专题3 第7章《平面图形的认识(二)》压轴题培优训练(三)(解析版)-(苏科版)

专题3 第7章《平面图形的认识（二）》压轴题培优训练
（三）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（本大题共5小题，共25分）
1.四根长度分别为3，4，6，x(x为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都
能组成一个三角形，则()
A. 组成的三角形中周长最小为9
B. 组成的三角形中周长最小为10
C. 组成的三角形中周长最大为19
D. 组成的三角形中周长最大为16
【答案】D
【解析】解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x；3、6、x；4、6、x共四种
情况，
由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3<x<7，即x=4或5或6．
①当三边为3、4、6时，其周长为3+4+6=13；
②当x=4时，周长最小为3+4+4=11，周长最大为4+6+4=14；
③当x=5时，周长最小为3+4+5=12，周长最大为4+6+5=15；
④若x=6时，周长最小为3+4+6=13，周长最大为4+6+6=16；
综上所述，三角形周长最小为11，最大为16，
故选：D．
首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想．掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键．
2.如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=102m，
宽AD=51m，A、B两处入口的路宽为0.75m，两
小路汇合处路宽为1.5m，其余部分种植草坪，则草
坪面积为
A. 5050m2
B. 5025m2
C. 5015m2
D. 5000m2
【解析】
【分析】
此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．
【解答】
解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：(102−1.5)米，宽为(51−0.75)米．
所以草坪的面积应该是长×宽=(102−1.5)×(51−0.75)=5050.125≈5050(米 2).
故选A．
3.如图，有下列说法：①若DE//AB，则∠DEF+
∠EFB=180°；②能与∠DEF构成内错角的角的个
数有2个；③能与∠BFE构成同位角的角的个数有
1个；④能与∠C构成同旁内角的角的个数有4
个．其中结论正确的个数有()个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角及平行线的性质，解题的关键是熟记定义以及平行线的定理．运用了同位角、内错角、同旁内角的定义及平行线的性质判定．【解答】
解：①若DE//AB，则∠DEF+∠EFB=180°，故①正确；
②能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，只有∠EFA和∠EDC，故②正确；
③能与∠BFE构成同位角的角的个数只有1个，是∠FAE，故③正确;
④能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个．故④错误；
所以结论正确的个数有3个．
4.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE
平分外角∠MBC交DC的延长线于点E，以下结论：①∠BDE=1
2
∠BAC；②DB⊥BE；
③∠BDC+∠ACB=90°；④∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质有关知识，根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质判断即可．
【解答】
解：①∵∠DCP=∠BDE+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠CBD，
∴2(∠BDE+∠CBD)=∠BAC+2∠CBD，
∴∠BDE=1
2
∠BAC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=1
2∠ABC+1
2
∠MBC=1
2
×180°=90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③由①∠BDE=1
2
∠BAC，
即∠BDC=1
2
∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴2∠BDC+2∠ACB=180°，
∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确，
④∵∠BEC=180°−1
2
(∠MBC+∠NCB)
=180°−1
2
(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)
=180°−1
(180°+∠BAC)，
2
∠BAC，
∴∠BEC=90°−1
2
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，
故选D．
5.如图，长方形ABCD中，AB=8，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移
6个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到长方形A2B2C2D2，……第n次平移将长方形A n−1B n−1C n−1D n−1的方向平移6个单位，得到长方形A n B n C n D n(n>2)，若AB n的长度为2018，则n 的值为()
A. 334
B. 335
C. 336
D. 337
【答案】B
【解析】解：∵AB=8，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到长方形A1B1C1D1，
第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位，得到长方形A2B2C2D2…，∴AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1−A1A2=8−6=2，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=6+6+2=14，
∴AB2的长为：6+6+8=20；
∵AB1=2×6+2=14，AB2=3×6+2=20，
∴AB n=(n+1)×6+2=2018，
解得：n=335．
故选：B．
根据平移的性质得出AA1=6，A1A2=6，A2B1=A1B1−A1A2=8−6=2，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=(n+1)×6+2求出n即可．
