二叉树的五个重要性质

⼆叉树的五个重要性质
⼆叉树是最常⽤的数据结构之⼀，笔者过去⼀直将关注点放在复杂的树结构（例如红⿊树，⾃平衡树），认为那些才是树的重要应⽤，但当重新由基本看起，才发现树的基本定中就隐藏着树这⼀结构的精髓。

尽管是些浅薄蠢笨的理解和推演，但笔者还是满怀兴奋的想要将它记录下来。

⼀、⼆叉树的定义
⼆叉树的定义不⽤多说，很多书本上都有明确的定义，但有些细节是笔者过去所没有注意的，先给出殷⼈昆教授对于⼆叉树的基本定义——
⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合或者为空，或者是由⼀个根结点加上两棵分别称为左⼦树和右⼦树的、互不相交的⼆叉树组成。

可以看出⼆叉树的定义是递归的，根结点的⼦树仍然是⼆叉树，到达空⼦树时递归定义结束。

⼀般来说，关于树的术语对于⼆叉树都是适⽤的，但应该明确的是⼆叉树不是树，理由如下：
树在图论中被视为⽤n-1条边连接n个结点的的特殊的图。

图的顶点结合⾮空，故树的顶点⾮空。

图论中另外定义了N叉树，它可以是空树，⼆叉树属于N叉树。

⾮空⼆叉树有根，根结点的⼦树有左右之分，次序不能颠倒；若其中⼀棵⼦树为空，则另⼀棵⼦树也必须保持左右之分。

树可以没有根（⾃由树）；即使有根，其⼦树也没有这种区分。

那么，这就出现⼀个问题——⼆叉树的叶结点⽆⼦⼥，是否可称它为⽆⼦树？
根据定义，应该是不能的，因为可认为叶⼦点的左右⼦树为空⼦树。

虽然认识这⼀区别的⽬的并⾮应试，但笔者还是提⼀句：个⼈认为在⼀般的测试中未必会考察到这么细致，所以遇到忽略这⼀细致区别的出题⼈时请不要过于惊讶。

⼆、⼆叉树的性质
接下来的描述中有必要⽤到⼀些数学符号，在Markdown中不好画出，因此我们再次规定⼀些符号——
ａ＾ｂ—— a的b的次⽅（计算机常⽤，⽆需多⾔）
int_UP（）—— 向上取整（即去掉浮点数的⼩数部分，然后将整数部分加1）
int_DOWN（）—— 向下取整（即去掉浮点数的⼩数部分，只留整数部分）
log(a,b) —— 表⽰以a为底取b的对数
性质的内容
⼆叉树具有以下五个性质：
1. 在⼆叉树的第ｉ（ｉ>=１）层最多有２＾(ｉ - １)个结点。

2. 深度为k(k>=0)的⼆叉树最少有k个结点，最多有２＾ｋ－１个结点。

3. 对于任⼀棵⾮空⼆叉树，若其叶结点数为n0，度为2的⾮叶结点数为n2，则ｎ0 = ｎ2 ＋１。

4. 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为int_UP（log(2，ｎ+1)）。

5. 如果将⼀棵有n个结点的完全⼆叉树⾃顶向下，同⼀层⾃左向右连续给结点编号１，２，３，．．．．．．，ｎ，然后按此结点编号将树中各结点顺序的存放于⼀个⼀维数组，并简称编号为i的结点为结点i（ｉ>=１ && ｉ<=ｎ）,则有以下关系：
（1）若ｉ= 1，则结点i为根，⽆⽗结点；若ｉ> 1，则结点 i 的⽗结点为结点int_DOWN（ｉ / ２）;
（2）若２＊ｉ <= ｎ，则结点ｉ的左⼦⼥为结点２＊ｉ；
（3）若２＊ｉ＜＝ｎ，则结点ｉ的右⼦⼥为结点２＊ｉ＋１；
（4）若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
（5）若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
（6）结点ｉ所在的层次为 int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。

部分性质的证明
性质１可以通过数学归纳法得到证明
性质２证明：
由性质１可知，ｋ层的最⼤节点总数可表⽰为２＾０＋２＾ 1＋……＋２^ (ｋ－１) = ２^ｋ- １；
性质３证明：
⾸先，由节点的⾓度看ｎ１＋ｎ２＋ｎ０＝ｎ，设此为（１）式；
再从边的⾓度看，ｎ２下接两条边，ｎ１下接⼀条边，ｎ个节点两两相连⼀共需要ｎ－１条边，可得２＊ｎ２＋ｎ１＝ｎ－１，此为（２）式；
由（１）式－（２）式，可得
ｎ０－ｎ２＝１。

