2020年河北省中考数学模拟试卷(五)(附解析)

2020年河北省中考数学模拟试卷（五）
一．选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，工人师傅安装门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形的稳定性
2．新冠状病毒疫情发生以来，截止2月5日全国红十字会共接收社会捐赠款物约6.5993×109元．数据6.5993×109可以表示为（）
A．0.65993亿B．6.5993亿C．65.993亿D．659.93亿
3．下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）2等于（）
A．m2﹣n B．m2+n C．m2+4n D．m2﹣4n
5．一个几何体由四个棱长为1正方体搭成，从正面和从左面看到的形状如图所示．则从上面看这个几何体的形状（其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数），不可能的是（）
A．B．C．D．
6．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）
A．AP⊥BC B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP D．BP＝CP
7．已知等式3a＝b+2c，那么下列等式中不一定成立的是（）
A．3a﹣b＝2c B．4a＝a+b+2c C．a=1
3b+
2
3c D．3=
b
a
+2c a
8．如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AB边上一点，AE＝AC，EF∥BC，交AC于点F．下列结论正确的是（）
①∠ADE＝∠ADC；②△CDE是等腰三角形；③CE平分∠DEF；④AD垂直平分CE；
⑤AD＝CE．
A．①②⑤B．①②③④C．②④⑤D．①③④⑤9．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛，在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
甲乙丙丁平均数/环9.59.59.59.5
方差/环2 5.1 4.7 4.5 5.1请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．下列计算正确的是（）
A．22018•（﹣0.5）2017＝﹣2B．a3+a3＝a6
C．a5•a2＝a10D．−1
2
a2b÷(−a)2=12b
11．如图，海平面上，有一个灯塔分别位于海岛A的南偏西30°和海岛B的南偏西60°的方向上，则该灯塔的位置可能是（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
12．元旦，是公历新一年的第一天．“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春”．中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，
再减少20元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（）
A．80%x﹣20B．80%（x﹣20）C．20%x﹣20D．20%（x﹣20）13．若3×32m×33m＝321，则m的值为（）
A．2B．3C．4D．5
14．下列计算中，则正确的有（）
①
4(m+n)
4m2+8mn+4n2
=
1
m+n
；②
x+y+1
−x+y+1
=−1；③（a+b）÷（a+b）•
1
a+b
=a+b；
④−−x+1
1−x2
=−1x+1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（）
A．3B．4C．5D．7
16．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（）
A．0＜c≤3或c＝﹣1B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3D．﹣1＜c≤3且c≠0
二．填空题（本大题有3个小题，共11分，17、18小题每题4分：19小题每空1分，把答案写在题中横线上）
17．当c＝25，b＝24时，√(c+b)(c−b)=．
18．若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝．
19．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a＝；r：b＝；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是．
三．解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）已知：2A﹣B＝3a2+2ab，A＝﹣a2+2ab﹣3．
（1）求B；（用含a、b的代数式表示）
（2）比较A与B的大小．
21．（9分）两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）
20元15元10元5元奖金金额
获奖人数
商家甲超市5101520
乙超市232025（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是；
（2）请你补全统计图1；
（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？
（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？
22．（9分）用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式，拼成若干个图案：
（1）当黑色地砖有1块时，白色地砖有块，当黑色地砖有2块时，白色地砖有块；
（2）第n（n为正整数）个图案中，白色地砖有块；
（3）第几个图案中有2018块白色地砖？请说明理由．
23．（9分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求AC的长；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准
平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．
24．（10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y=−1
2x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，
B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
25．（10分）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．
①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存
在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝13，弦AD＝5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
