江西省上饶市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷 理(含解析)

2016-2017学年江西省上饶市高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为（）
A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1=k2 D．不确定
2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，使得x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有D．存在x0∈R，都有
3．设z是复数，则下列命题中的假命题是（）
A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
4．一物体以速度v=（3t2+2t）m/s做直线运动，则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是（）A．31m B．36m C．38m D．40m
5．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或￢q是真命题；
②p且￢q是真命题；
③￢p且￢q是假命题；
④￢p或q是假命题．
其中真命题是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．三次函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0 D．m≤1
8．已知抛物线y=﹣2x2+bx+c在点（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，则b+c的值为（）A．20 B．9 C．﹣2 D．2
9．设f （x ）=cos2tdt ，则f （f （））=
A ．1
B ．sin 1
C ．sin 2
D ．2sin 4
10．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x ﹣a ）2
+（y ﹣b ）2
=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
11．设函数f （x ）的图象如图，则函数y=f′（x ）的图象可能是下图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若关于x 的不等式x 3﹣3x 2
﹣9x+2≥m 对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，7] B ．（﹣∞，﹣20] C ．（﹣∞，0] D ．[﹣12，7]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上） 13．若曲线f （x ）=x 4﹣x 在点P 处的切线垂直于直线x ﹣y=0，则点P 的坐标为 ． 14．f （x ）=ax 3
﹣2x 2
﹣3，若f′（1）=2，则a 等于 ．
15．
= ．
16．已知z ∈C ，且|z|=1，则|z ﹣2i|（i 为虚数单位）的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）求导数y=2x 2sin （2x+5）
（2）求定积分：
（1+
）dx ．
18．设p ：x 2﹣8x ﹣9≤0，q ：x 2﹣2x+1﹣m 2≤0（m ＞0），且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
19．已知z为复数，z+i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z和|z|；
（Ⅱ）若在第四象限，求m的范围．
20．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+a．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
21．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+4．（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求直线y=2x+4与y=f（x）所围成的图形的面积．
22．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈R，都有f（x）≥k﹣g（x）恒成立，求k的取值范围．
2016-2017学年江西省上饶市鄱阳二中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为（）
A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1=k2 D．不确定
【考点】62：导数的几何意义．
【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【解答】解：当自变量从0到0+△x时，k1==，
当自变量从到+△x时，k2==
当△x＞0时，k1＞0，k2＜0即k1＞k2；
当△x＜0时，k1﹣k2=﹣=
∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣， sin（△x﹣）+1＜0，
∴k1＞k2
综上所述，k1＞k2．
故选A．
2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，使得x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有D．存在x0∈R，都有
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即存在x0∈R，都有，
故选：D
3．设z是复数，则下列命题中的假命题是（）
A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．
【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2﹣b2+2abi，
对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；
对于B，z2＜0，则a=0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题．
对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题；
故选C．
4．一物体以速度v=（3t2+2t）m/s做直线运动，则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是（）A．31m B．36m C．38m D．40m
【考点】67：定积分．
【分析】利用定积分的物理意义解答即可．
【解答】解：由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：
=36；
故选：B．
5．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵z==，
∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限．
故选：A．
6．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或￢q是真命题；
②p且￢q是真命题；
③￢p且￢q是假命题；
④￢p或q是假命题．
其中真命题是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断￢p，￢q的真假，并判断由逻辑连接词“或“，“且“，连接的复合命题的真假．
【解答】解：∵p且q为真命题；
∴p，q都为真命题；
①p或￢q是真命题，正确，∵p和￢q中，p是真命题；
②p且￢q是真命题，错误，∵p和￢q中，￢q是假命题，∴p且￢q是假命题；
③￢p且￢q是假命题，正确，∵￢p和￢q都为假命题；
④￢p或q是假命题，错误，∵￢p和q中q是真命题，∴￢p或q是真命题．
∴其中真命题是：①③．
故选：C．
7．三次函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0 D．m≤1
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】先求函数f（x）的导数，因为当函数为减函数时，导数小于0，所以若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情况判断，来求m的范围．
【解答】解：对函数f（x）=mx3﹣x求导，得f′（x）=3mx2﹣1
∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴f′（x）≤0在R上恒成立
即3mx2﹣1≤0恒成立，
∴，解得m≤0，
又∵当m=0时，f（x）=﹣x不是三次函数，不满足题意，
∴m＜0
故选A
8．已知抛物线y=﹣2x2+bx+c在点（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，则b+c的值为（）A．20 B．9 C．﹣2 D．2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求出函数f（x）的导函数，然后根据题意可得f（2）=﹣1，f′（2）=1建立方程组，解之即可求出b和c的值，从而求出所求．
【解答】解：∵y=f（x）=﹣2x2+bx+c在点（2，﹣1）处与直线y=x﹣3相切，
∴y′=﹣4x+b，
则f（2）=﹣8+2b+c=﹣1，f′（2）=﹣8+b=1，
解得：b=9，c=﹣11，
∴b+c=﹣2
故选：C．
9．设f（x）=cos2tdt，则f（f（））=
A．1 B．sin 1 C．sin 2 D．2sin 4
【考点】67：定积分；3T：函数的值．
【分析】先根据定积分的计算法则，求出f（x），继而带值求出函数值．
【解答】解：f（x）=cos2tdt=sin2t|= [sin2x﹣sin（﹣2x）]=sin2x，
∴f（）=sin=1，
∴f（f（））=sin2，
故选：C．
10．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】J9：直线与圆的位置关系；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．
【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，
∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切
若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则
∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4
故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．
故选A．
11．设函数f（x）的图象如图，则函数y=f′（x）的图象可能是下图中的（）
A．B．C．D．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知，导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，且在区间（﹣∞，0）上导函数f′（x）＞0，结合选项可得答案．
【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数有两个极值点，
故导函数y=f′（x）的图象应有两个零点，
即与x轴有两个交点，故可排除A、B，
又由函数在（﹣∞，0）上单调递增，
可得导函数f′（x）＞0，即图象在x轴上方，
结合图象可排除C，
故选D
12．若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7]
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；3R：函数恒成立问题．
【分析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范围．
【解答】解：设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，
令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，
∵3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），
列表讨论：
∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，
f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，
f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，
∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，
∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，
∴m≤﹣20，
故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）13．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线垂直于直线x﹣y=0，则点P的坐标为（0，0）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点P（m，m4﹣m），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求P的坐标．
【解答】解：设P（m，m4﹣m），
f（x）=x4﹣x的导数为f′（x）=4x3﹣1，
可得切线的斜率为4m3﹣1，
由切线垂直于直线x﹣y=0，
可得4m3﹣1=﹣1，
解得m=0，
则切点P（0，0）．
故答案为：（0，0）．
14．f（x）=ax3﹣2x2﹣3，若f′（1）=2，则a等于 2 ．
