人教A版高中数学必修2《第二章 点、直线、平面之间的位置关系 复习参考题》_3

必修二第二章末复习课
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核心归纳
1.线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.
①线线平行的定义；
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
（2）证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时，要
通过平移把异面直线转化为相交直线；
②线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；
③线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .
2.线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.
（1）证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：
a ⊄α，
b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β.
（2）证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：
⎭
⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.
3.面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.
（1）证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：
a ∥β，
b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β；
③线面垂直的性质定理：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β；
④公理4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
（2）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
②面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β.
4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点
（1）由已知想性质，由求证想判定.
（2）适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.
（3）用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.
要点一 空间中的平行关系
在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.
【例1】 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，PB ＝2MA .在线段PB 上是否存在一点F ，使平面AFC ∥平面PMD ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.
解 当点F 是PB 的中点时，
平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，则
PF ＝12PB .
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴O是BD的中点.∴OF∥PD.
又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA綉1
2PB，
∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形.
∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
【训练1】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE ＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綉BD.
∴四边形BCND为矩形.∴DN∥BC.
又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.
要点二空间中的垂直关系
1.空间垂直关系的判定方法：
（1）判定线线垂直的方法有：
①计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）；
②由线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）；
③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°.
（2）判定线面垂直的方法有：
①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；
②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；
③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；
④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；
⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；
⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）.
（3）面面垂直的判定方法有：
①根据定义（作两平面构成的二面角的平面角，计算其为90°）；
②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.
2.垂直关系的转化是：
【例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点.求证：
（1）P A⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面P AD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
证明（1）因为平面P AD⊥底面ABCD，P A在平面P AD内且垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
（3）因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知P A⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD，
所以P A⊥CD.又P A∩AD＝A，P A⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
因为BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
【训练2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.
证明：（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
证明（1）在四棱锥P－ABCD中，
∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，
∴CD⊥平面P AC.
而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.
（2）由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1），知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.
又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，
∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
要点三空间角问题
（1）空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视.
（2）求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.
（3）求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.
（4）二面角的平面角的作法常用三种：①定义法；②垂线法；③垂面法.
总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.
【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（2）求证：PD⊥平面PBC；
（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
（1）解由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，
得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝AD
AP＝
5
5.所以异面直线AP与BC所成
角的余弦值为
5 5.
（2）证明因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又因为
BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC. （3）解过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得
sin∠DFP＝PD
DF＝
5
5.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
5 5.
【训练3】在△ABC所在平面外有一点S，已知SC⊥AB，SC与底面ABC所成角为θ，二面角S－AB－C的大小为φ，且θ＋φ＝90°，求二面角C－SB－A的大小.
解如图，
作SO⊥平面ABC于点O，连接CO并延长交AB于点D，连接SD.
则∠SCO是SC与平面ABC所成的角，∴∠SCO＝θ.
∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SO⊥AB.
又∵SC⊥AB，SO∩SC＝S，SC⊂平面SDC，SO⊂平面SDC，∴AB⊥平面SDC. ∵SD，CD⊂平面SDC，∴AB⊥CD，AB⊥SD.
∴∠SDO是二面角S－AB－C的平面角，即∠SDO＝φ.
∵θ＋φ＝90°，∴SC⊥SD.
又∵SC⊥AB，AB∩SD＝D，AB⊂平面SAB，
SD⊂平面SAB，∴SC⊥平面SAB.
又∵SC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB，
∴二面角C－SB－A的大小为90°.
要点四立体几何中的探索性问题
解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解.
【例4】在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中（如图），∠ABC＝60°，P A＝AC ＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.
（1）证明：P A⊥平面ABCD；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论.
证明（1）∵底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝a.
在△P AB中，P A2＋AB2＝2a2＝PB2，∴P A⊥AB，同理P A⊥AD.
又AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD.
（2）如图，连接BD交AC于G，则G是BD的中点，连接GE.取PE的中点H，连接BH.
∵PE∶ED＝2∶1，∴PH＝HE＝ED，即E是DH的中点.
在△BHD中，EG为中位线，
∴EG∥BH.
取PC的中点F，连接FH，BF，则FH∥CE.
∵BH⊄平面AEC，EG⊂平面AEC，∴BH∥平面ACE，同理FH∥平面AEC，
又BH∩FH＝H，BH⊂平面BHF，FH⊂平面BHF，
∴平面BHF∥平面AEC，又BF⊂平面BHF，∴BF∥平面AEC.
故在棱PC上存在一点F，使BF∥平面AEC.
【训练4】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 1＝AC ＝2，A 1B ＝A 1D ＝22，点E 在线段A 1D 上.
（1）证明：AA 1⊥平面ABCD ；
（2）当A 1E ED
为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时三棱锥E －ACD 的体积. （1）证明 ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝2.
∵AA 1＝2，A 1B ＝22，AB ＝2，∴AA 21＋AB 2＝A 1B 2，
∴AA 1⊥AB .
同理，AA 1⊥AD .
又∵AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，
∴AA 1⊥平面ABCD .
（2）解 当E 为A 1D 的中点时，A 1B ∥平面EAC .
证明：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，则OE ∥A 1B .
又OE ⊂平面EAC ，A 1B ⊄平面EAC ，
∴A 1B ∥平面EAC ，此时A 1E ED ＝BO OD ＝1.
∴设AD 的中点为F ，连接EF ，则EF ∥AA 1且EF ＝
12A 1A ＝1.
又由（1）知AA 1⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD ，
∴三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×1×12×2×2×32＝33.。