2020年3月高三第二次在线大联考(北京卷)-数学(全解全析)

2020年3月高三第二次在线大联考（北京卷）
数 学 全解全析
1．A 【解析】由题可得集合e 2{}|=>x A x ，{|0}=≥B y y ，所以e
(,)2
+∞=I A B ，故选A ．
2．D 【解析】由题可得i i(12i)21i 12i (12i)(12i)55-==+++-，则复数i 12i +的共轭复数为21i 55-，在复平面内对应的点的坐标为21
(,)55
-，位于第四象限．故选D ．
3．C 【解析】对于A ，函数0.5log =y x 的定义域为(0,)+∞，不符合题意；对于B ，213()24=++y x ，在1
(,)
2
-∞-上单调递减，在1[,)2
-+∞上单调递增，不符合题意；对于C ，函数1()2=x
y 在R 上单调递减，符合题意；
对于D ，函数|1|=+y x 在(,1)-∞-上单调递减，在[1,)-+∞上单调递增，不符合题意．故选C ． 4．A 【解析】圆C 的标准方程为22(2)(1)5++-=x y
，圆心C 的坐标为(2,1)-，半径=r C 到直
线l 的距离
=d =d r ，所以直线l 与圆C 相切．故选A ．
5．C 【解析】将函数cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，可得函数cos[2()]66
y x ππ
=++=
cos(2)sin 22
x x π
+=-的图象，故选C ．
6．B 【解析】因为(1,2)=-a ，(2)λ,=b ，所以由向量a 与向量b 的夹角为钝角，可得
cos ,0〈〉=<a b 且212
λ≠-，所以4λ<且1λ≠-，所以“4λ<”是“向量a 与向量b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B ．
7．D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为129a a +=，445S =，所以34412()36a a S a a +=-+=，所以212()36a a q +=，所以24q =，所以464561245()45916189S S a a a a q =++=++=+⨯=，故选D ． 8．C 【解析】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，由三视图可知该四棱锥的直观图为四棱锥1111A A B C D -，所以该四棱锥的体积14
12233
V =⨯⨯⨯=，故选C ．
9．D 【解析】由题可得2()()()PM PN PC CM PC CN PC PC CM CN CM CN ⋅=+⋅+=+⋅++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为CM =
u u u u r
CN -u u u r
，且圆C 的半径为2，所以2||4PM PN PC ⋅=-u u u u r u u u r u u u r ．因为点P 在直线20x y -+=上，所以||PC u u u r 的最小
值即点(2,0)C 到直线20x y -+=
的距离d =
=PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值为24-=
4，故选D ．
10．D 【解析】因为12x x <，所以120x x -<，所以
2112
12
ln ln 1x x x x x x -<-可化为211212ln ln x x x x x x ->-，所
以212121ln ln x x x x x x +>+，两边同时除以12x x 可得1212
ln 1ln 1
x x x x ++>，则原问题等价于：当x a ≥时，函数ln 1()x h x x +=
单调递减．易得2ln ()x
h'x x
=-，令()0h'x =，可得1x =，所以当1x >时，()0h'x <，所以当1x ≥时，函数()h x 单调递减，所以实数a 的最小值为1．故选D ．
11．180 【解析】
由题可得二项式102)x 的展开式的通项为10541102C r
r r
r T x -+=⋅⋅，令10504
r -=，解得2r =，
所以展开式中的常数项为22
310
2C 180T =⨯=． 12
．
4
【解析】由题可得抛物线21:12C y x =的焦点坐标为(3,0)，因为抛物线1C 的焦点与双曲线2C 的一个焦点重合，所以2213a +=，所以28a =
，所以a =，所以双曲线2C
=． 13．
1
7
【解析】由cos 2sin b A a B =及正弦定理可得sin cos 2sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以cos A =2sin A ，所以1tan 2
A =
，所以22tan 4tan 21tan 3A A A ==-，所以
tan 211
tan(2)41tan 27A A A π--==+． 14．B 【解析】若A 做了听课笔记，则A 、B 、C 、D 的回复都不正确，不满足题意；若B 做了听课笔记，
则A 、B 的回复都不正确，C 、D 的回复都正确，满足题意；若C 做了听课笔记，则A 、B 、C 的回复都正确，D 的回复不正确，不满足题意；若D 做了听课笔记，则A 的回复正确，B 、C 、D 的回复都不正确，不满足题意．故做了听课笔记的学生是B ． 15．2，3 【解析】因为(4)(0)f f -=，所以
4022
b
-+=-，解得4b =，又(2)2f -=-，所以2(2)4(2)c -+⨯-+=2-，解得2c =，所以242(0)
()ln(1)2(0)
x x x f x x x ⎧++≤=⎨
++>⎩，作出函数()f x 的大致图象，如下图所示．当0x ≤时，令242x x x ++=，解得1x =-或2x =-，此时函数()f x 的图象与直线y x =有2个交点；当0x >时，令()ln(1)2h x x x =++-，则1()1011
x h'x x x =