此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出AA1=6，A1A2=6是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25分）
6.如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，
连接BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积
=．
【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，由点F是DC的中点，设S△DEF=S△CEF=x，可得S△ADE=S△CDE=2x，S△BDC= 4x，S△BDF=2x，进而得到S四边形BDEF=3x，根据S四边形BDEF=6可得x，即可得解．【解答】
解：∵点F是DC的中点，
∴设S△DEF=S△CEF=x，
∵点E是AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE=2x，
∵点D是AB的中点，
∴S△BDC=4x，S△BDF=2x，
=3x．
∴S
四边形BDEF
=6，
∵S
四边形BDEF
∴3x=6，
∴x=2，
∴S△ABC=8x=16．
故答案为16．
7.如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30∘，分别以BE、CE
为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n∘，则∠BCE的度为
_____________∘(用含n的代数式表示)．
【答案】1
2
n+30
【解析】
【分析】
此题考查了平行线的性质，用到的知识点是翻折变换的性质和矩形的性质以及含30°角的直角三角形的性质；注意数形结合思想的应用，根据BE=2AE=2A′E和∠A=∠A′= 90°得出△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90°的三角形，然后求得∠AED′的度数，再根据∠AED=n°即可求得∠DED′的度数，继而求得∠BCE的度数．
【解答】
解：根据题意得：
∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，
∴△ABE、△A′BE都为30°、60°、90°的三角形，
∴∠1=∠AEB=60°，
∴∠AED′=180°−∠1−∠AEB=180°−60°−60°=60°，
∴∠DED′=∠AED+∠AED′=n°+60°=(n+60)°，
∴∠2=1
2∠DED′=(1
2
n+30)°，
∵A′D′//BC，
∴∠BCE=∠2=(1
2
n+30)°．
故答案为(1
2
n+30)．
8.如右图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β1；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，
∠F=β2；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β3；……若∠A=40°，∠D=32°，则β4为_____________度．
【答案】32.5．
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义、三角形外角的性质，根据以上知识求出β1、β2的度数，找出规律是解答此题的关键；
先根据角平分线的定义得出∠ABE=∠DBE，∠ACE=∠DCE，再由三角形外角的性质可得出∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE，∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE，再根据∠A=40°，∠D=32°即可得出∠E的度数，同理即可得出β2、β3、β4的度数．
【解答】
解：∵∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠EBD、∠ECD的平分线交于F，
∴∠ABE=∠DBE(1)，
∠ACE=∠DCE(2)，
∵∠BOC是△COE与△AOB的外角，
∴∠BOC=∠E+∠ACE=∠A+∠ABE(3)，
∵∠BPC是△BEP与△PCD的外角，
∠BPC=∠E+∠DBE=∠D+∠DCE(4)
(3)+(4)，得：2∠E+∠ACE+∠DBE=∠A+∠D+∠ABE+∠DCE(5)
把(1)，(2)，代入(5)，
化简得：∠E=∠A+∠D
2=40°+32°
2
=36°，
∴∠β1=36°，
同理可得，∠β2=∠E+∠D
2=∠β1+∠D
2
 =36°+32°
2
=34°，
∠β3=∠F+∠D
2=∠β2+∠D
2
=34°+32°
2
=33°，
∴∠β4=∠β3+∠D
2=33°+32°
2
=32.5°．
故答案为：32.5．
9.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，
如果∠1=40°，∠2=50°，那么∠3的度数等于
______________．
【答案】12°
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，求出正多边形的内角是解题的关键．
先求出正五边形的内角度数，再根据平角的定义和三角形的内角和即可求出．【解答】
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是1
5
(5−2)×180°=108°,
∠4=180°−∠1−60°=80°，
∠5=180°−∠2−90°=40°，
∠6=180°−∠4−∠5=60°，
∠3=180°−108°−∠6=12°．
故答案是12°．
10.两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C
重合，∠A=60o，∠D=45o.接着保持三角板ABC不动，
将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC
的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则
∠ACD=____．
【答案】30°或120°或165°
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质.分三种情况：①当CD//AB时，②当DE//AB时，③当CE//AB 时，利用平行线的性质求解即可．
【解答】
解：分三种情况：①当CD//AB时，如图1，
∵CD//AB，∴∠BCD=∠B=30°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+30°=120°，
②当DE//AB时，如图2，
延长EC交AB于F，
∵DE//AB，
