2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

高一数学第二学期入学试卷（B ） 高一数学（必修1+必修4）
一、选择题：（本大题共12个小题）
1．已知集合{}
40log 1x A x <=<，{
}
2
1x B x e -=≤，则A B =U （ ）
A ．(),4-∞
B ．()1,4
C ．()1,2
D ．(]1,2
2
．已知向量)
a θθ=
r ，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0,1b =r
，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）
A ．
32
π
θ-
B ．
2
π
θ+
C ．2
π
θ-
D ．θ
3．已知43
2a =，1ln33
b e =，23
3c =，则（ ）
A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
4．若函数()2tan 21
x x
f m
x x -=++的定义域为[]1,1-，且()00f =，则满足()()211f x f x m -<-+的实数x 的取值范围是（ ） A ．(]0,1
B ．()1,0-
C ．[)1,2
D ．[)0,1
5．已知函数()()sin 2x f x ϕ=+（02
π
ϕ<<
），将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在2,3
2ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 C ．()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 的图象关于3
x π
=-
对称
6．函数()21,01,0
f x
x x x x x +⎧<⎪
=⎨⎪-≥⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．在ABC △中，60BAC ∠=o
，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23
AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r
，若6AB =u u u r ，
则BC =u u u r
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8．已知2
3cos 24sin 1αβ-=，3sin 22sin 20αβ-=，且α、β都是锐角，则2αβ+=（ ） A ．
2
π
B ．π
C ．
6
π D ．
4
π 9．已知向量a r ，b r
满足a =r ，1b =r ，且对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r r r 恒成立，设a r 与b r
的夹
角为θ，则tan 2θ=（ ） A
B
．
C
．-
D
．10．已知两条直线1l ：y m =和2l ：4
1
y m =
+（0m >），1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于C 、D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，当m 变化时，b
a
的最小值为（ ） A ．16
B ．8
C
．
D
．11．已知定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数()f x ，且()11f =，函数()1f x +的图象关于点()1,0-中心
对称，对于任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()20192019
112212
0x f x x f x x x ->-成立，则()20191
x f x ≤的解
集为（ ） A ．[]1,1-
B ．(][),11,-∞-+∞U
C ．(](],10,1-∞-U
D ．()2019,2019-
12．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()1
12
f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意[),x m ∈+∞，都有()8
9
f x ≥-，则m 的最小值是（ ） A ．43
-
B ．53
-
C ．54-
D ．6
5
-
二、填空题：（本大题共4个小题）
13．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，1cos ,3b α⎛
⎫= ⎪⎝
⎭r ，且a b r r P ，则cos2α=_____．
14．函数()()
2
2log 3f x x =-+的单调递减区间是______．
15．()f x 是定义域为R 的偶函数，对x ∀∈R ，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，
()221,01,
101,12,
x x g x x x f ⎧-≤<=⎨
+≤≤⎩则()9212f f ⎛
⎫
-+= ⎪⎝⎭
______． 16．已知函数()sin f x x =，若方程()()
()2
30f x f x m -+=在50,
6
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
内有两个不同的解，则实数m 的取值范围为______．
三、解答题：（本大题共6个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合A 为函数()
222log 21y x ax a =-+-的定义城，集合{
}
ln 2
lg1000e x B x ≤=≤．
（1）当1a =-时，求()
A B R ð；
（2）若A B A =U ，求实数a 的取值范围． 18．已知向量()2sin ,2cos m x x =r ，(
)
3cos ,cos n x x =
r
，()1f x m n =⋅-r r
．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的1
2
，把所得到的图象再向左平移
