2021届高考数学一轮名校内部优题自主考试20(1)

2021届高考数学一轮名校内部优题自主考试20
一．单项选择题。

（本部份共5道选择题）
1．把球的表面积扩大到原先的2倍，那么体积扩大到原先的 ( )．
A ．2倍
B ．2倍 C.倍 D.23倍
解析 由题意知球的半径扩大到原先的倍，那么体积V ＝34πR 3，知体积扩大到原先的2倍．
答案 B
2．以下四个命题中正确的选项是( )．
A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B ．假设{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，那么{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }组成空间向量的另一组基底
C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是→AB ·→AC ＝0
D ．任何三个不共线的向量都可组成空间向量的一组基底
解析 假设a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，那么a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，那么a ＝1－μλ－1b ＋1－μλ＋μ
c ，那么a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾．
答案 B
3．二次函数f (x )＝x 2－ax ＋4，假设f (x ＋1)是偶函数，那么实数a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 解析：由题意f (x ＋1)＝(x ＋1)2－a (x ＋1)＋4＝x 2＋(2－a )x ＋5－a 为偶函数，
因此2－a ＝0，a ＝2.
答案：D
4．设双曲线a2x2－9y2＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值为( )．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析 双曲线a2x2－9y2＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.
答案 C
5．已知数列{a n }知足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N *)，且2n an ＋λ为等差数列，那么λ
的值是________．
解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n －1，可得2n ＋1an ＋1＝2n an ＋21－2n ＋11，那么2n ＋1an ＋1＋λ－2n an ＋λ＝2n ＋1an ＋1－
2n an －2n ＋1λ＝21－2n ＋11－2n ＋1λ＝21－2n ＋1λ＋1，当λ的值是－1时，数列2n an －1是公差为21的等差数列．
答案 －1
二．填空题。

（本部份共2道填空题）
1．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值为________．
解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝2|3|＝23，∴AB 边上的高的最小值为23－
1.
∴S min ＝21×(2)×－13＝3－.
答案 3－
2．已知各项不为0的等差数列{a n }，知足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7
＝a 7，那么b 6b 8＝________.
解析 由题意可知，b 6b 8＝b 72＝a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，
∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.
答案 16
三．解答题。

（本部份共1道解答题）
设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，那么由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.
因此{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)
(2)S n ＝1－22(1－2n ＋n ×1＋2n(n －1×2＝2n ＋1＋n 2－2.。