2021-2022学年山东省山东师范大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省山东师范大学附属中学高一上学期期
中数学试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{}
2
3,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A ．[]2,3-
B ．()2,3-
C ．(]2,3-
D ．[)2,3-
【答案】B
【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论. 【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞， 图象表示集合为()U A B ⋂，
()U
,3A =-∞，()()U 2,3A B ⋂=-.
故选：B
2．“2x >且3y >”是“5x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若2x >且3y >，则5x y +>，一定成立，即2x >且3y >⇒5x y +>. 当1x =，6y =满足5x y +>，但不满足2x >且3y >成立 ∴“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件 故选：A.
3．函数()1
1x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）
A ．0,1
B ．()1,1
C ．()2,1
D ．1,2
【答案】D
【分析】根据指数函数过定点求解即可.
【详解】解：因为指数函数x y a =（0a >且1a ≠）过定点0,1， 所以令10x -=得1,2x y ==
所以函数()1
1x f x a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,2P
故选：D
4．已知()()2,1,214x y x y >>--=，则x y +的最小值是（ ） A ．1 B ．4
C ．7
D
．3【答案】C
【分析】由目标式可得(2)(1)3x y x y +=-+-+，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】∵()()2,1,214x y x y >>--=，
∴(2)(1)337x y x y +=-+-+≥=当且仅当4
3x y =⎧⎨=⎩
时等号成立.
故选：C
5．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2
23f x x x =--，则不等式()0
f x <的解集为（ ） A ．()()3,00,3- B ．()(),30,3-∞-⋃ C ．()()3,03,-⋃+∞ D ．()(),14,7-∞⋃
【答案】B
【分析】先求()f x 在R 上的解析式，再分段可求()0f x <的解集.
【详解】设0x <，则0x ->，故()2
23f x x x -=+-，
而()()2
23f x f x x x =--=--+，又()00f =，
故()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪
==⎨⎪-->⎩
，
又()0f x <等价于22300x x x ⎧--+<⎨<⎩或22300x x x ⎧--<⎨>⎩
或00
0x <⎧⎨=⎩，
故3x <-或03x <<， 故选：B.
6．已知函数()3,0
3,0
x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()1f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【分析】根据函数的单调性求解.
【详解】函数()3,0
3,0x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩
的图象，如图所示：
由图象知：函数在R 上单调递增， 所以()()1f a f a -≥-转化为1a a -≥-， 解得 12
a ≥， 故选；B
7．已知a >b >c ，若14m a b b c a c
+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9
【答案】D
【分析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由
14
m
a b b c
a c
+
---，得14()(
)m a c a b b c -+--，结合基本不等式求出14
()()a c a b b c
-+--的最小值，得到m 的最大值．
【详解】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->， 由
14m a b b c
a c +
---，得14
()(
)m a c a b b c
-+--， 又a c a b b c -=-+-，1414
()(
)[()()]()a c a b b c a b b c a b b c
∴-+=-+-+---- 4()4()5529a b b c a b b c
b c a b b c a b
----=+
++⋅----，当且仅当4()a b b c b c a b --=--， 即2()b c a b -=-时，14
()(
)a c a b b c
-+--取得最小值9，
9m ∴，m ∴的最大值为9．
故选：D ．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知()1
32
13
x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}0,3- B ．{}0,1-
C ．{}0,1,2--
D ．{}1,0,1,2--
【答案】C
【分析】结合指数函数性质求得()f x 的值域，然后再根据新定义求[()]y f x =的值域．
【详解】111
17
3321733()133133(31)
x x
x x x f x ++++-
-===-
+++，显然1311x ++>，177(0,)3(31)3x +∈+， 所以()f x 的值域是1
(2,)3
-，
当2()1f x -<<-时，[()]2f x =-，
10x -≤<时，[()]1f x =-，当1
0()3
f x ≤<时[()]0f x =，
所以所求值域是{2,1,0}--． 故选：C ． 二、多选题
9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是（ ） A ．若ac 2>bc 2，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d C ．若a >b ，c >d ，则ac >bd D ．若a >b ，则
11a b
> 【答案】AB
【分析】可由性质定理判断A 、B 对，可代入特例判断选项C 、D 错. 【详解】解：若ac 2>bc 2，两边同乘以
2
1
c 则a >b ，A 对， 由不等式同向可加性，若a >b ，c >
d ，则a +c >b +d ，B 对， 当令a =2，b =1，c =﹣1，d =﹣2，则ac =bd ，C 错， 令a =﹣1，b =﹣2，则11
a b
<，D 错. 故选：AB.
