最新版精选2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题完整考题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是（2013年高考浙江卷（文））
2．设球的半径为时间
t的函数(
)
R t。

若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
9.
二、填空题
3．已知定义在R上的函数()
f x，其导函数为()
'1
f x x
=+，则函数()
f x的单调增区间为()
1,
-+∞
4．若存在实常数k和b，使函数()
f x和()
g x对其定义域上的任意实数x恒有：()
f x kx b
≥+和()
g x kx b
≤+，则称直线:l y kx b
=+为()
f x和()
g x的“隔离直线”.已知2
(),()2ln
h x x x e x
ϕ
==，则可推知(),()
h x x
ϕ的“隔离直线”方程为▲ .
5．设()ln,()()()
f x x
g x f x f x
'
==+.则()
g x的单调减区间为▲ .
6．函数)
1
lg(
)
3
lg(
)
(x
x
x
f-
+
+
=的单调增区间为____________。

7．函数()(1)sinπ1(13)
f x x x x
=---<<的所有零点之和为▲．
8．已知函数32
()(6)1
f x x ax a x
=++++有三个单调区间，则实数a的取值范围是______________ 9．设函数223
()cos4sin3()
2
x
f x x t t t x
=++-∈R，其中||1
t<，将()
f x的最小值记为(),()
g t g t
则函数的单调递增区间为 ______ .
D
10．已知曲线 x
e y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为
11．直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3
相切于点)3,1(A ，则b 的值为 .
12．若函数2()1x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =
【解析】f ’(x)＝22
2(1)()
(1)x x x a x +-++
f ’(1)＝34
a
-＝0 ⇒ a ＝3
13．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________________0<b <1 三、解答题
14．设函数)0()(2
2
3
>+-+=a m x a ax x x f ．
（Ⅰ）若1=a 时函数)(x f 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求m 的取值范围． 关键字：多项式；零点个数；极值点个数；有解问题；不等式；两变量；恒成立问题；
15．一变压器的铁芯截面为正十字形，为保证所需的磁通量，要求十字形应具有45 m 2的面积。

问应如何设计十字形的宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省。

16．设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调
区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数()sin cos 1f x x x x =-++求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
,,,()1().
4
3()0()422
()x x x x x x x x π
πππ
π=++=+===解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2,知f 令f ，从面sin ，或，
当变化时，f ，f(x)变化情况如下表：
322
3332
222
ππππππ
πππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（
，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=
【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的
极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.
17．已知0,1a a >≠且函数()log (1)x
a f x a =-。

（I ）求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的单调性；
（II ）若()
*
,lim ;f n n
n a n N a a
→+∞∈+求 （III ）当a e =（e 为自然对数的底数）时，设()
2()(1)(1)f x h x e x m =--+，若函数()h x 的极值存在，
求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

18．设函数2
2
()21(,0)f x tx t x t t R t =++-∈> （1）求()f x 的最小值()s t ；
（2）若()2s t t m <-+对(0,2)t ∈时恒成立，求实数m 的取值范围
19．设函数f (x )＝a
3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a
3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c
∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为
1,4.
(1)当a ＝3时，由(*)式得，
解得b ＝－3，c ＝12.
又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .
(2)由于a >0，所以“f (x )＝a
3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0
在(－∞，＋∞)内恒成立” 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)
解
得a ∈[1,9]，
即a 的取值范围[1,9]．
20．已知函数()ln ,()(0)a
f x x
g x a x
==>，设()()()F x f x g x =+ （1）求()F x 的单调区间；
（2）若以()((0,3]y F x x =∈）图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1
2
k ≤恒成立，求实数a 的最小值；
（3）若对所有的[,)x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围。

