安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷(文科)

安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N3．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4B．8C．16 D．2165．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1B．1或一1 C．2D．2或一27．（5分）=（）A．B．C．D．18．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1D．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=4π（I）求ω；（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接计算即可．解答：解：∵z2+3=0，∴z=±i，∴z•=﹣3i2=3，故选：D．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的大电影与值域，即可判断两个集合的关系．解答：解：集合M={x∈R|y=}={x|x≥﹣1}=考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，可得，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4B．8C．16 D．216考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解答：解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，第四次7≤6不成立，输出b=16，故选：C点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=sin2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1B．1或一1 C．2D．2或一2考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质计算即得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则q==2或﹣2，∴a4==1，∴a1a7=a2a6=a3a5==1，∴T7=1，故选：A．点评：本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）=（）A．B．C．D．1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．解答：解：===1．故选：D．点评：本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1D．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB=，PC=，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=，∴三棱锥P﹣A BC的所有面中，面积最小的是△PAB，为．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．解答：解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=，AD=1，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABC，即1=3+BD2﹣3BD，解得：BD=1或BD=2，若BD=1，则BC=2CD=2，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+4﹣6=1，解得：AC=1；若BD=2，则BC=2CD=4，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+16﹣12=7，解得：AC=，综上，AC的长为1或．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：解：由函数f（x）=，可得f（x﹣2）=，关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．解答：解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．故答案为：若|x|≠1，则x≠1．点评：本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为5．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．解答：解：∵点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），∴=（a﹣1，2）；又∥，∴（a﹣1）﹣2×2=0，解得a=5，∴实数a的值为5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，故答案为：3．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．解答：解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+）2+，令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），即f（2）=2f（1）≥4，即﹣m2﹣m+4≥4，即﹣m2﹣m≥0．则m2+m≤0，解得﹣1≤m≤0，∵m是整数，∴m=﹣1或0，故m取值的集合为{﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+），由函数f（x）的最小正周期T==4π，求得ω=的值．（Ⅱ）当条件求得sin（x+）=，可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，由此求得x的值．解答：解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=sinωx++cosωx=sin（ωx+），且函数f（x）的最小正周期T==4π，∴ω=，f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣，可得sin（x+）=，∴x+=2kπ+或x+=2kπ+，求得x=4kπ﹣，或x=4kπ+π，k∈z，∵x∈，∴x=﹣，或x=π．点评：本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足∴AD∥MF，AD=MF，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM⊂面ABE，DF⊄面ABE，∴DF∥面ABE；（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，可得点E到平面ABCD的距离为，∴点F到平面ABCD的距离为，∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S△BCD=，∴V B﹣CDF=V F﹣BCD=．点评：本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=n（a n+4）（n∈N*）（I）设a2=5，求a4；（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时S n取得最大值，求实数t的取值范围．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）通过对2S n=n（a n+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；（Ⅱ）通过2S n=n（a n+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，进而有（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两者相减可得数列{a n}为等差数列，计算即得结论．解答：解：（I）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），a2=5，∴当n=1时，可得a1=4；当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；（Ⅱ）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），∴当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两式相减可得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+4，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，又∵（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两式相减可得：（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=（2n﹣2）a n（n≥2），∴a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2），即数列{a n}为等差数列，在2S n=n（a n+4）中令n=1可得a1=4，又a2=t，∴数列{a n}的公差为t﹣4，∴a n=（t﹣4）n+8﹣t，当且仅当n=5时，S n取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，即t＞3，且t＜，故t∈（3，）．点评：本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），由f′（1）=2﹣，得=2﹣，由a+b=1，可得=2﹣，即=，由a＞b，a，则a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=（x＞0），即f′（x）=（x＞0），由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，因为tan∠FAB==，所以c=，所以a2=，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，所以P的横坐标为，即P（，1）．因为B（1，0），3+2=0，所以C（﹣1.5，0），所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即，所以t=或t=．考虑到Q在B，C之间，则t=，即Q（，0），所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。