24.1.3 弧、弦、圆心角

24.1.3 弧、弦、圆心角
自主导学
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心是圆心．
3．如图，AC、BC是⊙O的两条弦，
（1）若AC＝BC，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（2）若AC BC
，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则AC＝BC，AC＝BC．
易错点睛
如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等，所对的圆心角相等，对吗？请说明理由．
【解答】错误
【点睛】应用定理时忘记了前提条件：在同圆或等圆中，若两圆的大小不同，则等弦对的弧不相等．
A 夯实基础
知识点弧、弦、圆心角之间的关系
1．下列图形中的角是圆心角的是（B）
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则AC与BD的关系是（A）
A.AC=BD
B.AC＞BD
C.AC＞BD
D.不能确定
3．（教材变式·85页2题改）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝40°，则∠AEO＝60°．
B
第3题图
4．如图，在⊙O 中，AB AC =，∠A ＝40°，则∠ABC ＝70°．
第4题图
5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠AOD=110°，若BC =BD ，则∠C= 55°．
第5题图
B
6．（教材变式·89页习题4改）如图，AB ＝CD ，求证：AD ＝BC ．
D
D
证：思路一：要证AD ＝BC ，可证AD BC =，故只证CD AB =即可．
思路二：连OA 、OB 、OC 、OD ，要证AD ＝BC ，可证∠AOD ＝∠BOC ，这可由∠AOB ＝∠COD
得到．
7.(2017汉阳模拟题)如图，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA ，DN ⊥OB. 求证：AC =BD .
解：连OC ，OD ，证明∠AOC=∠BOD ；
B 综合运用
8.(教材变式)(90页13题改)如图，点A，C，B都在⊙O上，且AC∥OB，BC∥OA.
(1)求证：四边形ACBO为菱形；
(2)求∠ACB的度数.
解：(1)略；
(2)∠ACB=120°.
第6题图
9．如图，AB为⊙O的直径，弦AF平行于半径OE，求证：BE EF
=.
证：连OF，证∠BOE=∠A=∠F=∠EOF即可．
10.如图，AB为⊙O的直径，C为OA的中点，F为OB的中点，CD⊥AB交⊙O于D，EF⊥AB交⊙O于
E.
(1)若CD=3，求⊙O的半径长；
==；
(2)求证：AD DE BE
(3)求证：AE=2EF．
A
B
A
B
解：(1)连OD ，设⊙O 的半径为R ，则OC=12R ，在△OCD 中有：23+2
1
2R ⎛⎫
⎪⎝⎭=2R ，∴ (2)连AD ，证AD= DO ，△ADO 为等边△，∴∠AOD= 60°，同理∠BOE= 60°．∴∠DOE= 60°， ∴AD DE BE ==
(3)易证△DCO ≌△EFO ，∴CD=EF ，延长DC 交⊙O 于G ，∴CD= CG ，AD AG DE ==, ∴AE=DG=2CD= 2EF ．
C 拓广探索 11.已知A 、C 、E 为⊙O 上的点，且CA CE =．
(1)如图1，求证：CO ⊥AE ；
(2)如图2，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D.
①求证：AE=2CD ；②若BD=1，AE=4，求AC 的长.
图1
图
2
C
图1
图2
C
解：(1)连CE ，OA ，OE ，∵CA CE =，∴CA= CE ，∴△CAO ≌△CEO ，
∴OC 平分∠ACE ，∴CO ⊥AE.
(2)①连CO 并延长交AE 于M ，∴CM ⊥AE ，∴AM=EM ，易证△OAM ≌△OCD ，∴AM=CD ，
∴AE=2CD. ②设⊙O 的半径为R ，∴AM=2，OD=R-l=OM ，OA=R ，在△AOM 中有：2R =22+()2
1R -，
∴R=
52，∴OM=R-1=3
2
，∴CM=4，∴。