2019—2020年沪科版九年级数学第一学期《二次函数与反比例函数》单元达标检测及答案.docx

第21章达标检测卷
(150分，90分钟)
题 号 一 二 三 总 分
得 分
一、选择题(每题4分，共40分)
1．下列函数中，不是反比例函数的是( )
A ．x ＝5y
B ．y ＝－k x (k ≠0)
C ．y ＝x －17
D ．y ＝－1
|x|
2．抛物线y ＝－x 2不具有的性质是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．与y 轴不相交 D ．最高点是原点
3．某公司举行年会，一共有n 个人参加，若每两个人都要握手一次，握手的总次数为y ，则y 与n 之间的函数表达式为( )
A ．y ＝n 2＋n
B ．y ＝n 2－n
C ．y ＝12n 2－12n
D ．y ＝12n 2＋12
n 4．关于反比例函数y ＝2
x 的说法正确的是( )
A ．图象经过点(1，1)
B ．图象的两个分支分布在第二、四象限
C ．图象的两个分支关于x 轴对称
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．－1＜x ＜2
B ．x ＞2
C ．x ＜－1
D ．x ＜－1或x ＞2
6．函数y ＝a
x
与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
(第5题)
7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象经过点(1，0)，则代数式2－a －b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．4 D ．－4
8．(2015·苏州)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )
A ．x 1＝0，x 2＝4
B ．x 1＝1，x 2＝5
C ．x 1＝1，x 2＝－5
D ．x 1＝－1，x 2＝5
9．把函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋5，则( )
A ．b ＝3，c ＝7
B ．b ＝6，c ＝3
C ．b ＝－9，c ＝－5
D ．b ＝－9，c ＝21 10．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，
E 、
F 、
G 、
H 分别为各边上的点(都不与正方形ABCD 的顶点重合)，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设四边形EFGH 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是( )
(第10题)
二、填空题(每题5分，共20分)
11．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 的长为x 米，则菜园的面积y(平方米)与x(米)的函数表达式为________．(不要求写出自变量x 的取值范围)
(第11题)
(第12题)
(第13题)
(第14题)
12．如图，A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的表达式为________．
13．如图，A 、B 是双曲线y ＝k
x
的一个分支上的两点，且点B(a ，b)在点A 的右侧，则
b 的取值范围是____________．
14．函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，现给出以下结论：①3b ＋c ＝－6；②抛物线的对称轴是直线x ＝3
2；③当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＞0；④两函数图象交点
间的距离是2
2.其中正确结论的序号有________．
三、解答题(15，16题每题10分，17题12分，18，19题每题14分，20，21题每题15分，共90分)
15．(2015·珠海)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1. (1)求证：2a ＋b ＝0；
(2)若关于x 的方程ax 2＋bx －8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
16．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．当车速为50千米/时时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(千米/时)的反比例函数，求f 与v 之间的函数表达式，并计算当车速为100千米/时时，视野的度数是多少？
17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，其x ≥0的部分如图．
(1)求该抛物对应的函数的表达式，并写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y＝ax2＋bx＋c的x＜0的部分；
(3)利用图象写出x为何值时，y＞0.
(第17题)
18．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
19．(2015·南充)反比例函数y ＝k
x (k ≠0)与一次函数y ＝mx ＋b(m ≠0)交于点A(1，2k
－1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数的图象与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的表达式．
20．某农户生产经销一种季节性农副产品，已知这种产品的成本价为30元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价格x(元/千克)有如下关系：w ＝－x ＋60.设这种产品每天的销售利润为y(元)．
(1)求y 与x 之间的函数表达式．
(2)当销售价格定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)为了尽快将产品销售完，且该农户想要每天的销售利润达到200元，那么销售价格应该定为多少？
21．如图，已知二次函数图象的顶点为A(1，－3)，并经过点C(2，0)． (1)求该二次函数的表达式；
(2)直线y ＝3x 与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B 的坐标和△AOB 的面积； (3)点Q 在x 轴上运动，求出所有使得△AOQ 是等腰三角形的点Q 的坐标．
(第21题)
答案
一、1.D 2.C
3．C 点拨：y ＝12n(n －1)＝12n 2－1
2
n.
4．D 点拨：对于函数y ＝2
x ，当x ＝1时，y ＝2，故A 不正确；∵2＞0，∴图象的两
个分支分布在第一、三象限，故B 不正确；图象的两个分支是关于原点对称的，故C 不正确；当x ＜0时，图象分布在第三象限，y 随x 的增大而减小，故D 正确．
5．D
6．D 点拨：当a ＞0时，抛物线开口向上，双曲线的两个分支在第一、三象限；当a ＜0时，抛物线开口向下，双曲线的两个分支在第二、四象限. 故选项D 正确．
7．C 点拨：将点(1，0)的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋2，得0＝a ＋b ＋2，故a ＋b ＝－2，故2－a －b ＝2－(－2)＝4.
8．D 点拨：∵二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b
2＝2，解得b ＝－4，∴关于x 的方程x 2＋bx ＝5为x 2－4x ＝5，其解为x 1＝－1，
x 2＝5.
9．A 点拨：y ＝x 2－3x ＋5可变形为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋11
4，所以原函数的表达式是y ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋19
4
＝x 2＋3x ＋7，所以b ＝3，c ＝7. 10．B 点拨：由已知可得题图中四个直角三角形全等，面积相等，AE ＝x ，AH ＝1－x ，所以y ＝1－4×12x(1－x)＝2x 2－2x ＋1，所以图象为开口向上，对称轴是直线x ＝1
2的抛
物线的一部分，故选B.