10．下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x
=+
B ．223y x x =-+
C
．2y x =+ D
．2y =
【答案】BCD
【分析】A 中x 无法确定正负，不能求出最值；B 是二次函数，配方求解最值；C 看成
D 变换构造，用基本不等式求最小值﹒ 【详解】A 中x 的正负无法确定，其函数值可以为负数； B 中2223(1)2y x x x --＝＋＝＋，最小值为2；
C
中21)y x ＝＋2＝＋1，当0x ＝时，其最小值为2； D
中22y
，即0x ＝时取等号﹒
故选：BCD ﹒
11．已知函数()1f x x =-，()2
g x x =
．记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩
，则下列关于函数
()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠的说法正确的是（ ）
A ．当()0,2x ∈时，()2
F x x
=
B ．函数()F x 的最小值为2-
C ．函数()F x 在()1,0-上单调递减
D ．若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m 【答案】ABD
【分析】得到函数()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪
=⎨<-<<⎪⎩或或，作出其图象逐项判断.
【详解】由题意得：()1,1022,102x x x F x x x x
--≤<≥⎧⎪
=⎨<-<<⎪⎩或或，其图象如图所示：
由图象知：当()0,2x ∈时，()2
F x x
=
，故A 正确； 函数()F x 的最小值为2-，故正确； 函数()F x 在()1,0-上单调递增，故错误；
方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m ，故正确； 故选：ABD
12．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（ ） A ．x y < B ．33
y x -->
C x y
D ．133y
x -⎛⎫
< ⎪⎝⎭
【答案】AD
【分析】先由4455x y x y ---<-变形为4545x x y y ---<-，构造函数()45x x
f x -=-，利用
其单调性，得到x ，y 的大小关系，再逐项判断.
【详解】由4455x y x y ---<-得4545x x y y ---<-，令()45x x
f x -=-，则()()f x f y <，
因为5,4x x y y --==在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增，所以x y <，故A 正确； 当2,1x y =-=-时， 33y x --<，故B 错误；
当0,0x y >>x y 0,0x y <<x y C 错误；
因为13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在R 上递减，且x y ->-，所以1133y
x
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133y
x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故正确；
故选：AD 三、填空题
13．函数()f x =3
15
x x -+-的定义域为____________
【答案】[)
()3,44,+∞
【解析】利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则30
150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得3x ≥且4x ≠.
故答案为：[)
()3,44,+∞
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
14．若函数()21x
f x =+在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的最小值为______．
【答案】0
【分析】作出函数的图象，由图象得到函数的单调性，再根据条件求解. 【详解】函数()21x
f x =+的图象如图所示：
，
由图象知：()f x 的减区间是(,0]-∞，增区间是[0,)+∞， 又因为函数在区间[),a +∞上单调递增， 所以0a ≥，
所以实数a 的最小值为0， 故答案为：0
15．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4096个需经过_____小时. 【答案】3
【分析】根据题意，求得经过x 次分裂后细菌个数y 关于x 的函数解析式，再代值计算即可.
【详解】设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌，则y =2x . 令2x =4096=212，则x =12，
即需分裂12次，需12×15=180(分钟)， 即3小时. 故答案为：3.
【点睛】本题考查函数模型的应用，属简单题.
16．已知函数()22
2,0
21,0
x x f x x ax a a x ⎧≤=⎨-++->⎩，若对任意的(]1,0x ∈-∞，均存在()20,x ∈+∞使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是______．
【答案】⎤
⎥⎣⎦
【分析】当0x ≤时，()()2,x
f x f x =的值域为(]0,1，由对任意的(]1,0x ∈-∞，均存在
()20,x ∞∈+使得()()12f x f x =，可得当0x >时，()2221f x x ax a a =++--的值域包含
(]0,1，对称轴为x a =，再按对称轴的取值，进行分类讨论，即可求解．
【详解】当0x ≤时，()()2,x
f x f x =的值域为(]0,1，
又对任意的(]1,0x ∈-∞，均存在()20,x ∈+∞使得()()12f x f x =，
∴当0x >时，()2221f x x ax a a =++--的值域包含(]0,1，对称轴为x a =， ∴当0a ≥时，()
22441440a a a a ∆=--=+-≥，解得1a ≤，即01a ≤≤，
当0a <时，()
22
441440a a a a ∆=--=+->且202010a a a -⋅++-≤，解得
a ≤0a ≤<，
综上所述，a 的取值范围为⎤
⎥⎣⎦．
故答案为：⎤
⎥⎣⎦
． 四、解答题
17．化简求值（需要写出计算过程）．
(1)若1004a =，1025b =，求2a b +的值； (2)
(3)计算：1
12
23
510.06420.124-
-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【答案】(1)2 (2)3 (3)102
【分析】（1）将指数式化为对数式，再由对数的运算性质即可求解； （2）利用根式的意义化简即可求解；
（3）将小数化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质化简即可求解. (1)
因为1004a =，1025b =，所以100101
log 4log 42
a == ，10log 25
b =
所以101010log 4log 25log 10220a b +=+==．
(2)
()π52π5π2π3---=--+=．
(3) 10
12
23
510.064
20.124--⎛⎫⎛⎫
+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
113232
4353
1100110010210222
⎛⎫⨯-⨯
⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=+-+=
+-+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
. 18．已知函数()2
21f x x ax a =--+，a ∈R .