6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值． 19．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC △外的地方种草，ABC △的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC a =，ABC θ∠=，设ABC △的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ．
（1）用a ，θ表示1S 和2S ； （2）当a 为定值，θ变化时，求
1
2
S S 的最小值，及此时的θ值． 20．如图，已知函数()()sin x f x ωϕ=+，（0ω>，0ϕπ<<），点A ，B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C ，D 分别是()f x 的图象上横坐标为
2
π，23π
的两点，CD x P 轴，且A ，B ，D 三点共线．
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）()1213f
α=
，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求4f πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭．
（3）若关于x 的函数()2log 4f x g x k π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恰好有一个零点，求实数k 的取值范围． 21．已知函数()1
42
x
x f x m +=-⋅（m R ∈），()2121
x x g x -=+．
（1）求函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值；
（2）若存在不相等的实数a ，b 同时满足()()0f a f b +=，()()0g a g b +=，求m 的取值范围． 22．已知函数()2f x x x a x =-+．
（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）求所有的实数a ，使得对任意[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[]2,4a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
2019-2020年高一下数学入学考试答案（试卷B ）
一、选择题（共12小题） 1．A
【解答】解：{}
14A x x =<<，{}
2B x x =≤， ∴(),4A B =-∞U . 故选：A. 2．C
【解答】解：∵向量(
)
22a θθ=
r
，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0,1b =r
，
设向量a r 与b r
的夹角为α，[)0,απ∈，
∴cos sin cos 2a b a b
παθθ⋅⎛
⎫==
==- ⎪⎝⎭⋅r
r r r ， 故2
π
αθ=-，
故选：C. 3．A
【解答】解：413
3
216a ==，1
3
11ln3ln33
33b e
e
===，2133
39c ==；
∵3916<<，()1
3
f x x =在()0,+∞上单调递增； ∴1113
3
3
3916<<； ∴b a c <<． 故选：A. 4．D
【解答】解：∵()2tan 21
x x
f m
x x -=++， 由()2
010f m
-=
=，可得1m =， 故()21
tan 21
x x
x f x -=++， ∴()()()2112tan tan 2112x x
x
x x f x f x x ----=+-+--==-+，即函数()f x 为奇函数， ∵()212
tan 1tan 2121
x x
x x x f x -=+=-+++在[]1,1-上单调递增， 则由()()21f x f x -<可得，1211x x -≤-<≤， 解可得，01x ≤<， 故选：D. 5．B
【解答】解：对于函数()()sin 2x f x ϕ=+（02
π
ϕ<<），
将函数()f x 的图象向左平移
6π个单位长度，可得sin 23y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
的图象，
再根据得到的函数的图象关于y 轴对称，可得3
2
π
π
ϕ+=
，即6
π
ϕ=
，
∴()sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． 在2,32ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭上，752,666x πππ⎡⎫
+∈--⎪⎢⎣
⎭
，()f x 单调递减，故A 正确； 在0,
3π⎛⎫
⎪
⎝⎭
上，52,666x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，()f x 没有单调性，故B 错误； 当512x π=
时，()0f x =，故()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故C 正确； 当3
x π
=-
时，()1f x =-，为最小值，故()f x 的图象关于3
x π
=-
对称，故D 正确，
故选：B. 6．B
【解答】解：设()f x t =，令()0f t =，可得1t =或1t =-， 当0x ≥时，由()1f x =， 可得2x =
，由()1f x =-可得0x =，
当0x <时，由()1f x =可得，无解，
()1f x =-，可得111x +
=-，解得1
2
x =-， ∴函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为3， 故选：B. 7．B
【解答】解：如图，
设BD k BC =u u u r u u u r ，则AD AB k AC k AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴()1AD k AC k AB =+-u u u r u u u r u u u r ，
又23AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r ，
∴23k =，
∴23BD BC =u u u r u u u r ，
∴2BD DC
=u u u r u u u r ， ∵AD 是BAC ∠的平分线，且6AB =u u u r
，
∴6
2AC
=u u u r ，
∴3AC =u u u r ，且60BAC ∠=o
， ∴BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r
=
=
=
=.
