中国海洋大学寿险精算讲义5

其中
U是保单签发t年后被保险人的剩余寿命
f (u) u pxt xtu
u0
5、用前瞻法确定净责任准备金 （以完全连续终身寿险为例）
前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备 金（前瞻亏损的期望也就是未来责任精 算现值与未来收入精算现值之差）
tV
(
Ax
)
E[ t
L]
E[vU
]
PE[a U
]
Axt Paxt (前瞻法公式、未来法公式)
Var( t
L)
1
P( A35 ) 2
A 2 35t
A2 35t
A35t
1a 65 t 65t
1 1 e (65t)
65 t
A 2 35t
1 65 t
1 e2 (65t )
2
例5.2答案
t
tV ( A35 )
0
0.0000
10
0.0577
20
0.1289
30
0.2271
tV ( Ax ) Axt P( Ax ) a xt 0
Var( t
L)
1
P
( Ax
)
2
A 2 xt
A2 xt
0.25
例5.2
已知 lx 100 x, 0 x 100 利率按6％计算 求：
(1) P( A 35) (2) t V ( A 35) , t 0,10, 20,L , 60 (3) Var( t L) ,t 0,10, 20,L , 60
u
P(A x:t
)
t
P( Ax )
P(A 1)
A x:t
Ax
A1
x:t
x:t
A A1 A 1
x:t
x:t
x:t
Ax
A1 x:t
t Ex Axt
u
A1 x:t
t Ex Axt A1
1 Axt
Axt
1 u,
x:t
tV
( Ax )
Axt
P( Ax )axt
Axt
Ax
1 Ax
g1 Axt
Axt
formula Paid-up insurance
formula Retrospective formula Prospective formula
1、责任准备金产生的原因
未来 未来 责任 收入
责任准备 金
未来 差值
责任
未来 收入
0
t
w
1、责任准备金产生原因
净保费厘定原则：净均衡原则，保证了以保单发行日 为参照点保险公司的未来保费收入现时值和未来保险 赔付的现时值相等（at the date of policy issue,there is equivalence between two acturial present value,that is , equivalence between future benefit acturial present value and future net premiums acturial present value,PVFB=PVFP ）。
Ax (1 Axt ) 1 Ax
Axt Ax 1 Ax
Axt
1 2
Axt
1
1 2
Axt
1u 1 u
7、前瞻法应用的推广
完全连续场合 完全离散场合
（1）终身寿险，终身缴费
fully continuous tV ( Ax ) Axt P( Ax )axt
fully discrete kVx Axk Pxa&&xk
(1 axt ) P( Ax )axt
1 [ P( Ax )]axt
axt
1 tV ( Ax )
P( Ax )
1 0.1 0.03 0.0105
22.22
例5.5
如果u
P(A ) x:t P(A
t P( 1)
Ax
)
，且Ax
1 2
Axt，试用u表示 tV
( Ax )
x:t
例5.5答案
实质责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差netpremiumreservesdifferencebetweentwoactuarialpresentvaluethisanyfinancialstatement未来责任未来收入未来责任未来收入差值责任准备仍在保障范围内的被保险人数差值责任准备金对每位仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现值净责任准备金受益责任准备金netpremiumreserves费用责任准备金expensereserves修正责任准备金modifiedreserves半连续责任准备金死亡即刻赔付生存期初缴费5用前瞻法确定净责任准备金以终身寿险为例前瞻亏损prospectiveloss是保单签发年后被保险人的剩余寿命5用前瞻法确定净责任准备金以完全连续终身寿险为例前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金前瞻亏损的期望也就是未来责任精算现值与未来收入精算现值之差用这种原理确定责任准备金的方法称为前瞻方法前瞻法公式未来法公式6前瞻亏损现值方差的计算利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损失的方差0040060040060402510004041035350102001020例52答案35353565353535653535353535025865例52答案353535353535356535656565000000118710005770100120012890117430022710107340036190086150055080050860082140009735例53100010500301222200300105试用表示例55答案7前瞻法应用的推广完全连续场合完全离散场合1终身寿险终身缴费fullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscretefullycontinuousfullydiscrete8m年延期m年缴费的终身生存年金fullycontinuousfullydiscrete设保险公司发行某保单被保险人的整值剩余寿命k的概率函数为该保单在被保险人死亡年末给付1年利率6
40
0.3619
50
0.5508
60
0.187 0.1001 0.1174 0.1073 0.0861 0.0508 0.0097
例5.3
if
1000tV ( Ax ) 100，1000P( Ax )＝10.5，＝0.03
show axt
solutions
tV ( Ax ) Axt P( Ax )axt
fully continuous
tV
(A 1 x:n
)
A1 xt:nt
P(
1, t n
A1 x:n
)a x t:n t
,
fully discrete
tn
V1
k x:n
A1 x k :n k
P 1 a&& x:n xk:nk
1, k n
,
kn
（4）n年两全保险，n年缴费
fully continuous
2、净责任准备金的定义和原理
定义：