26．（12分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点
B，与滑道y=k
x（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度
v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
答案解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，工人师傅安装门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是（）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形的稳定性
解：常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
2．新冠状病毒疫情发生以来，截止2月5日全国红十字会共接收社会捐赠款物约6.5993×109元．数据6.5993×109可以表示为（）
A．0.65993亿B．6.5993亿C．65.993亿D．659.93亿
解：6.5993×109＝65.993亿．
故选：C．
3．下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．已知a+b＝m，ab＝n，则（a﹣b）2等于（）
A．m2﹣n B．m2+n C．m2+4n D．m2﹣4n
解：（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝m2﹣4n．
故选：D．
5．一个几何体由四个棱长为1正方体搭成，从正面和从左面看到的形状如图所示．则从上面看这个几何体的形状（其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数），不可能的是（）
A．B．C．D．
解：从正面看，这个几何体有两列，从左面看这个几何体有两行，
结合正面和从左面看到的形状，可知第一行第二列不可能是2个，
6．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）
A．AP⊥BC B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP D．BP＝CP
解：如图所示：MN是AB的垂直平分线，
则AP＝BP，
故∠PBA＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠ABC．
故选：B．
7．已知等式3a＝b+2c，那么下列等式中不一定成立的是（）
A．3a﹣b＝2c B．4a＝a+b+2c C．a=1
3b+
2
3c D．3=
b
a
+2c a
解：A、原等式两边都减去b即可得3a﹣b＝2c，此选项正确；
B、原等式两边都加上a即可得4a＝a+b+2c，此选项正确；
C、原等式两边都除以3即可得a=1
3b+
2
3c，此选项正确；
D、在a≠0的前提下，两边都除以a可得3=b
a
+2c a，故此选项不一定成立；
8．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点E 是AB 边上一点，AE ＝AC ，EF ∥BC ，交AC 于点F ．下列结论正确的是（ ）
①∠ADE ＝∠ADC ；②△CDE 是等腰三角形；③CE 平分∠DEF ；④AD 垂直平分CE ；⑤AD ＝CE ．
A ．①②⑤
B ．①②③④
C ．②④⑤
D ．①③④⑤
解：①∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠EAD ＝∠CAD ， 在△AED 和△ACD 中， {AE =AC
∠EAD =∠CAD AD =AD
， ∴△AED ≌△ACD ， ∴∠ADE ＝∠ADC 故①正确；
②∵△AED ≌△ACD ， ∴ED ＝DC ，
∴△CDE 是等腰三角形； 故②正确；
③∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF，
∴∠DEC＝∠CEF，
∴CE平分∠DEF，
故③正确；
④∵DE＝DC，
∴点D在线段EC的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A在线段EC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE．
故④正确；
⑤∵AD垂直平分CE，
∴当四边形ACDE是矩形时，AD＝CE，
故⑤不正确；
故选：B．
9．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛，在选拔比赛中，
每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
甲乙丙丁平均数/环9.59.59.59.5方差/环2 5.1 4.7 4.5 5.1请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
解：∵S甲2＝5.1，S乙2＝4.7，S丙2＝4.5，S丁2＝5.1，
∴S甲2＝S2丁＞S乙2＞S2丙，
∴最合适的人选是丙．
故选：C．
10．下列计算正确的是（）
A．22018•（﹣0.5）2017＝﹣2B．a3+a3＝a6
C．a5•a2＝a10D．−1
2
a2b÷(−a)2=12b
解：A、原式＝2×（﹣2×0.5）2017＝﹣2，正确；
B、原式＝2a3，错误；
C、原式＝a7，错误；
D、原式=−1
2b，错误，
故选：A．
11．如图，海平面上，有一个灯塔分别位于海岛A的南偏西30°和海岛B的南偏西60°的方向上，则该灯塔的位置可能是（）
A．O1B．O2C．O3D．O4
解：由题意知，若灯塔位于海岛A的南偏西30°、南偏西60°的方向上，
如图所示，灯塔的位置可以是点O1，
故选：A．
12．元旦，是公历新一年的第一天．“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春”．中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（）
A．80%x﹣20B．80%（x﹣20）C．20%x﹣20D．20%（x﹣20）解：由题意可得，若某商品的原价为x元（x＞100），
则购买该商品实际付款的金额是：80%x﹣20（元），
故选：A．
13．若3×32m×33m＝321，则m的值为（）
A．2B．3C．4D．5解：已知等式整理得：35m+1＝321，
可得5m+1＝21，
解得：m＝4，
故选：C．
14．下列计算中，则正确的有（）
①
4(m+n)
4m2+8mn+4n2
=
1
m+n
；②
x+y+1
−x+y+1
=−1；③（a+b）÷（a+b）•
1
a+b
=a+b；
④−−x+1
1−x2
=−1x+1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①原式=
4(m+n)
(2m+2n)2
=1
m+n，本选项正确；
②原式不能约分，本选项错误；
③原式＝1•1
a+b =
1
a+b
，本选项错误；
④原式=x−1
