2015届高考数学(文)一轮复习备考学案第2章第9节《函数模型及其应用》(北师大版)

第九节
函数模型及其应用
对应学生用书P29
1．几种常见的函数模型
2．三种函数模型性质比较
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [试一试]
据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )
A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)
B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)
C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)
D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)
解析：选D y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000)
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
[练一练]
(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的
内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．
解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园
的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．
答案：20
对应学生用书P30
一次函数与二次函数模型
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方
式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A ．10元
B ．20元
C ．30元 D.
403
元 解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，
于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A.
2．(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )
A ．115元
B ．105元
C ．95元
D ．85元
解析：选C 设售价定为(90＋x )元，卖出商品后获得利润为：y ＝(90＋x －80)(400－20x )＝20(10＋x )(20－x )＝20(－x 2＋10x ＋200)＝－20(x 2－10x －200)＝－20[(x －5)2－225]，∴当x ＝5时，y 取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C.
3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝
12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y
＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2
－200x ＋80 000 ＝－1
2x 2＋300x －80 000
＝－1
2(x －300)2－35 000，
因为400≤x ≤600，
所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． [类题通法]
求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义
域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
分段函数模型
[典例] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
[解] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .
由已知得⎩
⎪⎨⎪
⎧
200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得
⎩⎨⎧
a ＝－13
，
b ＝2003，
故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60，0≤x ≤20，200－x 3，20<x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
60x ，0≤x ≤20，x (200－x )3，20<x ≤200.
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎝⎛⎭⎫x ＋200－x 22＝10 000
3. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值． 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值f (x )max ＝
10 000
3
≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
[类题通法]
应用分段函数模型的关注点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)． [针对训练]
某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，
得f (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.
图②是一个二次函数的部分图像， 故g (t )＝－3
20
t 2＋6t (0≤t ≤40)．
(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3t ，0≤t ≤20，
60，20<t ≤40.
故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为
F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t ⎝⎛⎭
⎫－3
20t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝⎛⎭⎫
－320t 2＋8t ，20<t ≤30，
60⎝⎛⎭
⎫－320t 2
＋240，30<t ≤40.
当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝⎛⎭⎫－320t 2＋8t ＝－9
20
t 3＋24t 2，
∴F ′(t )＝－27
20t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎫48－2720t ≥0， ∴F (t )在[0,20]上是增函数，
∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000<6 300. 当20<t ≤30时，F (t )＝60⎝⎛⎭⎫－3
20t 2＋8t . 由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0， 解得t ＝70
3
(舍去)或t ＝30.
当30<t ≤40时，F (t )＝60⎝⎛⎭
⎫－3
20t 2＋240. 由F (t )在 (30,40]上是减函数，得F (t )<F (30)＝6 300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．
指数函数模型
[典例] ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2
2
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)．则 a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝1
2，
解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫121
10
.
(2)设经过m 年剩余面积为原来的
2
2
，则 a (1－x )m
＝22a ，即⎝⎛⎭⎫1210m ＝⎝⎛⎭⎫1212，m 10＝12
， 解得m ＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为2
2
a (1－x )n . 令
22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24
，
⎝⎛⎭⎫1210n ≥⎝⎛⎭⎫123
2，n 10≤32
，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． [类题通法]
应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性． [针对训练]
(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A ．略有盈利
B ．略有亏损
C ．没有盈利也没有亏损
D ．无法判断盈亏情况
解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n
＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．
对应学生用书P32
[课堂练通考点]
1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g ，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g ，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g ，则他应付邮费( )
A ．3.20元
B ．2.90元
C ．2.80元
D ．2.40元
解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A. 2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：
则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2
D ．y ＝log 2x
解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.
3．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是关于经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成_______________．
解析：依题意有y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )
4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 2
5－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210
吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)每吨平均成本为y
x (万元)．
则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x
－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x ，
即x ＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元，
则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 2
5＋88x －8 000
＝－1
5(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．
∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，
R (x )有最大值为－1
5
(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在
乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )
解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )
A ．y ＝100x
B ．y ＝50x 2－50x ＋100
C ．y ＝50×2x
D ．y ＝100log 2x ＋100
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1
2，所以0点到3点不出水，3点
到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
4.某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示
为函数y ＝f (x )的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A ．上午10：00
B ．中午12：00
C ．下午4：00
D ．下午6：00
解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，
∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .
把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧
4k 2＋b ＝320，
20k 2＋b ＝0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2＝－20，
b ＝400.
∴y ＝400－20x .
∴y ＝f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.
由y ≥240，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧
4<x ≤20，
400－20x ≥240.
解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.
5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )
A ．7层
B ．8层
C ．9层
D ．10层
解析：选C 设所停的楼层为n 层，则2≤n ≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n )＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝(12－n )(26－2n )2＋(n －2)[1＋(n －2)]2＝32n 2－532n ＋157，其对称轴为n ＝
536∈(8,9)，又n ∈N ＋且n 离9的距离较近，故选C.
6.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像可能是图中
的________．
解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H
2附近时，体
积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H
2
时，增加越来越慢．
答案：②
7.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都
空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.
答案：30 cm,20 cm
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥6
5，
解得x ≥20. 答案：20
9．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N ＋)如下表：
请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；
(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：
据此估计该地“节约用水家庭”的比例． 解：(1)y 关于x 的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.
(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1
12
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5， 所以“节约用水家庭”的频率为77
100
＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.
10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21
－
t
(t ≥0，并且m >0)．
(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－
t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝5
2，
令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝5
2，
即2x 2－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝1
2(舍去)，此时t ＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋2
2t ≥2恒成立，
亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫
12t －122t 恒成立． 令1
2t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立，
由于y －y 2≤1
4，
∴m ≥12
.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞. 第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·威海高三期末)对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π
4的旋转
性的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝ln x
C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x
D ．y ＝x 2
解析：选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π
4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺
时针旋转角π
4
，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝
⎝⎛⎭
⎫12x 与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C. 2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N ＋)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100
－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋32x －100，0<x ≤20，
160－x ，x >20.
(x ∈N ＋)．
当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．
答案：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋32x －100，0<x ≤20，
160－x ，x >20.(x ∈N ＋) 16。