21．已知函数f (x )=ln 2
(1+x)-2
1x x
+. (I) 求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ）若不等式1(1)
a a
e n
++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.
求α的最大值. （湖南卷21）
22．某企业的两个生产车间A ，B 和一栋办公楼C 位置正好落在一个边长为1km 的三角形的三个顶点上，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工．为便于员工用餐，拟在公路AC 上找一点D ，在D 处建一个食堂，并修一条公路BD ，使得两车间的所有员工均在此食堂用餐．设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ．
（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？
23．已知函数f (x )＝ax ＋b
x e x ，a ，b ∈R ，且a ＞0． （1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．
① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；
② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求b
a 的取值范围．(本小题满分16分) 解：（1）当a ＝2，
b ＝1时，f (x )＝(2＋1
x )e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x
． …………………………………………2分 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1
2，列表
由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －
1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分 （2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －b
x －2a )e x ，
当a ＝1时，g (x )＝(x －b
x －2)e x ．
因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，
所以b ≤x 2－2x －x
e x 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分 记h (x )＝x 2
－2x －x
e x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x
． 当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －
1．
所以b 的最大值为－1－e －
1． …………………………………………10分
解法二：因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －b
x －2a )e x ， 当a ＝1时，g (x )＝(x －b
x －2)e x ．
因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，
所以g (2)＝－b
2e 2＞0，因此b ＜0． …………………………………………6分 g ′(x )＝(1＋b x 2)e x ＋(x －b x －2)e x
＝(x －1)(x 2－b )e x x 2
． 因为b ＜0，所以：当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以g (x )min ＝g (1)＝(－1－b )e
－1
…………………………………………8分
因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以(－1－b )e －
1≥1，解得b ≤－1－e －
1
因此b 的最大值为－1－e －
1． …………………………………………10分
②解法一：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －b
x －a )e x ． 由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －b
x －a )e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，
等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x 2
2x －1
．
设u (x )＝2x 3－3x 2
2x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2
．
因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1， 所以b a ＞－1，即b
a 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分 解法二：因为g (x )＝(ax －
b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －b
x －a )e x ．
由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －b
x －a )e x ＝0， 整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立，
等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 设u (x )＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b (x ≥1) u ′(x )＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax (x －1)－2b ≥-2b 当b ≤0时，u ′(x ) ≥0
此时u (x )在[1，＋∞)上单调递增，因此u (x )≥u (1)＝－a －b 因为存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立
所以只要－a －b ＜0即可，此时－1＜b
a ≤0 …………………………………………13分 当
b ＞0时，
令x 0＝3a ＋9a 2＋16ab 4a ＞3a ＋9a 24a ＝3
2＞1，得u (x 0)＝b ＞0， 又u (1)＝－a －b ＜0
于是u (x )＝0，在(1，x 0)上必有零点
即存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立，此时b
a ＞0 …………………………………………15分 综上有b
a 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分 24．已知函数()ln f x x =，若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的 一个“承托函数”． （1）若函数()ln t
g x x x
=
-（t R ∈）为函数()f x 的一个“承托函数”，求实数t 的取值范围； （2）设函数()()12
x F x f x e ex
=-
+，试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点 个数；若不存在，请说明理由.
25．某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为R (米)的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA ，EB ，EC ，ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是
R (米)、圆弧的圆心角都是θ(弧度)；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h (米)，且h R >；
灯脚1FA ，1FB ，1FC ，1FD 是正四棱锥1111F A B C D -的四条侧棱，正方形1111A B C D 的外接圆半径为
R (米)，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ(弧度)．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a (元)，灯托造
价是每米
3
a
(元)，其中R ，h ，a 都为常数．设该灯架的总造价为y (元) ．
(1)求y 关于θ的函数关系式；
(2)当θ取何值时，y 取得最小值？(本小题满分16分)
26．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，
记
()
()()n n f x g x n x
=
∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，
则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，
总有
[]()0
n g x '≥
， 则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．
（1）若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由．
1
27．题目文件丢失！
28．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”． 已知2
()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)． (1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；
(2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
29．已知函数()32,1,
ln , 1.
x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩的图象过点(1,2)-，且在点(1,(1))f --处的切线与直线
510x y -+=垂直．
（1）求实数,b c 的值；
（2）求()f x 在[]1,e -(e 为自然对数的底数)上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. （本小题满分16分）
30．设函数2()()x f x x ax a e -=++，其中x R ∈，a 是实常数，e 是自然对数的底数． （1）确定a 的值，使()f x 的极小值为0；
（2）证明：当且仅当3a =时，()f x 的极大值为3；
（3）讨论关于x 的方程'2()()2(0)x f x f x xe x x --+=+≠的实数根的个数．。