人教版高中数学必修第二册上《椭圆及其标准方程》教学设计3套

课题: 椭圆及其标准方程
教材: 人教版全日制普通高级中学教科书(必修) 数学第二册 (上)
一、教学目标:
知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.
过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.
情感、态度与价值观目标: 通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品
质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推
导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.
二、教学重点、难点：
重点是椭圆的定义及标准方程,难点是推导椭圆的标准方程.
总体说明:本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想.在对椭圆定义的讲授中,遵循从生动直观到抽象概括的教学原则和教学途径,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力;让椭圆生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.对本课另一难点标准方程推导的讲授中,在关键处设疑,以疑导思,让学生先从目的、再从方法上考虑,引导学生对比、分析,师生共同完成.通过经历椭圆方程的化简,增强了学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.设计的例题及变式练习,充分利用新知识解决问题,使所学内容得以巩固.变式(2)的设计让学生站在方程的角度认清椭圆两种标准方程形式上的特征,将学生的思维提升到了一个新的高度.课后分层次布置作业,帮助学生巩固所学知识;课后探索更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点.自始至终很好地调动学生的积极性,挖掘他们的内在潜能,提高学生的综合素质.
椭圆及其标准方程
教学目标：
（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导．
教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．
教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
教学过程：
（一）设置情景，引出课题
问题：2005年10月12日上午9时，“神州六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州六号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六号”运行轨道图片．
（二）启发诱导，推陈出新
复习旧知识：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？
提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？
引出课题：椭圆及其标准方程
（三）小组合作，形成概念
动画演示椭圆形成过程．
提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？
下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：
1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样
三个结论：
1212||||||MF MF F F +> 椭圆
1212||||||MF MF F F += 线段
1212||||||MF MF F F +< 不存在
并归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
（四）椭圆标准方程的推导：
1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．
2．提问：如何建系，使求出的方程最简？
由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果．
各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）
①建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

②设点：设),(1y x M 是椭圆上任意一点，为了使21,F F 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c =>，则12(,0),(,0)F c F c -
设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2
③列式：12||||2MF MF a += 2,a
④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
2a -
两边平方，得：22222()44()x c y a x c y ++=--+
即2a cx -=两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y -+=-+
整理，得：22222222()()a c x a y a a c -+=-
令222(0)a c b b -=>，则方程可简化为：222222b a y a x b =+
整理成：)0(122
22>>=+b a b
y a x 指出：方程)0(122
22>>=+b a b
y a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-
讨论：如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？ 让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：)0(122
22>>=+b a b
x a y 为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．
引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？
讨论得出：看2x ，2y 的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．
（五）例题讲解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点).2
5,23(- 例2 已知椭圆的焦距等于8，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程
（六）课堂练习
1．已知椭圆方程为132
232
2=+y x ，则这个椭圆的焦距为（ ） （A ）6 （B ）3 （C ）53 （D ）65
2．21,F F 是定点，且6||21=F F ，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是（ ）
（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
3．已知椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7
（七）课堂小结
（1）椭圆的定义及其标准方程；
（2）标准方程中c b a ,,的关系；
（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系.
（八）作业布置
P 96习题8.1的1、2、3
思考题
1．如果方程122=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
（A ）（0，+∞） （B ）（0，2） （C ）（1，+∞） （D ）（0，1）
2．椭圆14
2
2=+y m x 的焦距是2，则实数m 的值是（ ） （A ）5 （B ）8 （C ）3或5 （D ）3
3．已知21,F F 是椭圆149
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）
（A ）86 （B ）20 （C ）24 （D ）28
4．方程122=+By Ax 什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x 轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y 轴上的椭圆？
最后在播放彗星图片时，提出课外延伸问题，让学生通过上网或到图书馆查阅有关彗星的资料并试着回答：为什么有的彗星经过若干年后能够再次光临地球，而有的彗星却和地球只有一面之缘呢？
说明
学习的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。

本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。

为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法：先用多媒体演示神州六号飞船绕地球运行的轨道图片形象地给出椭圆，使学生对椭圆有一个直观的了解；再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。

这种从感性到理性地抽象概括，从而形成概念，推出方程的过程符合学生的认知规律。

为使学生更好地掌握椭圆的标准方程。

为突破难点，在设计中通过课堂精心设问：①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。

爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。

针对这节课的问题，教师边演示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。

这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

椭圆及其标准方程
教材：
人教社《全日制普通高级中学教科书》（试验修订本•必修）数学•第二册（上）一、教学目标
（1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

（2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思
想方法。

（3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。

二、教学重点、难点
（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程
（一）创设情境，引入概念
1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。

2、实验演示。

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？
（二）实验探究，形成概念
1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：
保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？
2、 概括椭圆定义
引导学生概括椭圆定义
椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？
令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+
（三）研讨探究，推导方程
1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？
2、研讨探究
问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有 a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？
M 2F
1F M 2F
1F
将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一
22a x +22b
y =1（0>>b a ），其中b 2 = a 2－c 2 ( b > 0 )； 选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出
22a
y +22
b x =1，同样也有a 2－
c 2 = b 2 ( b > 0 )。

教师指出：我们所得的两个方程22a x +22b y =1和22a
y +22
b x =1（0>>b a ）都是椭圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征
1、 观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：222c a b -=)0(>>b a ；
（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。

2、 在归纳总结的基础上，填下表
例1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离和等于10。

（2）两焦点坐标分别是)2,0(),2,0(-，并且椭圆经过点)2
5,23(-。

（3）52,10==+c b a 。

例2、（1）若椭圆标准方程为b a y x ,,14491622求=+及焦点坐标。

（2）若椭圆经过两点),3
2,22(),34,5(Q P 求椭圆标准方程。

（3）若椭圆1222=+ky kx 的一个焦点是)4,0(-，则k 的值为 。

（A ）32
1 （B ）8 （C ）81 （D ）3
2 例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段1PP ，求线段1PP 中点M
（六）变式训练，探索创新
1、 写出适合下列条件的椭圆标准方程
（1）1,1==b a ，焦点在x 轴上； （2）焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P )62,3(-；
（3）4,10=-=+c a c a 。

2、 若方程11
22
2=-+-k x k y 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围 。

3、 已知B ，C 是两个定点，ABC BC ∆=且,6周长为16，求顶点A 的轨迹方程。

4、 已知椭圆10025982222=+=+y x y mx 与的焦距相等，求实数m 的值。

5、 在椭圆上120
452
2=+y x 上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直。

6、 已知P 是椭圆164
1002
2=+x y 上一点，其中21,F F 为其焦点且︒=∠6021PF F ，求三解形21PF F 面积。

（七）小结归纳，提高认识
师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

（八）作业训练，巩固提高
课本第96页习题§8.1第3题、第5题、第6题。

课后思考题：
1、 知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则1ABF ∆周长是 。

（A ）2a （B ）4a （C ）8a （D ）2a+2b
2、ABC ∆的两个顶点A ，B 的坐标分别是),0,6(),0,6(-边AC ，BC 所在直线的斜 率之积等于9
4-，求顶点C 的轨迹方程。

2、 与圆05622=+++x y x 外切，同时与圆091622=--+x y x 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线？
教学设计说明
椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。

本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。