-=-<++，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因为(1)1ln 20h =+>，(9)7ln100h =-+<，所以函数()h x 在(0,)+∞上有且仅有1个零点，即当0x >时，函
数()f x 的图象与直线y x =有1个交点，所以关于x 的方程()f x x =有3个实数根．
16．（本小题满分14分）
【解析】（1）因为*1()n n S a n +=∈N ，所以当1n =时，11121S a a +==，解得112
a =， 当2n ≥时，1111(1)n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以11
2
n n a a -=，（2分）
所以数列{}n a 是首项为
12，公比为12的等比数列，所以1111
()222
n n n a -=⨯=．（4分） 因为m n m n b b b +=+，其中*m ∈N ，*n ∈N ，所以令1m =，可得11n n b b b +=+， 又11b =，所以11n n b b +=+，即11n n b b +-=，（5分）
所以数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(1)1n b n n =+-⨯=．（7分） （2）由（1）可知，12n n a =，n b n =，所以2n n n
n
n
c a b =⋅=，（9分） 所以1211112222n n T n =⨯
+⨯++⨯L ，2311111
122222
n n T n +=⨯+⨯++⨯L ，（11分） 以上两式相减，可得1211111111112
1122222222
n n n n n n n T n n ++++=+++-⨯=--⨯=-L ，（13分）
所以2
22n n
n T +=-
．（14分） 17．（本小题满分14分）
【解析】（1）如图，设AB 的中点为D ，连接CD ，1DA ， 因为AC BC =，D 为AB 的中点，所以AB CD ⊥，（2分）
因为1AB AA =，160BAA ∠=︒，所以1ABA △为等边三角形，所以1AB DA ⊥，（4分） 因为1CD DA D =I ，所以AB ⊥平面1CDA ，因为1A C ⊂平面1CDA ，所以1AC AB ⊥，（6分） 又11AB A B ∥，所以1
11AC A B ⊥．（7分）
（2）由（1）知AB CD ⊥，1AB DA ⊥，
因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC I 平面11ABB A AB =，
所以CD ⊥平面11AA B B ，所以1CD DA ⊥，所以以D 为原点，DA ，1DA ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，（9分） 设2AB =，因为AB BC =，所以12AB BC AC AA ====，
所以(0,0,0)D
，1A
，C ，(1,0,0)B -
，1(B -，
所以1
(0,AC =u u u u r
，(1,0,CB =-u u u r
，1(CB =-u u u r ，（10分） 设平面1A BC 的法向量为111(,,)x y z =n ，则100A C CB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩==u u u u r
u u u r n n
，即11110
x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11z =
，可得1x =，11y =，所以平面1A BC
的一个法向量为(=n ，（12分） 设直线1CB 与平面1A BC 所成的角为θ
，则11
1|||sin |cos ,||||CB CB CB θ⋅=〈〉===⋅u u u r
u u u r u u u r n n n ， 所以直线1CB 与平面1A BC
14分） 18．（本小题满分14分）
【解析】（1）设甲恰好击中两次8环、一次9环、一次10环为事件A ，
则221
42()C 07C 02010.1176P A ...=⨯⨯⨯⨯=．（4分）
（2）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件B ，
则事件B 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，（6分） 则()0206010601020.2P B ......=⨯+⨯+⨯=．（9分） （3）由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，
由（2）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
所以0033(0)C 0.2(102)0.512P X .==⨯⨯-=，12
3(1)C 02(102)0.384P X ..==⨯⨯-=，
223(2)C 02(102)0096P X ...==⨯⨯-=，330
3(3)C 02(102)0008P X ...==⨯⨯-=，（12分）
故X 的分布列为
所以()1038420096300080.6E X ...=⨯+⨯+⨯=（或()30.20.6E X =⨯=）．（14分） 19．（本小题满分15分）
【解析】（1）当1a =时，1()ln f x x x =+
，其定义域为(0,)+∞，则211
()f x x x
'=-，（2分） 所以(1)1f =，(1)0f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =．（4分） （2）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2211
()(0)a ax f x x x x x
-'=
