江西省上饶市第四中学高二数学理联考试卷含解析

江西省上饶市第四中学高二数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设数列的前n项和为，若，则（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
B
2. 已知多项式f（x）=4x5+2x4+
3.5x3﹣2.6x2+1.7x﹣0.8，用秦九韶算法算f（5）时的V1值为
( )
A．22 B．564.9 C．20 D．14130.2
参考答案：
A
考点：秦九韶算法．
专题：算法和程序框图．
分析：利用秦九韶算法可得f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，即可得出．
解答：解：∵f（x）=（（（（4x+2）x+3.5）x﹣2.6）x+1.7）x﹣0.8，
∴v0=4，v1=4×5+2=22．
故选：A．
点评：本题考查了秦九韶算法，属于基础题．
3. 二次不等式的解集为{x|－1<x<}，则的值为( )
A．－5 B．5 C．－ 6 D． 6
参考答案：
C 4. 设是两个非零向量，下列选项正确的是（）
A．若，则
B ．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
参考答案：
C
略
5. 已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 ( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
试题分析：
因为二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为
4，所以长度为4的线段到平面的投影是，所以.
故选D.
考点：二面角的平面角.
6. 已知等差数列{a n}有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )
A．5 B．7 C．9 D．11
参考答案：
D
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{a n}有奇数项2k﹣1，（k∈N*）．公差为2d．由于奇数项和为36，偶数项和为30，可得36=a1+a3+…+a2k+1，30=a2+a4+…+a2k，分别相加相减即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}有奇数项2k﹣1，（k∈N*）．公差为2d．
∵奇数项和为36，偶数项和为30，
∴36=a1+a3+…+a2k+1，
30=a2+a4+…+a2k，
∴=（2k+1）a k+1，6=a2k+1﹣kd=a1+kd=a k+1，
∴11=2k+1=n，
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF1|=t，则由∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，推出PQ|=t，|F1Q|=t，且F2为PQ的中点，根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示，根据等边三角形的高，求出2c用t表示，再由椭圆的离心率
公式e=，即可得到答案．
【解答】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，离心率的求法，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．
8. 下列四个数中，哪一个是数列中的一项（）
A．380 B． 39 C． 35 D． 23
参考答案：
A
略
9. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，每个路口4人，则不同的分配方案共有
A．种 B．3种 C．
种 D．种
参考答案：
A
10. 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）
A．36种B．48种C．96
种D．192种
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，
b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．
参考答案：
【考点】51：函数的零点；3T：函数的值．
【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有
，由此求得m的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
故答案为．
12. 如图，正方体棱长为1，点，，且，有以下四个结论：
①,②；③平面；④与是异面直线.其中正确结论的序号是________ (注：把你认为正确命题的序号都填上）
参考答案：
①③
13. 如图，在梯形中，，点在的内部（含边界）运动，则
的取值范围是
．
参考答案：
14. 设函数在上存在导数，，有，
在上，若，则实数的取值范围是_____________. 参考答案：
15. 命题“”的否定是．
参考答案：
16. 椭圆的焦距为2，则m=__________
参考答案：
5或3
17. 右边程序执行后输出的结果是________．
参考答案：
900
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线过且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，
求直线的方程．
参考答案：
（本小题满分12分）解：设椭圆方程为．……1分
（Ⅰ）由已知可得．……………4分∴所求椭圆方程为．……………5分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
，………6分
则，，两式相减得：．………8分
∵P是AB的中点，∴，，代入上式可得直线AB的斜率为……10分∴直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，将代入椭圆方程并解得，，
这时AB的中点为，∴不符合题设要求．综上，直线的方程为
．…12分
略
19. 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求平面AA1D与A1DB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
参考答案：
1.解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由
点到平面
的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．平面．
略
20. 已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．（1）求m的值；
（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m，求证：ax+by+cz≤1．
参考答案：
【考点】R6：不等式的证明．
【分析】第（1）问中，分离m，由|x|+|x﹣1|≥1确定将m分“m＜1”与“m≥1”进行讨论；（2）中，可利用重要不等式将x2+a2与ax联系，y2+b2与by联系，z2+c2与cz联系．
【解答】解：（1）由f（x+1）≥0得|x|+|x﹣1|≤m．
若m＜1，∵|x|+|x﹣1|≥1恒成立，∴不等式|x|+|x﹣1|≤m的解集为?，不合题意．
若m≥1，①当x＜0时，得，∴；
②当0≤x≤1时，得x+1﹣x≤m，即m≥1恒成立；
③当x＞1时，得，∴1，
综上可知，不等式|x|+|x﹣1|≤m的解集为[，]．
由题意知，原不等式的解集为[0，1]，
∴解得m=1．
（2）证明：∵x2+a2≥2xa，y2+b2≥2yb，z2+c2≥2zc，
以上三式相加，得x2+y2+z2+a2+b2+c2≥2xa+2yb+2zc．
由题设及（1），知x2+y2+z2=a2+b2+c2=m=1，
∴2≥2（xa+yb+zc），即ax+by+cz≤1，得证．
21. 抛物线（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点. （1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），比较x0与3p大小；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，求++…+的值.
参考答案：
解：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px
.
得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.
令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，
AB中点坐标为（，）.AB垂直平分线为y－=－（x－）.
令y=0，得x0==p+.由上可知0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.
（2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，….
∴点N n的坐标为（p+，0）.
|N n N n+1|=|（p+）－（p+）|=，=，
所求的值为［p3+p4+…+p21］=，因为0<k2<1，所以0<P<1
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．
【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13
，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．。