保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保 险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。
实质 责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现
时值之差(net premium reserves are the difference between the two actuarial present value,this is a liability that should be recognized in any financial statement of an insurer,it is also an asset for the insured )
例5.2答案
(1) lx 100 x
t p35 1 t / 65
t p35 35t 1/ 65, 0 t 65
A35
65
vt t
0
p3535t dt
1a 65 65
0.258
a35
1 A35
12.7333
P( A35 )
A35 a35
0.02
例5.2答案
tV ( A35 ) A35t P( A35 )a35t
修正责任准备金（modified reserves）
本章中英文单词对照
净责任准备金
（受益责任准备金）
前瞻亏损 保费差公式
缴清保费公式
过去法公式 未来法公式
Net premium reserve (Benefit reserves)
Prospective loss Premium-difference
用这种原理确定责任准备金的方法称为 前瞻方法
6、前瞻亏损现值方差的计算
t L vu
P
(
Ax
)a u
(1
P( Ax ))vu
P( Ax )
Var[ t
L]
Var[(1
P( Ax
) )vu
P( Ax )]
(1 P( Ax ))2Var(vu )
(1
P
( Ax
)
)2
(
2
Axt
A2 xt
)
A2 xt
tV
(
A x:n
)
A xt:n
t
P(
1, t n
A x:n
)a x t:n t
,
fully discrete
tn
Vk x:n
A x
k :n
k
P(A )a&& , x:n xk:nk
1, k n
kn
（5）h次缴费终身寿险
fully continuous
htV
( Ax )
Axt
按被保险人缴费、保险人赔付的方式分：
完全连续责任准备金（死亡即刻赔付，连续缴费） 完全离散责任准备金（死亡年末赔付，生存期初缴
费） 半连续责任准备金（死亡即刻赔付，生存期初缴费）
5、用前瞻法确定净责任准备金 （以终身寿险为例）
前瞻亏损（prospective loss）
t
L
vU
pa（完全连续） U
A2 xt
(1 Ax )2
例5.1
已知： 0.04, 0.06 利用前瞻方法确定完全连续终身寿险在
未来任意时刻t的净责任准备金及前瞻损 失的方差
例5.1答案
0.04, 0.06
Ax 0.4, 2 Ax 0.25, ax 10, P( Ax ) 0.04 Axt Ax 0.4, a xt ax 10
但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为 参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。(after a period of time,however,there will no longer be an equivalence between the two acturial present value, for the insurer,usually PVFBPVFP )
, ,
thn h t n
1
, tn
fully discrete
Vh
k x:n
A x
A x
k:nk k:nk
h
P x:n
a&& x k :h k
, ,
k hn h k n
1
, kn
（7） h次缴费n年定期保险
fully continuous
A1
htV
( A1 x:n
)
x
A1 x
t:nt t:n t
tV
(m
ax )
mt axt axt ,
P( m
ax
)a x t:m t
,
fully discrete
tm tm
kV ( m
a&&x )
mk a&&xk a&&xk ,
m
Px
a&& x k :m k
,
km km
例5.6
设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿
命K的概率函数为
h
P
(
Ax
)a xt:h
t
,
th
Axt
, th
fully discrete
kVx
Axk Axk
h Px
a&& x k :h k
,
, kh kh
（6） h次缴费n年两全保险
fully continuous
A
htV
(A x:n
)
x
A x
t:nt t:nt
h
P(A x:n
)a x t :h t
例5. 6答案
（1）趸缴保费场合
参照时刻
0
责任准备金
0
（2）期缴保费场合
参照时刻
0
责任准备金
0
（3）p=0.458
1
23
0.89 0.92 0.94
1
2
3
0.18 0.38 0.577
例5.6提示（趸缴保费场合）
保单签发时
Pr(K k )
k 0
1
4
k 1
1
4
k 2
（2）n年定期寿险，n年缴费
fully continuous
tV
( A1 x:n
)
A1 xt:nt
P(
0, t n
A1 x:n
)a x t:n t
,
fully discrete
tn
V1
k x:n
A1 x k :n k
P1 a&& , x:n xk:nk
0, k n
kn
（3）n年生存寿险，n年缴费
3、责任准备金图解 责任准备
金
未来 未来 责任 收入
0
未来 差值
责任
未来 收入
t
w
责任准备金 ＝ 差值
仍在保障范围内 的被保险人数
对每位仍在保
＝ 障范围内的被
保险人的未尽
责任现值
4、责任准备金的分类
按覆盖责任分：
净责任准备金（受益责任准备金）（net premium reserves）
费用责任准备金(expense reserves) 修正责任准备金(modified reserves)
h
P( A1 x:n
)a x t:h t
, ,
0
,
fully discrete
thn h t n tn
Vh 1
k x:n
A1
x
A1 x
k:n k:n
k k
h
P x:n
a&& x k :h k
,
,
k hn h k n
0
, kn
（8）m年延期、m年缴费的终 身生存年金
fully continuous
k
q0
1 4
k 0,1, 2,3