全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题答案
班级__________ 姓名__________
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知数列{}n a 的通项公式2
2
45
n a n n =
-+，则{}n a 的最大项是________ A 、1a B 、2a C 、3a D 、4a 解：分母先减后增，以2n =为最小值点，所以2a 最大，故选B ． 2．函数3log 3
x
y =的图像是________
A B C D
解：变式：3log , 13
1
, 01x
x x y x x
≥⎧⎪
==⎨<<⎪⎩，故选A ． 3．已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得PO F ∆是直角三角
形，则这样的点P 共有________
A 、0个
B 、2个
C 、4个
D 、6个 解：只须考虑直角的可能情形：
由抛物线的光学性质：平行与抛物线对称轴的光线射到抛物线 上，反射后必经过抛物线的焦点；这样反射点的切线与法线垂 直；因此，旋转可知：OPF ∠不可能是直角；而POF ∠显然不 可能是直角，所以只有OFP ∠可能是直角；故选B ．
4．设()f x 是定义在R 上单调减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>，则________
A 、123()()()0f x f x f x ++>
B 、123()()()0f x f x f x ++<
C 、123()()()0f x f x f x ++=
D 、123()()()f x f x f x +>
解：由12121212120()()()()()()0x x x x f x f x f x f x f x f x +>⇒>-⇒<-⇒<-⇒+<；
同理可得：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<； 三式相加可得：123()()()0f x f x f x ++<；故选B ．
5．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线都成等角的直线一共
有________
A 、0条
B 、1条
C 、4条
D 、无数条 解：由于12条棱是由三组棱构成，每组4条互相平行；
而这三组恰可由过一顶点P 的3条棱代表；过这个 顶点P 的3条棱，两两互相垂直；又空间一点可以 通过平移，看成过这个顶点P 的情形；考虑正方体 如右图，绿色正方体是题目中的长方体，其余7个 正方体是辅助的（因为正方体才会有等角）；与中间 3条红棱成等角的直线共有4条，即过点P 的大正方 体的4条体对角线；故选C ． 6．在ABC ∆中，
1
tan 2
A =
，cos B =，若ABC ∆
的最长边为1，则最短边的长为________
A
B
C
D
解：构造适合的图形，取5AB k =，点D 在AB 上，CD AB ⊥；
且有2AD k =，3BD k =，CD k =
；
于是AB 最长，AC 最短，AC =；而51
AB k ==；
因此，15AC ==D ． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．集合{3,,010}A x x n n N n ==∈<<，{5,,06}B y y m m N m ==∈≤≤，则集合A
B 的所有元素
之和为________
解：{3,,010}{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}A x x n n N n ==∈<<=；
{5,,06}{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}B y y m m N m ==∈≤≤=；
{ 15 }A
B =；
利用容斥原理：135********A B A B A B =+-=+-=∑∑∑
∑． 8．设cos 2θ=
，则44cos sin θθ+的值是________ 解：变式442222222211111
cos sin (cos sin )2sin cos cos 2sin 2cos 222218
θθθθθθθθθ+=-+=+=+=．
1
A 9．23(3)x x -的展开式中，5x 的系数为________
解：展开：23031222223233
333(3)(3)(3)(3)x x C x C x x C x x C x -=+-+-+-； 易知，5x 的系数是223(3)27C -=．
10．已知0
30330y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+-≤⎩
，则22x y +的最大值是________
解：22x y +的几何意义是可行域中的点(,)x y 到原点的距离的平方；
画图便知：22x y +的最大值是9．
11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比1
2
q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，
则当n =________时，()f n 有最大值． 解：(1)
12(1)212
1
1()2020()2
n n n n n
n f n a a a a q -+++-===⨯-； 易知：当n 或1n -是4的倍数时()f n 是正数，才可能是最大的；
考察：(1)1
2
(1)2
1
2020()(1)122020()()21
2020()2
n n
n n n n n f n f n ++-⨯-+==⨯-⨯-，可知：取12n =，适合； 故当12n =时，()f n 有最大值．
12．长方体1111ABCD A B C D -中，已知14AB =，13AD =，则对角线1AC 的取值范围是________ 解：如图，设AB x =，AD y =，1AA z =；
则由已知可得：222416x z +==，22239y z +==； 于是222222116925AC x y z z z =++=+-=-； 而由图形可知：03z <<；
所以22125(16, 25)AC z =-∈，即1(4, 5)AC ∈．
三、解答题（本题满分60分，第13题、第14题各12分，第15题16分，第16题20分）
13．设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪
=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，21a B x
x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．
解：{13}A x x =-≤<，()(){30}B x x a x a =--<；
当0a >时，{03}B x a x a =<<<，由A B ≠∅，得：03a <<； 当0a <时，{30}B x a x a =<<<，由A
B ≠∅，得：1a >-；
D E C
B A
当0a =时，2{0}B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．
综上所述，()
()1,00,3a ∈-．
14．椭圆22
194
x y +=的右焦点为F ，1224,,
,P P P 为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中1P
是椭圆的右顶点，并且122334241PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠==∠．若这24个点到右准线的距离
的倒数和为S ，求2
S 的值．
解：在椭圆中，3a =，
2b =，故c
= 0)F ，e =
设i FP 与x 轴正方向的夹角为1θ，i d 为点i P 到右准线的距离； 则()2
cos 1i i a d e c c
θ+=-．即()21cos 1i i c e d b θ=+；
同理：
()()1222
12
1cos 1cos 1i i i c c
e d b b θθ+
+=
+=-+； 所以：212112
i i c d d b ++==；从而24
11i i
d ==∑2180S =．
15．ABC ∆中，AB AC <，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，且BAD EAC ∠=∠；
证明BAC ∠是直角．
证明：如图，取AB 中点I ，连ID IE 、；
则IE 为中位线，所以//IE AC ，且IEA EAC ∠=∠； 而BAD EAC ∠=∠，
所以IEA BAD ∠=∠．…………① 在直角ADB ∆中，I 为斜边中点， 所以ID IA =，
从而BAD IDA ∠=∠．…………② 联合①、②得A I D E 、、、四点共圆；
∴BAD IEB C ∠=∠=∠，∴90B C ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒． 16．设p 是质数，且271p +的不同正因数的个数不超过10个．求p ． 解：当2p =时，22717535p +==⨯，有(11)(21)6++=个正因数；
当3p =时，24718025p +==⨯，有(41)(11)10++=个正因数； 所以2p =、3p =满足条件；
当3p >时，271(1)(1)72p p p +=-++；
其中p 为奇质数，所以(1)p -与(1)p +是相邻的两个偶数，
从而必然有一个2的倍数和4个倍数，还必然有一个3的倍数， 从而(1)(1)p p -+是24的倍数；
设23712423p m m +=⨯=⨯⨯，其中4m ≥；
若m 中有不同于2、3的质因数，则271p +的正因数个数()()()31111110≥+++>； 若m 中含有质因数3，则271p +的正因数个数()()312110≥++>； 若m 中仅有质因数2，则271p +的正因数个数()()511110≥++>； 所以3p >不满足条件；
综上所述，所求得的质数p 是2或3．。