【与名师对话】高考数学总复习 难点题型突破 分类与整合的思想方法探析课件 文 新人教A版
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x
为(－∞，－0]，单调递增区间为[0，＋∞)．
1 2 (2)f(x)≥2x ＋ax＋b⇔h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0，得 h′(x) ＝ex－(a＋1)． ①当 a＋1≤0 时，h′(x)>0⇒y＝h(x)在 x∈R 上单调递增， 当 x→－∞时，h(x)→－∞，这与 h(x)≥0 矛盾． ②当 a＋1>0 时，h′(x)>0⇔x>ln(a＋1)，h′(x)<0⇔x<ln(a ＋1)． 所以当 x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－ b≥0.
(4)对于一些特殊题目如排列组合的计数问题、 概率问题等 需要按题目的特殊要求，分成若干情况进行讨论． 其次是如何分类，即要会科学地分类，分类标准要统一， 做到不重不漏． 再次是分类之后如何展开解题思维过程． 最后是如何把分类解答的结果进行整合．
2．典型试题选讲
若不等式[(1－a)n－a]lg a<0 对于任意正整数 n 恒成立， 则 实数 a 的取值范围是 1 1 A．(0， )∪(1，＋∞) B．(0， ) 2 2 1 C．( ，1) 2 D．(1，＋∞) ( )
【解】
－
(1)因为 f(x)＝ f′(1)e
x－1
1 2 － f(0)x＋ ＋x. 令 x＝1，得 f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即 f(0)＝1. 由 f(x)＝f′(1)e ＝e. 1 2 所以 f(x)＝e －x＋2x .
x x－1
(2)有些运算法则和定理、 公式是分类给出的， 例如等比数 列的求和公式就分为 q＝1 和 q≠1 两种情况， 对数函数的单调 性要分 a>1,0<a<1 两种情况进行讨论， 求一元二次不等式的解 又分为 a>0，a<0 及 Δ>0，Δ＝0，Δ<0 共六种情况，直线方程 分为斜率存在与不存在等； (3)图形的相对位置也会引起分类， 例如两点在同一平面的 同侧、异侧，二次函数图象的对称轴相对于定义域的不同位置 等；
1 2 －x＋2x ，得 f(0)＝f′(1)e－1＝1，即 f′(1)
因为 g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x， 所以 g′(x)＝ex＋1>0，即 y＝g(x)在 x∈R 上单调递增， 所以 f′(x)>0＝f′(0)⇔x>0，f′(x)<0＝f′(0)⇔x<0. 1 2 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝e －x＋ x ，其单调递减区间 2
综上，可知当 a＝1 时，解集为{x|x<1}；当 a>1 时，解集 1 1 为{x|－ <x<1}；当 0<a<1 时，解集为{x|x> 或 x<1}． a－1 1－a
对含参数的不等式的求解往往需要进行分类讨论． 关于解 不等式的题目，即使不是年年都出现，我们也应多加关注．
已知直角坐标平面上的点 Q(2,0)和圆 O：x2＋y2＝1，动点 M 到圆 O 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)．求动点 M 的 轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
2 2λ2 2 2 1＋3λ 当 λ≠1 时， 方程化为(x－ 2 ) ＋y ＝ 2 它表示以 2， λ －1 λ －1
1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)为圆心，以 2 为半径的圆． λ －1 |λ －1|
由(x2＋y2)的系数(λ2－1)是否为零引起讨论．
(2012 年新课标全国)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f′(1)ex－1－ 1 2 f(0)x＋2x . (1)求 f(x)的解析式及单调区间； 1 2 (2)若 f(x)≥ x ＋ax＋b，求(a＋1)b 的最大值． 2
