k k k k k k k k
+-+-+-•+=++. 解得：1k =，所以直线l 的方程为1y x =+.
存在直线1x =-和1y x =+，它们与圆C 交于,A B 两点，且四边形OASB 对角线相等. 21.解：
（1）由题知2'
2(1)1
()a x x f x x
-+-+=（0x >），
当1a ≠-时，由'()0f x =得2
2(1)10a x x ++-=且98a ∆=+，
1x =
2x =
①当1a =-时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ②当1a >-时，()f x 在2(0,)x 上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减； ③当9
8
a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④当9
18
a -
<<-时，()f x 在2(0,)x 和1(,)x +∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减. （2）当1a <时，要证2ln ()(1)1x
f x a x a x
<-+-+在(0,)+∞上恒成立，
只需证ln ln 1x
x x a x
-<--+在(0,)+∞上恒成立，
令()ln F x x x =-，ln ()1x
g x a x
=-+-，
因为'1
()1F x x
=-，
易得()F x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，故()(1)1F x F ≤=- 由ln ()1x g x a x =-
+-得'22
1ln ln 1
()x x g x x x
--=-=（0x >）. 当0x e <<，'
()0g x <；当x e >时，'
()0g x >. 所以()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增. 所以1
()()1g x g e a e
≥=-+-. 又1a <，∴11
11a e e
-+->->-，即max min ()()F x g x <， 所以ln ln (1)x
x x a x x
-<-
-+在(0,)+∞上恒成立， 故1a <时，对任意的(0,)x ∈+∞，ln ()(1)x
f x a x x
<--+恒成立.
22.（1）圆C 的普通方程为2
2
(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；
（2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩
，解得11tan 2
ρθ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
设22(,)ρθ为点Q
的极坐标，2
22
22(sin cos cos sin )44tan 2ππρθθθ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
解得22tan 2
ρθ⎧=⎪⎨
⎪=⎩由于12θθ=
，所以12PQ ρρ=-=
PQ
23.（1）3,11()12,1213,2
x x f x x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
++=-+-<<⎨⎪
⎪≥⎪⎩，
当1x ≤-时，32x -<，得2
3
x >-，即x φ∈； 当112x -<<
时，22x -+<，得0x >，即102x <<； 当12x ≥时，32x <，得23x <，即1223
x ≤<.
综上，不等式的解集为2
(0,)3
.
（2）由条件得()2123(21)(23)2g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当
13
[,]22
x ∈时，其最小值2a =，即2m n +=.
又
411411419()()(5)(52222n m m n m n m n m n +=++=++≥+=， 所以
41m n +的最小值为92，当且仅当43m =，2
3
n =时等号成立.
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