【考点】63：导数的运算．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=3ax2﹣4x，将x=1代入f′（1）=2可得f′（1）=3a﹣4=2，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）=ax3﹣2x2﹣3，
则f′（x）=3ax2﹣4x，
若f′（1）=3a﹣4=2，
解可得a=2；
故答案为：2．
15． = π﹣2 ．
【考点】67：定积分．
【分析】先根据表示有圆心为（0，0）半径为2的圆在第一象限的面积，从
而可求出的值，从而可求出所求．
【解答】解：
=﹣
==
=π﹣（）
=π﹣2．
故答案为：π﹣2．
16．已知z∈C，且|z|=1，则|z﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是 1 ．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】|z|=1，表示以原点为圆心、1为半径的圆．（2，0）到原点的距离d=2．可得|z﹣2i|（i为虚数单位）的最小值=d﹣r．
【解答】解：|z|=1，表示以原点为圆心、1为半径的圆．
（2，0）到原点的距离d=2．
则|z﹣2i|（i为虚数单位）的最小值=d﹣r=2﹣1=1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）求导数y=2x2sin（2x+5）
（2）求定积分：（1+）dx．
【考点】67：定积分；63：导数的运算．
【分析】（1）根据导数的运算法则和复合函数的求导法则计算即可，
（2）根据定积分的计算法则计算即可．
（1）求导数y=2x2sin（2x+5），则y′=4xsin（2x+5）+2x2cos（2x+5）•（2x+5）′=4xsin 【解答】解：
（2x+5）+4x2cos（2x+5），
（2）求定积分：（1+）dx=（+x）dx=（+x2）|=+=．
18．设p：x2﹣8x﹣9≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】非p是非q的充分不必要条件，可得：q是p的充分不必要条件．p：x2﹣8x﹣9≤0，
解得：﹣1≤x≤9．q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），即可得出．
【解答】解：∵非p是非q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．
p：x2﹣8x﹣9≤0，解得：﹣1≤x≤9．
q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得：1﹣m≤x≤1+m，
∴，
解得：m≤2．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
19．已知z为复数，z+i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z和|z|；
（Ⅱ）若在第四象限，求m的范围．
【考点】A8：复数求模．
【分析】（Ⅰ）z=a+bi（a，b∈R），代入z+i和利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0列式求得a，b的值，则复数z和|z|可求；
（Ⅱ）把代入，利用复数代数形式的加减运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【解答】解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），
则z+i=a+（b+1）i， =．
∵z+i和均为实数，
∴，解得a=2，b=﹣1．
∴z=2﹣i，|z|=；
（Ⅱ）∵=2+i+=在第四象限，
∴，解得﹣2＜m＜或1＜m＜5．
20．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+a．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出导函数，令导函数小于零，求出x的范围即可；、
（2）求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而判断函数的最值．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣3x2+6x．
令f′（x）＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）．
（2）∵f（﹣2）=8+12+a=20+a，
f（2）=﹣8+12+a=4+a，
∴f（﹣2）＞f（2）．
∵在（0，2）上f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上单调递增．
又由于f（x）在[﹣2，0]上单调递减，因此f（0）是f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值，∵f（﹣2）=20+a=20，
∴a=0，
∴f（x）=﹣x3+3x2
∴f（0）═0，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为0．
21．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+4．（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求直线y=2x+4与y=f（x）所围成的图形的面积．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．
（2）先由解方程组求出积分区间，再通过求定积分求出即可．
【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+4，
∴a=1，b=4，
∴f（x）=x2+4x+c．
由于方程f（x）=0有两个相等的实根，
∴△=16﹣4c=0，解得 c=4，∴f（x）=x2+4x+4．
（2）联立，解得x=﹣2或x=0，
即直线y=2x+4与y=f（x）所围成的图形的面积S= [2x+4﹣（x2+4x+4）]dx
=（﹣x2﹣2x）dx=（﹣﹣x2）|=﹣（﹣﹣4）=
22．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈R，都有f（x）≥k﹣g（x）恒成立，求k的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；
（Ⅱ）由f（x）≥k﹣g（x）恒成立得f（x）+g（x）≥k，设F（x）=f（x）+g（x），再求出F（x）及它的导函数，研究函数的单调性和最小值即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1），
由f（x）≥k﹣g（x）恒成立得f（x）+g（x）≥k恒成立，
设F（x）=f（x）+g（x）=2e x（x+1）+x2+4x+2，
则F′（x）=2e x（x+2）+2x+4=2（x+2）（e x+1），
由F′（x）＞0得x＞﹣2，由F′（x）＜0得x＜﹣2，
即当x=﹣2时，F（x）取得极小值，同时也是最小值，
此时F（﹣2）=2e﹣2（﹣2+1）+（﹣2）2+4×（﹣2）+2=﹣2e﹣2﹣2，则k≤﹣2e﹣2﹣2．。