【解析】 当 a>1 时，易知[(1－a)n－a]lg a<0 是恒成立 a 的； 当 0<a<1 时， lg a<0， 所以(1－a)n－a>0 恒成立， 即 n> 1－a a 1 恒成立，只需 1> 恒成立，可得 0<a< .故选 A. 2 1－a
【答案】 A
恒成立问题是历年高考的热门考点， 应当引起考生的足够 重视．另外，分类解决问题也是经常用到的技巧．请思考：为 什么要分类？不分行吗？
(对应学生用书 P73) 分类与整合的思想方法探析 1．思想方法概述 在解题时， 我们常常遇到这样一种情况， 解到某一步之后， 不能再用传统的方法继续进行了， 因为这时被研究的问题包含 了多种情况，这就需要在条件所给出的总区域内，正确划分若 干个子区域，然后分别在这些子区域内进行解题，这里体现的 是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解题方法．
ax 设 a>0，求关于 x 的不等式 <1 的解集． x－1
【解】 ax－x＋1 ax <1 ，即 <0 ，等价于[(a －1)x＋ 1](x x－1 x－1
－1)<0.分类讨论： ①当 a＝1 时，得 x<1； 1 ②当 a>1 时，－ <x<1； a－1 1 ③当 0<a<1 时，x> 或 x<1. 1－a
这种方法的关键在于“分”，但分类解决问题之后，还必 须把它们综合在一起，这种“合—分—合”解决问题的过程， 就是分类与整合的思想方法． 分类与整合的思想是以概念的划分、 集合的分类为基础的 思想方法，对分类与整合的思想的考查，有以下几个方面．
首先是考查考生有没有分类意识，遇到应该分类的情况， 是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如： (1)有些概念就是分类定义的， 如绝对值的概念， 又如整数 分为奇数、偶数，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形等；
【解】 设直线 MN 切圆 O 于 N， 则满足题中条件的所有 动点 M 组成的集合 P＝{M ||MN|＝λ |MQ|}(λ>0)．因为圆 O 的半 径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.
设点 M 的坐标为(x，y)，则 x2＋y2－1＝λ x－22＋y2， 整理，得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. 5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线与 5 x 轴垂直，交 x 轴于点( ，0)； 4
为(－∞，－0]，单调递增区间为[0，＋∞)．
1 2 (2)f(x)≥2x ＋ax＋b⇔h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0，得 h′(x) ＝ex－(a＋1)． ①当 a＋1≤0 时，h′(x)>0⇒y＝h(x)在 x∈R 上单调递增， 当 x→－∞时，h(x)→－∞，这与 h(x)≥0 矛盾． ②当 a＋1>0 时，h′(x)>0⇔x>ln(a＋1)，h′(x)<0⇔x<ln(a ＋1)． 所以当 x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－ b≥0.
(4)对于一些特殊题目如排列组合的计数问题、 概率问题等 需要按题目的特殊要求，分成若干情况进行讨论． 其次是如何分类，即要会科学地分类，分类标准要统一， 做到不重不漏． 再次是分类之后如何展开解题思维过程． 最后是如何把分类解答的结果进行整合．
2．典型试题选讲
若不等式[(1－a)n－a]lg a<0 对于任意正整数 n 恒成立， 则 实数 a 的取值范围是 1 1 A．(0， )∪(1，＋∞) B．(0， ) 2 2 1 C．( ，1) 2 D．(1，＋∞) ( )
【解】
－
(1)因为 f(x)＝ f′(1)e
x－1
1 2 － f(0)x＋ ＋x. 令 x＝1，得 f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即 f(0)＝1. 由 f(x)＝f′(1)e ＝e. 1 2 所以 f(x)＝e －x＋2x .