(1+x)(1−x)=−x−1
(x+1)(x−1)
=−1x+1，本选项正确，
则正确的个数为2个．
故选：B．
15．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（）
A．3B．4C．5D．7
解：连接AI、BI，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=√AC2+BC2=5
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝5
故选：C．
16．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（）
A．0＜c≤3或c＝﹣1B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3D．﹣1＜c≤3且c≠0
解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，
根据题意△＝（﹣2）2+4c＝0，解得c＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，
把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，
由图象可知当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，
故选：A．
二．填空题（共3小题）
17．当c＝25，b＝24时，√(c+b)(c−b)=7．
解：当c＝25，b＝24时，
√(c+b)(c−b)=√(25+24)(25−24)=7．
故答案为：7．
18．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2＝ 0 ． 解：∵a ，b 互为相反数， ∴a +b ＝0，
∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＝0． 故答案为：0．
19．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2．T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O 相切（我们称T 1，T 2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．若设T 1，T 2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，则r ：a ＝ 1：1 ；r ：b ＝ √3：2 ；正六边形T 1，T 2的面积比S 1：S 2的值是 3：4 ．
解：连接OE 、OG ，OF ， ∵EF ＝a ，且正六边形T 1，
∴△OEF 为等边三角形，OE 为圆的半径r ， ∴a ：r ＝1：1；
由题意可知OG 为∠FOE 的平分线，即∠EOG =1
2
∠EOF ＝30°， 在Rt △OEG 中，OE ＝r ，OG ＝b ，
∵OE OG
=r b
=cos ∠EOG ＝cos30°，即r
b
=
√32
， ∵r ：a ＝1：1①；r ：b =√3：2②；
∴②：①得，a ：b =√3：2，且两个正六边形T 1，T 2相似，
∴S1：S2＝a2：b2＝3：4．
故答案为：r：a＝1：1；r：b=√3：2；S1：S2＝3：4．
三．解答题（共7小题）
20．已知：2A﹣B＝3a2+2ab，A＝﹣a2+2ab﹣3．
（1）求B；（用含a、b的代数式表示）
（2）比较A与B的大小．
解：（1）B＝2A﹣（3a2+2ab）
＝2（﹣a2+2ab﹣3）﹣3a2﹣2ab
＝﹣2a2+4ab﹣6﹣3a2﹣2ab
＝﹣5a2+2ab﹣6；
（2）A﹣B＝（﹣a2+2ab﹣3）﹣（﹣5a2+2ab﹣6）
＝﹣a2+2ab﹣3+5a2﹣2ab+6
＝4a2+3＞0，
∴A＞B．
21．两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）
奖金金额 获奖人数 20元 15元 10元 5元
商家甲超市 5 10 15 20 乙超市
2
3
20
25
（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是 10元 ，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是 5元 ； （2）请你补全统计图1；
（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？
（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？
解：（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是10+102
=10元，在乙超市摇奖的
顾客获得奖金金额的众数5元， 故答案为：10元、5元；
（2）补全图形如下：
（3）在甲超市平均获奖为20×5+15×10+10×15+5×20
50
=10（元），
在乙超市平均获奖为20×2+15×3+10×20+5×25
50
=8.2（元）；
（4）获得奖金10元的概率是
360−144−72−36
360
=
310
．
22．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式，拼成若干个图案：
（1）当黑色地砖有1块时，白色地砖有 6 块，当黑色地砖有2块时，白色地砖有 10 块；
（2）第n （n 为正整数）个图案中，白色地砖有 4n +2 块； （3）第几个图案中有2018块白色地砖？请说明理由．
解：（1）当黑色地砖有1块时，白色地砖有2+4＝6块，当黑色地砖有2块时，白色地砖有2+4×2＝10块， 故答案为：6、10；
（2）根据题意知第n（n为正整数）个图案中，白色地砖有2+4n（块），
故答案为：4n+2．
（3）令4n+2＝2018，
解得：n＝504，
所以，第504个图案中有2018块白色地砖．
23．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求AC的长；
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．
证明：（1）∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APQ＝60°，且AQ＝AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝60°＝∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QP A＝∠ACB＝60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，且∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠P AB＝120°+∠P AB＞120°，∴∠QBC＜120°，
∴∠QAC≠∠QBC，且∠QP A＝∠ACB＝60°＝∠Q，
∴四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如图②，连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴BD＝10，
∴AD=√BD2−AB2=√100−36=8，
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，
∴2AC2＝196
∴AC＝7√2；
（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，∠ABC＝60°，AC=√3BC＝2√3
∵四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝120°，且OE⊥AC，OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝30°，CE＝AE=√3，
∴OE＝1，CO＝2OE＝2，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF＝90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∴CE＝OF=√3，OE＝CF＝1，
∴BF＝BC+CF＝3，
∴BO=√BF2+OF2=√9+3=2√3，
∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，
∴BD长的最大值＝BO+OD＝2√3+2．
24．如图，平面直角坐标系中，一次函数y=−1
2x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，B两
点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
解：（1）一次函数y=−1
2x+4的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，
则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，4），则OA＝8，OB＝4，
将点C坐标代入上式得：3=−1
2m+4，解得：m＝2，
点C（2，3），
设l2的表达式为：y＝nx，
将点C（2，3）代入上式得：3＝2n，解得：n=3 2，
故：l2的表达式为：y=3
2x；
（2）S△AOC﹣S△BOC=1
2
×OA×y C−12BO×x C=12×8×3−12×4×2＝8；
（3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，
即k=−1
2或
3
2
，
当l3过点C时，将点C坐标代入上式并解得：k＝1；
故当l3的表达式为：y=−1
2x+1或y=
3
2x+1或y＝x+1．
25．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．
①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存
在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝13，弦AD＝5，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
（1）①证明：如图1中，
∵BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠ABC ＝2∠ABD ， ∵∠C ＝90°， ∴∠A +∠ABC ＝90°， ∴∠A +2∠ABD ＝90°， ∴△ABD 为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在AC 边设上存在点E （异于点D ），使得△ABE 是“类直角三角形”． 在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，BC ＝3， ∴AC =√AB 2−BC 2=√52−32=4， ∵∠AEB ＝∠C +∠EBC ＞90°， ∴∠ABE +2∠A ＝90°， ∵∠ABE +∠A +∠CBE ＝90° ∴∠A ＝∠CBE ， ∴△ABC ∽△BEC ，
∴BC CE
=AC BC
，
∴CE =BC 2
AC =94，
（2）∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝5，AB＝13，
∴BD=√AB2−AD2=√132−52=12，
①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接F A，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，
∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，
∴∠CAD+∠DAF＝180°，
∴C，A，F共线，
∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°
∴∠C＝∠ABF，
∴△F AB∽△FBC，
∴FA
FB =
FB
FC
，即
5
12
=
12
12+AC
，
∴AC=119 5．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平
分∠FBC ，
∴∠C +2∠ABC ＝90°，
∵∠CAD ＝∠CBF ，∠C ＝∠C ，
∴△DAC ∽△FBC ，
∴CD CF =AD BF
，即CD AC+5=512， ∴CD =512（AC +5），
在Rt △ADC 中，CD 2+AD 2＝AC 2，
∴AC =845119（舍去负值），
综上所述，当△ABC 是“类直角三角形”时，AC 的长为1195或845119．
26．如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y =k x
（x ≥1）交于点A ，且AB ＝1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t ＝1时h ＝5，M ，A 的水平距离是vt 米．
（1）求k ，并用t 表示h ；
（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
解：（1）由题意，点A（1，18）代入y=k x
得：18=k 1
∴k＝18
设h＝at2，把t＝1，h＝5代入∴a＝5
∴h＝5t2
（2）∵v＝5，AB＝1
∴x＝5t+1
∵h＝5t2，OB＝18
∴y＝﹣5t2+18
由x＝5t+1
则t=1
5
(x−1)
∴y=−1
5
(x−1)2+18=−15x2+25x+895
当y＝13时，13=−1
5
(x−1)2+18
解得x＝6或﹣4∵x≥1
∴x＝6
把x＝6代入y=18 x
y＝3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18
得t2=81 25
解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x＝10
∴甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y=18 x上
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.5。