故选：B. 8．A
【解答】解：由2
3cos 24sin 1αβ-=得3cos 22cos 23αβ+=① 由3sin 22sin 20αβ-=得2
2
9sin 24sin 20αβ-=， 得2
2
9cos 24cos 25αβ-=，
得()()3cos22cos23cos22cos25αβαβ+=-，
得5
3cos 22cos 23αβ-=②， ①②联立解得7cos 29α=，1
cos 23
β=，
∵,αβ为锐角，
∴1
sin 3
α=
，22cos 3α=，22sin 23β=，
∴()221122
cos 2cos cos 2sin sin 203333
αβαβαβ+=-=
⨯-⨯=， ∵320,2
παβ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭
， ∴22
π
αβ+=．
故选：A. 9．D 【解答】
解：当a r ，b r
如图所示
()
a b b +⊥r
r r ，对于任意实数x ，
a x
b OA +=u u u r r r
或a xb OB +=u u u r r r ，
斜边大于直角边恒成立，
不等式a xb a b +≥+r r
r r 恒成立， ∵()
a b b +⊥r
r r ，
向量a r ，b r
满足3a =r ，1b =r
∴tan 2α=
tan 2θ=-
∴(
(
)
2
2tan 21θ⨯=
=-
故选：D. 10．B
【解答】解：在同一坐标系中作出y m =，4
1
y m =
+（0m >），与2log y x =的图象， 解：设A ，B ，C ，D 各点的横坐标分别为xA ，xB ，xC ，xD ，
则由log2x m =，解得2m A x -=，2m
B x =；
由4
log 21
x m =+（0m >），解得412m C x -+=，4
12m D x +=；
∴4|1
|2
2
m
m A C a x x -
-+=-=-
41
22
m
m B D b x x +=-=-，
则
41
41
22
22
m
m m m b a
+-+-=-
41
41
41
2222
22
m
m m m m m +++-=⋅⋅-
41
22m
m +=⋅
41
2
m m +
+= 4111
2
m m ++
-+=
14132
228-==≥=，
当且仅当4
11
m m +=+，即1m =时取“=”号，
∴b
a
的最小值为8， 故选：B. 11．C
【解答】解：∵函数()1f x +的图象关于点()1,0-中心对称， ∴函数()f x 的图象关于点()0,0中心对称，即()f x 为奇函数， 令()()2019x x g x f =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数， ∵()11f =， ∴()()111g f ==，
∵任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()
20192019
112212
0x f x x f x x x ->-成立，
∴()()1212
0g x g x x x ->-对于任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，都成立，
即()g x 在()0,+∞上单调递增，
根据偶函数的对称性可知，()g x 在(),0-∞上单调递减， ∵()2019
1x f x ≤
，
当0x >时，可得()1g x ≤，
∴0
11x x >⎧⎨
-≤≤⎩
，
∴01x <≤，
当0x <时，可得()1g x ≥，
∴0
11x x x <⎧⎨
≥≤-⎩
或
综上可得，不等式的解集为{}
101x x x ≤-<≤或． 故选：C. 12．A
【解答】解：∵()()1
12
f x f x +=， ∴()()21f x f x =+
当(]0,1x ∈时，()()1,041f x x x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣-⎦
=，
(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()()2,0
21211x f x f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣+=+⎦
=， (]2,1x ∈--时，(]10,1x +∈，()()()()[]214211,0f x f x x x =+=++∈-，
将函数大致图象在数值上画出，如图
(]2,1x ∈--时，令()()84219
x x ++=-， 解得：153x =-，243
x =-， 若对于任意[),x m ∈+∞，都有()89
f x ≥-， 所以43
m ≥-， 故选：A.
二、填空题（共4小题）
13．【解答】解：由3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝
⎭r ，且a b r r P ， 则31sin cos 023
αα-
⨯=， 所以1sin cos 2αα=， 所以sin 21α=；
所以222k π
απ=+，k ∈Z ；
所以cos20α=．
故填：0.