（1）若2a =，试求函数()
4
=
-f x y x 在区间()4,+∞上的最小值； （2）对于任意的[]0,2x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围.
【答案】（1）6；（2）3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
【解析】（1）对函数()
4
=-f x y x 进行分离，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）设()2
21g x x ax =--，()0g x ≤在[]0,2恒成立，则()()0020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩
，列不等式解出a 的
取值范围即可．
【详解】（1）依题意得()()24111
444444-+===+=-++----f x x x y x x x x x x
∵4x >，∴40x ->，
1
04>-x ∴()
1
424
-+
≥-x x ，当且仅当144x x -=-时，等号成立.
所以，6y ≥，即函数()
4
=-f x y x 在区间()4,+∞上的最小值为6.
（2）因为()2
21f x a x ax --=-，所以要使得“[]0,2x ∀∈，不等式()f x a ≤成立”
只要“2210x ax --≤在[]0,2上恒成立”.不妨设()2
21g x x ax =--，则只要()0g x ≤
在[]0,2恒成立，所以()()00
20
g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即104410a -≤⎧⎨--≤⎩解得34a ≥
所以a 的取值范围是3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】易错点睛：本题考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 19．已知函数2
()1ax b f x x +=
+是定义域为[1,1]-上的奇函数，且1
(1)2f =．
(1)求()f x 的解析式；
(2)请判断并用定义证明()f x 在(1,1)-的单调性． 【答案】(1)2
()1x
f x x =
+； (2)()f x 在(1,1)-的单调递增；证明见解析. 【分析】（1）根据函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义域为[1,1]-上的奇函数知，(0)0f =可以得到b ，再根据1
(1)2
f =，可求出a 的值，即可得到()f x 的解析式.
（2）12,,(11)x x ∀∈-，不妨令12x x <，对()()12f x f x -进行化简处理为
()()
()()
21122
2
1
2111x x x x x
x --++，
进行符号判断得()()120f x f x -<，即可判断出()f x 在(1,1)-的单调递增. (1)
函数2()1ax b
f x x
+=
+是定义域为[1,1]-上的奇函数， ∴(0)0f =，∴0b =； 又1
(1)22a f ==，∴1a =； ∴2
()1x
f x x =+. (2)
()f x 在(1,1)-的单调递增．
12,,(11)x x ∀∈-，不妨令12x x <，
()()12
1222
1211
x x f x f x x x -=
-++ ()()()()()()()()()()2
21221212112121212122222222212121212111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----+--=-===++++++++∵
12,(1,1)x x ∈-，∴121x x <，∴1210x x -<，
又22
21120,10,10x x x x ->+>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
所以()f x 在(1,1)-的单调递增．
20．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥． (1)当1,2,1a b c =-==时，求该不等式的解集；
(2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①1,2,2a b m c m ==--=； ②,2,2a m b m c ==-=-． 【答案】
(1)[1； (2)具体见解析.
【分析】（1）将1,2,1a b c =-==代入不等式解得答案即可；
（2）若选①，将不等式因式分解，进而讨论m 和2之间的大小关系，然后解出答案；若选②，分0,0,0m m m =><三大类情况进行讨论，分解因式后再讨论两根之间的大小关系，最后求得答案. (1)
当1,2,1a b c =-==时不等式为2210x x -++≥，
可化为2210x x --≤
，解得11x ≤≤
[1. (2)
若选①，1,2,2a b m c m ==--=，不等式为2(2)20x m x m -++≥，
即（(2)()0x x m --≥，（1）当2m >时，不等式解集为{2x x ≤或}x m ≥， 当2m =时，不等式解集为R ，
当2m <时，不等式解集为{x x m ≤或2}x ≥，
综上所述：当2m >时，不等式解集为{2x x ≤或}x m ≥，当2m =时，不等式解集为R ，当2m <时，不等式解集为{x x m ≤或2}x ≥.