-=>， 当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；（6分） 当0a >时，令()0f x '<，可得10x a <<
；令()0f x '>，可得1
x a
>， 所以函数()f x 在1(0,)a
上单调递减，在1
[,)a +∞上单调递增．（8分）
综上，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在1(0,)a
上单调递减，在1
[,)
a +∞上单调递增．（9分）
（3）当0a <时，由（2）可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 因为1111(e )ln(e )e 1e 0a
a
a
a
f a --=+=-+<，且1
e 1a ->， 所以1e {|01}a x x -∉<<，不符合题意；（10分）
当0a >时，由（2）可知函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1
[,)a +∞上单调递增，
所以函数()f x 的最小值为1
()ln (1ln )f a a a a a a =-+=-，（11分）
若1
()0f a
>，即0e a <<，则{|()0}x f x ≤=∅，不符合题意；
若1()0f a =，即e a =，则1
{|()0}{}{|01}e x f x x x ≤=⊆<<，符合题意；（12分）
若1()0f a <，即e a >，则1
01a
<<，
因为(1)10f =>，函数()f x 在1
(,)a
+∞上单调递增，所以当1x ≥时，()1f x ≥，
又函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{|()0}(0,1)x f x ≤⊆，符合题意．（14分） 综上，可得e a ≥，故实数a 的取值范围为[e,)+∞．（15分）
20．（本小题满分14分）
【解析】（1
）因为2OP OA =u u u r u u u r u u r
，所以0000(,)2(,0)(0,)2)x y x y x ==，
所以02x x =
，0y =
，所以001,2x x y y =
=，（3分） 因为||1AB =，所以220
1x y +=
，所以22
1())12x y +=，即22143x y +
=， 所以动点P 的轨迹C 的标准方程为22
143
x y +
=．（6分） （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，
将y kx m =+代入22
143
x y +
=，消去y 可得222(43)84120k x kmx m +++-=， 因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，
所以2221(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+-=，即2243m k =+．（8分） 将y kx m =+代入227x y +=，消去y 可得222(1)270k x kmx m +++-=，
所以2222(2)4(1)(7)0km k m ∆=-+->，即2277m k <+，所以224377k k +<+，即2
43k >-．（9分）
设111222(,),(,)P x y P x y ，则12221km x x k -+=
+，21227
1
m x x k -=+， 设直线12,OP OP 的斜率分别为12,k k ，
则22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===22
2222222272711771
m km
k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+，
将2
2
43m k =+代入上式，可得2221222
3437333
47444
k k k k k k k +--+===---+．（11分） 当直线l 的斜率不存在时，由题可知直线l 的方程为2x =±， 当直线l 的方程为2x =时，假设点1P 位于第一象限，
则12(2,P P
，所以1234
k k =
=-，（13分） 同理可得，当直线l 的方程为2x =-时，123
4
k k =-．
综上，可得1234k k =-，所以直线1OP 与直线2OP 的斜率之积为34
-
．（14分） 21．（本小题满分14分）
【解析】（1）由2680x x -+=，可得(2)(4)0x x --=， 解得2x =或4x =，所以{2,4}A =，（2分）
当2x =时，22log log 21x ==，当4x =时，22log log 42x ==， 所以集合A 的“对随集”{1,2}B =．（4分） （2）由
201log 3x x ≥-+，可得201log 3
x
x ≤--，
解得20log 6x ≤<，所以2{|0log 6}P x x =≤<，（6分） 令220log log 6x ≤<，解得16x ≤<，
因为集合M 的“对随集”为集合P ，所以{|16}M x x =≤<．（8分）
（3）由（2）可知{|16}M x x =≤<，则集合M 中的正整数元素为1，2，3，4，5， 则{1,2,3,4,5}a ∈，{1,2,3,4,5}b ∈，且a b ≠．（9分）
因为关于x 的方程2
240x ax b ++=有两个不相等的实数根，所以2
4160a b ∆=->，即2
4
a
b <，
当1a =时，不存在{1,2,3,4,5}b ∈，使得2
4a b <，且a b ≠；
当2a =时，不存在{1,2,3,4,5}b ∈，使得2
4
a b <，且a b ≠；
当3a =时，1b =，2； 当4a =时，1b =，2，3；
当5a =时，1b =，2，3，4，（12分）
所以{(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}N =，
因为集合N 中共有9个元素，所以集合N 的子集个数为92512=．（14分）。