14．【解答】解：由230x -+>，得33x -<<
∴函数()()22log 3f x x =-+的应用为()3,3-． 令23t x =-+，其对称轴方程为
0x =，且在()0,3上单调递减，
而外层函数2log y t =是定义域内的增函数，
∴函数()()22log 3f x x =-+的单调递减区间是()0,3，
故答案为：()0,3.
15．【解答】解：根据题意，()f x 是定义域为R 的偶函数，
对x ∀∈R ，都有()()4f x f x +=-，
则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
则有991142222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()()()211451f f f =+⨯=， 又由当02x ≤≤时，()2
21,01101,12x f x x g x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩， 则1212f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()11f =， 则()()91211(21)1222f f f f ⎛⎫⎛⎫-+=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 故答案为：2.
16．【解答】
解：令()sin t f x x ==，
则方程等价为2
30t t m -+=， 即221133612
m t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由()sin t f x x ==得当1t =或102t <≤
时，sin t x =只有一个根， 当112
t <<时，sin t x =有两个不同的根， 若1t =，此时312m =-+=-， 此时方程2
320t t --=得()()1320t t -+=，得1t =或23t =-， 当23
t =-时，sin t x =无解， 此时方程()()()230f x f x m -+=在50,6
π⎛⎫ ⎪⎝⎭内只有一个解不满足条件． 若方程()()()230f x f x m -+=在50,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有两个不同的解， 等价为①当102t <≤时，221133612
m t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点， 即1012
m <<， 或者②当112t <<时，221133612
m t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭有1个交点， ∵12t =时，14
m =-，1t =时，2m =-. ∴此时124m -<<-，
综上1012m <<或124
m -<<-， 故答案为：1012m <<或124m -<<-. 三、解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）据题意，
()(){}
{}11011A x x a x a x x a x a =-+⋅-->=<->+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或， {}23B x x =≤≤，
∴1a =-时，{}20A x x x =<->或， ∴{}23B x x x =<>R 或ð，(){}
2023A B x x x x =<-<<>I 或或ðR ；
（2）∵A B A =U ，
∴B A ⊆，
∴13a ->或12a +<，解得1a <或4a >，
∴a 的取值范围为()(),14,-∞+∞U ．
18．【解答】解：（1）因为()2cos 2cos 1f x x x x =+-
2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k π
π
πππ-≤+≤+
得()f x 的单调递增区间为1
,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .
（2）根据条件得()52sin 46x x g π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
当0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5544,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，
所以当8x π
=时，()min g x =19．【解答】解：（1）在Rt ABC △中，cos ,sin AB a AC a θθ==， 所以2111sin cos 22
S AB AC a θθ=⋅=；
设正方形的边长为x ，则sin x BP B =
，cos AP x θ=， 由BP AP AB +=，得
cos cos sin x x a θθθ+=， 解得asin cos 1sin cos x θθθθ
=+； 所以sin cos 221sin cos a S x θθ
θθ
⎛⎫== ⎪+⎝⎭； （2）()2121sin cos 12sin cos S S θθθθ
+=⋅ 2
11sin 22sin 2θθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭= 11sin 21sin 24
θθ=++， 令sin 2t θ=，因为02π
θ<<，
所以02θπ<<，则(]sin 20,1t θ=ò， 所以121114
S t S t =++； 设()1114
t t g t =+
+， 则()2114g t t '=-+，(]0,1t ∈； 所以函数()g t 在(]0,1上递减，
因此当1t =时，()g t 有最小值()()min 119111414g t g =+=+
⨯=， 此时sin 21θ=，解得4πθ=
； 所以当4π
θ=时，12S S 的值最小，最小值为94
. 20．【解答】解：（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，
∵B 点的横坐标为120233
ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭； 又点C 与点D 关于直线127223
12x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭对称，
∴()f x 的最小正周期74123T πππ⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭， ∴22T πω=
=； 又03f π⎛⎫=
⎪⎝⎭， ∴2,3
k k πϕπ+=∈Z ； 解得,3k k πϕπ=
+∈Z ；0ϕπ<<， ∴3π
ϕ=；
∴函数()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
； （2）由()12sin 2313
f παα⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以sin 2443f πππαα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ sin 232ππα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ cos 23πα⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭； 当,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,32ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以5cos 2313πα⎛
⎫+==- ⎪⎝⎭， 所以5413
f πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭；
（3）()22log sin 2log 46f x x k x k g ππ⎛
⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 令()0g x =，得2log sin 26k x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，保证()0g x =只有一个根， 所以210log 2k ≤<
或2log 1k = 解得12k ≤<或2k =.