x x－1
(2)有些运算法则和定理、 公式是分类给出的， 例如等比数 列的求和公式就分为 q＝1 和 q≠1 两种情况， 对数函数的单调 性要分 a>1,0<a<1 两种情况进行讨论， 求一元二次不等式的解 又分为 a>0，a<0 及 Δ>0，Δ＝0，Δ<0 共六种情况，直线方程 分为斜率存在与不存在等； (3)图形的相对位置也会引起分类， 例如两点在同一平面的 同侧、异侧，二次函数图象的对称轴相对于定义域的不同位置 等；
1 2 －x＋2x ，得 f(0)＝f′(1)e－1＝1，即 f′(1)
因为 g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x， 所以 g′(x)＝ex＋1>0，即 y＝g(x)在 x∈R 上单调递增， 所以 f′(x)>0＝f′(0)⇔x>0，f′(x)<0＝f′(0)⇔x<0. 1 2 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝e －x＋ x ，其单调递减区间 2
综上，可知当 a＝1 时，解集为{x|x<1}；当 a>1 时，解集 1 1 为{x|－ <x<1}；当 0<a<1 时，解集为{x|x> 或 x<1}． a－1 1－a
对含参数的不等式的求解往往需要进行分类讨论． 关于解 不等式的题目，即使不是年年都出现，我们也应多加关注．
已知直角坐标平面上的点 Q(2,0)和圆 O：x2＋y2＝1，动点 M 到圆 O 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)．求动点 M 的 轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
2 2λ2 2 2 1＋3λ 当 λ≠1 时， 方程化为(x－ 2 ) ＋y ＝ 2 它表示以 2， λ －1 λ －1
1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)为圆心，以 2 为半径的圆． λ －1 |λ －1|
由(x2＋y2)的系数(λ2－1)是否为零引起讨论．
(2012 年新课标全国)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f′(1)ex－1－ 1 2 f(0)x＋2x . (1)求 f(x)的解析式及单调区间； 1 2 (2)若 f(x)≥ x ＋ax＋b，求(a＋1)b 的最大值． 2
【解析】 当 a>1 时，易知[(1－a)n－a]lg a<0 是恒成立 a 的； 当 0<a<1 时， lg a<0， 所以(1－a)n－a>0 恒成立， 即 n> 1－a a 1 恒成立，只需 1> 恒成立，可得 0<a< .故选 A. 2 1－a
【答案】 A
恒成立问题是历年高考的热门考点， 应当引起考生的足够 重视．另外，分类解决问题也是经常用到的技巧．请思考：为 什么要分类？不分行吗？
(对应学生用书 P73) 分类与整合的思想方法探析 1．思想方法概述 在解题时， 我们常常遇到这样一种情况， 解到某一步之后， 不能再用传统的方法继续进行了， 因为这时被研究的问题包含 了多种情况，这就需要在条件所给出的总区域内，正确划分若 干个子区域，然后分别在这些子区域内进行解题，这里体现的 是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解题方法．
ax 设 a>0，求关于 x 的不等式 <1 的解集． x－1
【解】 ax－x＋1 ax <1 ，即 <0 ，等价于[(a －1)x＋ 1](x x－1 x－1
－1)<0.分类讨论： ①当 a＝1 时，得 x<1； 1 ②当 a>1 时，－ <x<1； a－1 1 ③当 0<a<1 时，x> 或 x<1. 1－a
这种方法的关键在于“分”，但分类解决问题之后，还必 须把它们综合在一起，这种“合—分—合”解决问题的过程， 就是分类与整合的思想方法． 分类与整合的思想是以概念的划分、 集合的分类为基础的 思想方法，对分类与整合的思想的考查，有以下几个方面．
首先是考查考生有没有分类意识，遇到应该分类的情况， 是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如： (1)有些概念就是分类定义的， 如绝对值的概念， 又如整数 分为奇数、偶数，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形等；
【解】 设直线 MN 切圆 O 于 N， 则满足题中条件的所有 动点 M 组成的集合 P＝{M ||MN|＝λ |MQ|}(λ>0)．因为圆 O 的半 径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.
设点 M 的坐标为(x，y)，则 x2＋y2－1＝λ x－22＋y2， 整理，得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. 5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线与 5 x 轴垂直，交 x 轴于点( ，0)； 4