∴∠AFC=∠E=45°，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=45°−30°=15°，
∵∠DCF=90°，
∴∠BCD=75°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+75°=165°，
③当CE//AB时，如图3，
∵CE//AB，
∴∠BCE=∠B=30°，
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠BCE=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCE=30°，
故答案为：30°或120°或165°．
三、解答题（本大题共5小题，共50分）
11.已知，点P、Q在直线AB的上方，AQ平分∠PAB，CQ平分∠PCD。

(1)若AB//CD
 ①如图1，若∠PAB=120°，∠PCD=100°，求∠P的度数。

②如图2，求证：∠P=2∠Q
(2)如图3，BD⊥AB于点B，∠BDC=100°，若∠P=30°，求∠Q的度数。

【答案】解：(1)①过点P作PG//AB，如图1
∵∠PAB=120°
∴∠GPA=∠PAB=120°
∵AB//CD
∴PG//CD
∴∠GPC=∠C
∵∠C=100°
∴∠GPC=100°
∠APC=∠GPA−∠GPC=20°；
②如图2
∵CQ平分∠PCD
∴可设∠1=x，∠PCD=2x
∵AQ平分∠PAB
∴可设∠2=y，∠PAB=2y
同理(1)可证∠P=∠PAB−∠PCD=2y−2x
∠Q=∠2−∠1=y−x
∴∠P=2(y−x)=2∠Q；
(2)过点C作CM//AB，延长BD交CM于点G，如图3，
∵∠1=100°
∴∠2=180°−∠1=80°
∵BD⊥AB
∴∠ABD=90°
∴∠CGB=180°−∠ABD=90°
∴∠3=180°−∠2−∠CGB=20°
∵CQ平分∠PCD
∴可设∠4=x，∠PCD=2x
∴∠PCG=∠PCD+∠3=2x+20°
∴∠QCG=∠3+∠4=x+20°
∵AQ平分∠PAB
∴可设∠5=y，∠PAB=2y
同理(1)可证∠P=∠PAB−∠PCG=2y−2x−20°
∵∠P=30°
∴2y−2x−20°=30°
∴y−x=25°
同理(1)可证∠Q=∠5−∠QCG=y−x−20°=5°
【解析】本题主要考查了角的计算与平行线的综合，关键是熟练掌握平行线的性质及判定方法．
(1)①过点P作PG//AB，根据平行线的性质和判定可得结果；
②根据角平分线的性质推导角的关系可得结论；
(2)过点C作CM//AB，延长BD交CM于点G，根据角平分线定义及角的关系可得角的度数．
12.问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°.求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°= 110°．
问题迁移：
(1)如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不
重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】(1)解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
(2)当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α−∠β．
【解析】
【分析】
在解答平行线问题的时候，我们可以通过辅助线构造平行线，然后根据平行线的性质得出角度之间的关系，从而得出答案.同学们在解答平行线的问题时，一定要学会构造平行线，或者构造三角形利用三角形的内角和定理来进行解答．
(1).首先过P作PE//AD交CD于E，然后根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，从而得出所求的答案；
(2).根据第一题同样的方法得出角度之间的关系，从而得出答案．
【解答】
(1).见答案
(2).当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α−∠β．
理由如下：当P在BA延长线时，过P作PE//AD交CD于E，如图4，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，过P作PE//AD交CD于E，如图5，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β；
综上所述，
当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α−∠β．
13.【原题】已知直线AB//CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=
50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，则∠BED=______．
【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠E n的度数．
【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
【答案】55°
【解析】解：(1)如图1，过E作EF//AB，而AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE=1
2∠ABP=25°，∠CDE=1
2
∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为：55°；
(2)如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1=1
2∠ABP=1
2
α，∠CDE1=1
2
∠CDP=1
2
β，
∵AB//CD，
∴∠CDF=∠AFE1=1
2
β，
∴
∠E1=∠AFE1−∠ABE1=
1 2β−1
2
α=1
2
(β−α)，
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2=1
2∠ABE1=1
4
α，∠CDE2=1
2
∠CDE1=1
4
β，
∵AB//CD，
∴∠CDG=∠AGE2=1
4
β，
∴∠E2=∠AGE2−∠ABE2=1
4
(β−α)，
同理可得，∠E3=1
8
(β−α)，
以此类推，∠E n的度数为1
2n
(β−α)．
(3)∠DEB=90°−1
2
∠P.理由如下：
如图3，过E作EG//AB，而AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE=1
2∠PDF=1
2
(180°−∠CDP)，∠ABQ=1
2
∠ABP，
∴∠DEB=1
2∠ABP+1
2
(180°−∠CDP)=90°−1
2
(∠CDP−∠ABP)，
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°−1