二、11.y ＝－1
2
x 2＋15x
12．y ＝4x 点拨：设这个反比例函数的表达式为y ＝k
x ，点A 的坐标为(m ，n)，m ＞0，
n ＞0，则mn ＝k.在△ABP 中，AB ＝ m ，AB 边上的高为n ，所以1
2mn ＝2，所以k ＝mn
＝4，所以这个反比例函数的表达式为y ＝4
x
.
13．0＜b ＜2
14．①②④ 点拨：把点(3，3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，可得3b ＋c ＝－6；点(0，
3)和点(3，3)都在抛物线上，所以抛物线的对称轴是直线x ＝3
2；从两函数的图象可以看出，
当1＜x ＜3时，抛物线在直线的下方，即x 2＋bx ＋c ＜x ，所以x 2＋(b －1)x ＋c ＜0；两函数图象的两个交点分别是(1，1)和(3，3)，这两点到原点的距离分别为2和3
2，所以这
两点之间的距离是3
2－
2＝2
2.故①②④正确．
三、15.(1)证明：由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3
的对称轴为直线x ＝1，得－b 2a
＝1.∴2a ＋b
＝0.
(2)解：抛物线y ＝ax 2＋bx －8与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3有相同的对称轴，且方程ax 2
＋bx －8＝0的一个根为4.
设
ax 2＋bx －8＝0
的另一个根为x 2，则满足：4＋x 2＝－b
a
.
∵2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴4＋x 2＝2，∴x 2＝－2.
(第17题)
16．解：由题意，可设f 与v 之间的函数表达式为f ＝k
v (k ≠0)．
∵当v ＝50时，f ＝80，∴80＝k
50.
解得k ＝4 000， ∴f ＝4 000v
.
当v ＝100时，f ＝4 000
100
＝40.
∴当车速为100千米/时时，视野为40度．
17．解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，得方程
组⎩⎪⎨⎪
⎧2＝c ，
0＝16a ＋4b ＋c ，－3＝25a ＋5b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12
，
b ＝32
，
c ＝2，
所以该抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋32
x ＋2，其顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，258.
(2)如图所示． (3)由图象可知，当－1＜x ＜4时，y ＞0. 18．(1)证明：因为(－2m)2－4(m 2＋3)＝－12＜0， 所以方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，
所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴都没有公共点． (2)解：设把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移a(a ＞0)个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3－a.
由得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，可知方程x 2－2mx ＋m 2＋3－a ＝0有两个相等的实数根，
所以(－2m)2－4(m 2＋3－a)＝0.解得a ＝3.
所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．
19．解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象过点A(1，2k －1)，∴k
1＝2k －1，解得k ＝
1.∴反比例函数的表达式为y ＝1
x
.
(第19题)
(2)如图，∵A(1，2k －1)，k ＝1， ∴点A(1，1)，点A 到x 轴的距离AM ＝1.
由题意知S △AOB ＝12OB ·AM ＝3，∴12
OB ×1＝3，即OB ＝6. 故B(6，0)或B ′(－6，0)．
①当一次函数的图象过点A(1，1)，B(6，0)时，
⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝1，6m ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，b ＝65.
∴一次函数的表达式为y ＝－15x ＋65
. ②当一次函数的图象过点A(1，1)，B ′(－6，0)时，
⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝1，－6m ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，b ＝67
. ∴一次函数的表达式为y ＝17x ＋67
. 综上可知，一次函数的表达式为
y ＝－15x ＋65或y ＝17x ＋67
. 20．解：(1)y 与x 之间的函数表达式为
y ＝w(x －30)＝(－x ＋60)(x －30)＝－x 2＋90x －1 800.
(2)∵y ＝－x 2＋90x －1 800＝－(x －45)2＋225，
∴当销售价格定为45元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
(3)令y ＝200，则－(x －45)2＋225＝200，
解得x 1＝50，x 2＝40.
对于w ＝－x ＋60，w 随着x 的增大而减小，
∴当x ＝40时，销售量w 更大．
故销售价格应该定为40元/千克．
21．解：(1)由二次函数图象的顶点为A(1，－3)可设该二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2－3.
∵其图象过点C(2，0)，∴0＝a －3，解得a ＝3，
∴该二次函数的表达式为y ＝3(x －1)2－3＝3x 2－6x.
(2)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝3x 2－6x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝9， ∴点B 的坐标为(3，9)．
由A(1，－3)，B(3，9)可求得直线AB 对应的函数表达式为
y ＝6x －9.令y ＝0，得x ＝32
. 设直线AB 与x 轴的交点为D ，则OD ＝32
， ∴S △AOB ＝S △BOD ＋S △AOD ＝12×32×9＋12×32
×3＝9.
(第21题)
(3)△AOQ 是等腰三角形分以下三种情况：
①AO ＝AQ ，此时点Q 与点C 重合，
∴点Q 的坐标为(2，0)．
②OQ ＝OA.
由A(1，－3)可求得OA ＝
10，
∴OQ ＝10，
∴此时点Q的坐标为(－10，0)或(10，0)．
③QO＝QA，如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，则AQ＝x，OE＝1，AE＝3. 设OQ＝x，则AQ＝x，EQ＝x－1.
在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，
∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此时点Q的坐标为(5，0)．
综上，满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－10，0)或(10，0)或(5，0)．。