2019年辽宁省盘锦市中考数学试卷

2019年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）1
3-的绝对值为( )
A ．13
B ．3
C ．13
-
D ．3-
2．（3分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）2018年1月至8月，沈阳市汽车产量为60万辆，其中60万用科学记数法表示为
( ) A ．4610⨯
B ．50.610⨯
C ．6610⨯
D ．5610⨯
4．（3分）如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）下列运算中，正确的是( ) A ．23235x x x =
B ．426x x x +=
C ．2363()x y x y =
D ．22(1)1x x +=+
6．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是( ) A ．2.10，2.05
B ．2.10，2.10
C ．2.05，2.10
D ．2.05，2.05
7．（3分）如图，点(8,6)P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的
1
2
，得到△A B C '''，点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为( )
A ．(4,3)
B ．(3,4)
C ．(5,3)
D ．(4,4)
8．（3分）下列说法正确的是( ) A ．方差越大，数据波动越小
B ．了解辽宁省初中生身高情况适合采用全面调查
C ．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D ．用长为3cm ，5cm ，9cm 的三条线段围成一个三角形是不可能事件
9．（3分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点A 为圆心、AB 的长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心、大于1
2
BF 的长为半径画弧，两弧交于点M ，作射线AM
交BC 于点E ，连接EF ．下列结论中不一定成立的是( )
A ．BE EF =
B ．//EF CD
C ．AE 平分BEF ∠
D ．AB A
E =
10．（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，4BC =，2AB =，点N 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合）
，EF ，GH 过点N ，//GH BC 交AB 于点G ，交DC 于点H ，//EF AB 交AD 于点E ，交BC 于点F ，AH 交EF 于点M ．设BF x =，MN y =，则y 关于x 的函数图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3
有意义，则x 的取值范围是 ．
12．（3
分）计算：= ． 13．（3分）不等式组3410
25143
x x x x ++⎧⎪
+⎨-<⎪⎩…的解集是 ．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为 ．
15．（3分）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km ，一部分学生骑自行车先走，过了15min 后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 /k m h ．
16．（3分）如图，四边形ABCD 是矩形纸片，将BCD ∆沿BD 折叠，得到BED ∆，BE 交AD 于点F ，3AB =．:1:2AF FD =，则AF = ．
17．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = ．
18．（3分）如图，点1A ，2A ，3A ⋯，n A 在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，⋯，n C 在y 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯，n B 在第一象限角平分线OM 上
，11213
n n OB B B B B B B -===⋯==，1111A B B C ⊥，2222A B B C ⊥，3333A B B C ⊥，⋯，
n n n n A B B C ⊥，⋯，则第n 个四边形n n n OA B C 的面积是 ．
三、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：13()(2)22
m m m m +
÷-+++，其中0
3tan 30(3)m π=︒+-． 20．（14分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（10分）如图，池塘边一棵垂直于水面BM 的笔直大树AB 在点C 处折断，AC 部分倒下，点A 与水面上的点E 重合，部分沉入水中后，点A 与水中的点F 重合，CF 交水面于点D ，2DF m =，30CEB ∠=︒，45CDB ∠=︒，求CB 部分的高度．（精确到0.1m ．参考数
1.41≈， 1.73)≈
22．（10分）如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限12
y x
=-的图象上，点B 在第一
象限2k y x
=的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，32AD =，
3
2
OCBE ODAE S S =
矩形矩形． （1）求点B 的坐标．
（2）若点P 在x 轴上，3BPE S ∆=，求直线BP 的解析式．
五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23．（12分）如图，ABC ∆内接于O ，AD 与BC 是O 的直径，延长线段AC 至点G ，使A G A D =，连接DG 交O 于点E ，//EF AB 交AG 于点F ．
（1）求证：EF 与O 相切．
（2）若EF =，4AC =，求扇形OAC 的面积．
六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24．（12分）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，
每千克猪肉的售价1y （元)与月份(112x x 剟，且x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本2y （元)与月份(112x x 剟，且x 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
（1）求1y 与x 之间的函数关系式． （2）求2y 与x 之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w （元)，求w 与x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25．（14分）如图，四边形ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，点E 在射线AC 上（不包括点A 和点)C ，过点E 的直线GH 交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ，且//GH DC ，点F 在BC 的延长线上，CF AG =，连接ED ，EF ，DF ．
（1）如图1，当点E 在线段AC 上时， ①判断AEG ∆的形状，并说明理由． ②求证：DEF ∆是等边三角形．
（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，DEF ∆是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤） 26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点(0,4)C ，交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为
边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90︒，得到线段FP，过点P作//
E a．
PH y轴，PH交抛物线于点H，设点(,0)
（1）求抛物线的解析式．
（2）若AOC
∆相似，求a的值．
∆与FEB
（3）当2
PH=时，求点P的坐标．
2019年辽宁省盘锦市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）
1
3
-的绝对值为()
A．1
3
B．3C．
1
3
-D．3