2(∠CDP−∠ABP)=90°−1
2
(∠AHP−∠ABP)=90°−1
2
∠P．
(1)过E作EF//AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；
(2)依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1=1
2(β−α)，∠E2=1
4
(β−α)，
∠E3=1
8(β−α)，以此类推∠E n的度数为1
2n
(β−α)；
(3)过E作EG//AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+
∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°−1
2
(∠CDP−
∠ABP)=90°−1
2(∠AHP−∠ABP)=90°−1
2
∠P．
本题考查了平行线性质以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．
14.我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一
个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
(1)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB
之间存在怎样的数量关系？为什么？
【初步应用】
(2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，若∠1+∠2=230°，
则剪掉的∠C=_________；
(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外
角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出答案．
【拓展提升】
(4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、
∠D有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)
【答案】解：(1)∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
理由：∠DBC+∠ECB=180°−∠ABC+180°−∠ACB
=360°−(∠ABC+∠ACB)
=360°−(180°−∠A)
=180°+∠A；
(2)∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴230°=180°+∠C，
∴∠C=50°，
故答案为50°；
(3)∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=1
2(∠DBC+∠ECB)=1
2
(180°+∠A)，
在△PBC中，∠P=180°−1
2(180°−∠A)=90°+1
2
∠A，
故答案为∠P=90°−1
2
∠A；(4)∠A+∠D+2∠P=360°，
理由：如图，延长BA、CD于Q，
则∠P=90°−1
2
∠Q，
∴∠Q=180°−2∠P.
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°−2∠P
=360°−2∠P，
即∠A+∠D+2∠P=360°．
【解析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
(2)利用(1)中的结论即可求出；
(3)根据角平分线的定义可得∠PCE=1
2∠BCE，∠PBD=1
2
∠CBD，然后根据三角形内角
和定理列式整理即可得解；
(4)根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理(3)解答即可．
15.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查
看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|=−(a+b−4)2.
假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ//MN，且∠BAN=45°
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A
灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C
作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】解：(1)∵a、b满足|a−3b|+(a+b−4)2=0，
∴a−3b=0，且a+b−4=0，
∴a=3，b=1；
(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0<t<60时，
3t=(20+t)×1，
解得t=10；
②当60<t<120时，
3t−3×60+(20+t)×1=180°，
解得t=85；
③当120<t<160时，
3t−360=t+20，
解得t=190>160，(不合题意)
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
(3)设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°−3t，
∴∠BAC=45°−(180°−3t)=3t−135°，
又∵PQ//MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°−3t=180°−2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°−∠BCA=90°−(180°−2t)=2t−90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2，
即2∠BAC=3∠BCD．
【解析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系，一元一次方程的应用等，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
(1)根据|a−3b|+(a+b−4)2=0，可得a−3b=0，且a+b−4=0，进而得出a、b的值；
(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
(3)设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°−(180°−3t)=3t−135°，∠BCD= 90°−∠BCA=90°−(180°−2t)=2t−90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．。