若选②,2,2a m b m c ==-=-．不等式为2(2)20mx m x +--≥， 若0m =，220x --≥，不等式解集为{}1x x ≤-， 若0m ≠，不等式可化为(2)(1)0mx x -+≥， 当0m >时，不等式解集为{1x x ≤-或2
}x m
≥
， 当2m <-时，不等式解集为21x x m ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭，
当2m =-时，不等式解集为{}1x x =-， 当20m -<<时，不等式解集为21x x m ⎧⎫
≤≤-⎨⎬⎩⎭
，
综上所述：当2m <-时，不等式解集为21x x m ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭，当2m =-时，不等式解集为
{}1x x =-，当20m -<<时，不等式解集为21x x m ⎧⎫
≤≤-⎨⎬⎩⎭
，当0m =时，不等式解集为
{}1x x ≤-，当0m >时，不等式解集为{1x x ≤-或2
}x m
≥． 21．某医药研究所硏发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量(g)y μ与服药后的时间(h)t 之间近似满足如图所示的曲线．其中OA 是线段，曲线段AB 是函数t y k a =⋅（1,0t a ≥>，k ，a 是常数）的图象，且(1,8),(7,1)A B ．
(1)写出服药后每毫升血液中含药量y 关于时间t 的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(g)μ时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h ，该病人每毫升血液
中含药量为多少g μ？（精确到0.1g μ）
【答案】
(1)()8,(01),12t
t t y t ≤<⎧⎪=⎛⎨
≥ ⎪ ⎝⎭⎩ (2)上午11：00服药 (3)4.7g μ
【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. (1)
当01t ≤<时，8y t =；
当1t ≥时，把(1,8)(7,1)A B 、代入t y k a =⋅（1,0t a ≥>，k ，a 是常数），得78
1ka ka =⎧⎨=⎩
，解
得a k ⎧=
⎪⎨
⎪=⎩
，
故()8,(01),12t
t t y t ≤<⎧⎪=⎛⎨≥ ⎪ ⎝⎭⎩ (2)
设第一次服药后最迟过t
小时服第二次药，则12t
t ≥⎧
⎪⎨=⎪⎝⎭⎩，解得：5t =，即第一次服药后5h 后服第二次药，也即上午11：00服药； (3)
第二次服药3h 后，
每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：8
1y g =⎝⎭
每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：3
24y g μ==⎝⎭
4 4.7g μ+≈ 故该病人每毫升血液中的含药量为4.7g μ
22．设函数()x x
f x a a -=-（R x ∈，0a >且1a ≠）．
(1)若01a <<，证明()y f x =是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
(2)若()10f <，求使不等式()()2
4f x tx f x ++-<0恒成立时，实数t 的取值范围；
(3)若()3
12
f =，()()222x x
g x a a mf x -=+-，且()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求实数m
的值．
【答案】(1)证明见解析，()f x 是减函数； (2)(－3，5)； (3)2﹒
【分析】(1)f (x )定义域为R 关于原点对称，判断f (－x )与f (x )的关系，以此确定奇偶性；f (x )的单调性可以通过单调性的性质进行判断；
(2)利用条件()10f ＜，得到()01a f x ＜＜．
在R 上单调递减，从而将()
()240f x x f x -＋＋＜转化为()
()24f x tx f x -＋＜，进而得24x tx x -＋＞，研究二次函数得到结论；
(3)令()22x x
t f x --＝＝，得到二次函数h (t )222322()22t mt t m m t ⎛⎫---≥ ⎪⎝
⎭＝＋＝＋，分类
讨论研究得到2m ＝，得到结论． (1)
证明：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，
且()()x x
f x a a f x --=-=-，
∴()f x 为奇函数，
∵01a <<，∴x y a =递减，x y a -=-递减，故()f x 是减函数； (2)
()x x f x a a -=-(0a >且1a ≠)，
∵()10f <，∴1
0a a
-
<， 又0a >，且1a ≠， ∴01a <<，
故()f x 在R 上单调递减，
不等式化为()()2
4f x tx f x +<-，
∴24x tx x +>-，即()2
140x t x +-+>恒成立，
∴()2
1160t ∆=--<，
解得35t -<<； (3)
∵()312
f =，∴13
2
a a -
=，即22320a a --=， 解得2a =或1
2
a =-(舍去)，
∴()()()()2
222222222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=---+，
令()22x x t f x -==-，由(1)可知()22x x
f x -=-为增函数，
∵1≥x ，∴()312
t f ≥=
， 令()()22232222h t t mt t m m t ⎛
⎫=-+=-+-≥
⎪⎝
⎭
， 若32
m ≥
，当t m =时，()2
min 22h t m =-=-，∴2m =； 若32
m <时，当32t =时，()min 2h t =-，解得253
122
m =>，无解； 综上，2m =．。