21．【解答】解：（1）令2x t =，则函数()22y f x t mt ==-，
∵1t ≥，∴2t ≥；
∴()2
2y t m m =--，2t ≥， 当2m <时，函数在[)2,t ∈+∞上增函数，2t =时，min 44y m =-；
当2m ≥时，函数在t m =时，2min y m =-.
故当2m <时，()f x 的最小值为44m -；
当2m ≥时，()f x 的最小值为2
m -. （2）若()()0g a g b +=，则212102121
a b a b --+=++， 整理得122a b ++=，即11a b ++=，
则0a b +=，即b a =-，
∴()()0f a f b +=等价为()()0f a f a +-=有解，
即1142420a a a a m m +--+-⋅+-⋅=，
则114422
a a
a a m -+-++=+， ∵()()()22211222442222122222222222a
a a a a a a a a a a a
a a a a m ----+-+---+-+++-====-++++， 设22a a t -=+，则2t ≥， 则221
1
2222a a a a t
m t --+=-=-+，在2t ≥时，单调递增， 即22111
122222a a
a a m --+=-≥-=+， ∴则114422a a
a a m -+-++=+有解，则1
2m ≥.
22．【解答】解：（1）∵函数()()()222,
2,
2x a x x f x x x a x a x a x x a ⎧+-≥⎪⎨-+=+<-+=⎪⎩． 由于()f x 在R 上是连续的增函数，
所以只要当x a ≥时为增函数且当x a <时也为增函数； 即222
2
a
a a a -⎧≥-
⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解得22a -≤≤，则a 的范围为[]2,2-.
（2）由题意得对任意的实数[]1,2x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[]1,2x ∈恒成立，即1
x a x -<， ∴11
x a x x -<-<， ∴11
x a x x x -<<+， 故1
a x x >-且1
a x x <+在[]1,2x ∈上恒成立，
即在[]1,2x ∈时，只要1a x x >-的最大值且1
a x x <+的最小值即可，
而当[]1,2x ∈时，1
y x x =-为增函数，max 13
222y =-=；
当[]1,2x ∈时，1
y x x =+为增函数，min 2y =，
∴322
a <<． 所以满足条件的所有3,22a ⎛⎫∈
⎪⎝⎭. （3）由题意得，关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根()2f x at ⇔=有三个不相等的实数根；即()y f x =与2y at =有三个不同的交点；
①当22a -≤≤时，由（1）知，()f x 在R 上是增函数，
则关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不等的实数根；
②当(]2,4a ∈时，由()()()222,2,2x a x x f x x x a x a x a x x a ⎧+-≥⎪⎨-+=+<-+=⎪⎩
． 当x a ≥时，∵(]2,4a ∈，
∴()()22f x x a x =+-对称轴22a x a -=
<， 则()f x 在[),x a ∈+∞为增函数；
此时()f x 的值域为())[),2,f a a +∞=+∞⎡⎣，
当x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22
a x +=， ∵(]2,4a ∈，∴
22022
a a a +--=<， ∴对称轴22a x a +=<， 则()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎫+-∞ ⎪⎝
⎭， ()f x 在2,2a a +⎡⎫⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦
； 由存在(]2,4a ∈，使()y f x =与2y at =有三个不同的交点，
则()22224
a a at +<<，即存在(]2,4a ∈，使得()2218a t a +<<即可，
令()()2214488a a a a a g +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭
， 只要使()()max
t g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，
()()max 948g a g ==.。