三、⼀些拓展和说明
1. 完全⼆叉树
可以看出性质4和5是针对重要的特殊⼆叉树——完全⼆叉树的，在此先给出特殊⼆叉树的定义。

（1）满⼆叉树
深度k的满⼆叉树是有2^k－1个结点的⼆叉树，在满⼆叉树中，每⼀层结点都达到了最⼤个数，除最底层结点的度为0外，其他各层结点的度都为2。

（2）完全⼆叉树
如果⼀棵具有n个结点的深度为k的⼆叉树，它的每⼀个结点都与⾼度为k的满⼆叉树中编号为1 ~ n－1的结点⼀⼀对应，则称这棵⼆叉树为完全⼆叉树。

其特点是：上⾯从第１层到第ｋ－１层的所有各层的结点数都是满的，仅最下⾯的第ｋ层是满的，或从右往左连续缺少若⼲结点。

（3）完全⼆叉树的结论
若完全⼆叉树有ｎ个结点，当ｎ为奇数时，n1 = 0，n2 = int_DOWN（ｎ／２），n0 = n2 + 1；
当ｎ为偶数时，n1 = 1, n0 = ｎ／２；n2 = n0 - 1。

证明 ——
由之前的结论可知，k层结点数为ｎ－（２＾（ｋ－１）－１）；
由于仅最下⾯的第ｋ层是满的，或从右往左连续缺少若⼲结点；
ｋ层结点依次从左到右位于ｋ－１层结点的下⽅，且中间不留空⼦树；
故表达式（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２的商为ｋ－１层中度为２的结点，余数为度为１的结点。

故当ｎ为奇数时，n1＝０；
　当ｎ为偶数时，n1＝１；
由于ｋ－１层以及以上的结点都是满的，即⼀共２＾（ｋ－２）－１个结点；
ｎ２＝ int_DOWN（（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２）＋２＾（ｋ－２）－１
＝ int_DOWN（（ｎ＋１）／２）－１
故当ｎ为奇数时，ｎ２＝ int_DOWN（ｎ／２）＋１－１＝ int_DOWN（ｎ／２），ｎ０＝ｎ２＋１；
　当ｎ为偶数时，ｎ２＝ｎ／２－１，ｎ０＝ｎ／２－１＋１＝ｎ／２。

证毕。

2. 性质５的拓展
如果结点编号从0开始，则有以下结论：
（1）结点ｉ（１＜＝ｉ＜＝ｎ－１）的⽗结点为结点int_DOWN（（ｉ－１）／２），结点０⽆⽗结点；
（2）分⽀结点中编号最⼤的是结点int_DOWN（（ｎ－２）／２）或结点int_DOWN（ｎ／２）－１；
（3）若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－２）／２），则结点ｉ的左⼦⼥为２＊ｉ＋１；若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－３）／２），则结点ｉ的右⼦⼥为２＊ｉ＋２；
（4）若ｉ为偶数且⼤于０，则结点ｉ有左兄弟结点ｉ－１；若ｉ为奇数且ｉ＜＝ｎ－２，则结点ｉ有右兄弟结点ｉ＋１；
（5）结点ｉ（０＜＝ｉ＜＝ｎ－１）在第int_DOWN（ｌｏｇ（２，ｉ＋１））＋１。

3. ⼆叉树存储和遍历的⼩结论
含有 n 个结点的⼆叉链表中有 n+1 个空指针域，这是因为在所有结点的2ｎ个链指针域中只有ｎ－１个存有边信息的缘故。

三叉链表则有ｎ＋２个空指针域。

前序遍历算法中，第⼀个被访问的元素⼀定是⼆叉树的根，如果根的左⼦树⾮空，则紧跟在根后的⼀定是根的左⼦⼥；如果左⼦树为空，则其后紧跟的是其右⼦树的根。

后序遍历算法中，最后⼀个被访问的⼀定是⼆叉树的根，如果根的右⼦树⾮空，则在根之前的⼀定是根的右⼦⼥；如果右⼦树为空，则其前的元素是其左⼦树的根。