-
【解答】解：
1
3
-的绝对值等于
1
3
，
故选：A．
2．（3分）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）2018年1月至8月，沈阳市汽车产量为60万辆，其中60万用科学记数法表示为()
A．4
610
⨯B．5
0.610
⨯C．6
610
⨯D．5
610
⨯
【解答】解：60万5
600000610
==⨯，
故选：D．
4．（3分）如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是()
A．B．
C ．
D ．
【解答】解：从上面看得到的图形是：
故选：B ．
5．（3分）下列运算中，正确的是( ) A ．23235x x x =
B ．426x x x +=
C ．2363()x y x y =
D ．22(1)1x x +=+
【解答】解：A 、原式36x =，不符合题意；
B 、原式不能合并，不符合题意；
C 、原式63
x y =，符合题意；
D 、原式221x x =++，不符合题意，
故选：C ．
6．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是( ) A ．2.10，2.05
B ．2.10，2.10
C ．2.05，2.10
D ．2.05，2.05
【解答】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05； 由于一共调查了30人，
所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10． 故选：C ．
7．（3分）如图，点(8,6)P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的
1
2
，得到△A B C '''，点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为( )
A ．(4,3)
B ．(3,4)
C ．(5,3)
D ．(4,4)
【解答】解：点(8,6)P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的
1
2
，得到△A B C '''， ∴点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为：(4,3)．
故选：A ．
8．（3分）下列说法正确的是( ) A ．方差越大，数据波动越小
B ．了解辽宁省初中生身高情况适合采用全面调查
C ．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D ．用长为3cm ，5cm ，9cm 的三条线段围成一个三角形是不可能事件 【解答】解：A 、方差越大，数据波动越大，故本选项错误；
B 、了解辽宁省初中生身高情况适合采用抽样调查，故本选项错误；
C 、抛掷一枚硬币，正面向上是不确定事件，故本选项错误；
D 、用长为3cm ，5cm ，9cm 的三条线段围成一个三角形是不可能事件，故本选项正确；
故选：D ．
9．（3分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点A 为圆心、AB 的长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心、大于1
2
BF 的长为半径画弧，两弧交于点M ，作射线AM
交BC 于点E ，连接EF ．下列结论中不一定成立的是( )
A ．BE EF =
B ．//EF CD
C ．AE 平分BEF ∠
D ．AB A
E =
【解答】解：由尺规作图可知：AF AB =，AE 平分BAD ∠，
BAE DAE ∴∠=∠，
四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，
DAE BEA ∴∠=∠． BAE BEA ∴∠=∠， AB BE ∴=， AF AB =，
AF BE ∴=，
//AF BE ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
AF AB =，
∴四边形ABEF 是菱形，
AE ∴平分BEF ∠，BE EF =，//EF AB ，故选项A 、C 正确，
//CD AB ，
//EF CD ∴，故选项B 正确；
故选：D ．
10．（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，4BC =，2AB =，点N 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合）
，EF ，GH 过点N ，//GH BC 交AB 于点G ，交DC 于点H ，//EF AB 交AD 于点E ，交BC 于点F ，AH 交EF 于点M ．设BF x =，MN y =，则y 关于x 的函数图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 【解答】解：21
tan 42
DC DBC CB ∠=
==，1
2112tan 428
x
DH CD CH DAH x AD AD -
-∠====-， 21111
2tan tan 2()22288
y EF EM NF BF DBC AE DAH x x x x x =--=-∠-∠=-⨯--=-+，
故选：B ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3
有意义，则x 的取值范围是 2x > ．
【解答】解：由题意得，20x ->，
解得2
x>．
故答案为：2
x>．
12．（3
分）计算：=2．
【解答】
解：原式22
=-
2018
=-
2
=．
故答案为2．
13．（3分）不等式组
3410
25
14
3
x x
x
x
++
⎧
⎪
+
⎨
-<
⎪⎩
…
的解集是
1
3
5
x
<…．
【解答】解：
3410
25
14
3
x x
x
x
++
⎧
⎪
⎨+
-<
⎪⎩
①
②
…
，
由①得，3
x…，
由②得，
1
5 x>，
原不等式组的解集为1
3
5
x <…，
故答案为1
3
5
x <…．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为30．
【解答】解：由题意可得，6
100%20%
a
⨯=，
解得，30
a=．
故答案为：30．
15．（3分）某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是20/
km h．
【解答】解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：151515
1.560
x x
-=，
解得：20
x=，
经检验20x =是原方程的解， 答：骑车学生每小时行20千米． 故答案是：20．
16．（3分）如图，四边形ABCD 是矩形纸片，将BCD ∆沿BD 折叠，得到BED ∆，BE 交AD
于点F ，3AB =．:1:2AF FD =，则AF
【解答】解：四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，90A ∠=︒， ADB DBC ∴∠=∠， DBC DBF ∠=∠，
ADB DBF ∴∠=∠， FB FD ∴=，
:1:2AF FD =，
∴设(0)AF x x =>，则2FD x =，
2FB FD x ∴==，
222AB AF FB +=，
2223(2)x x ∴+=， 0x >，
x ∴，
AF ∴
17．（3分）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半
径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC =
【解答】解：OD AC ⊥， AD DC ∴=， BO CO =，
2224AB OD ∴==⨯=， BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒， OE BC ⊥，
90BOE COE ∴∠=∠=︒，
∴BE EC =，
11
904522
BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，
EA BD ⊥，
45ABD ADB ∴∠=∠=︒，
4AD AB ∴==，
4DC AD ∴==， 8AC ∴=，
BC ∴===
故答案为：
18．（3分）如图，点1A ，2A ，3A ⋯，n A 在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，⋯，n C 在y 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，⋯，n B 在第一象限角平分线OM 上，
11213
n n OB B B B B B B -===⋯==，1111A B B C ⊥，2222A B B C ⊥，3333A B B C ⊥，⋯，n n n n A B B C ⊥，⋯，则第n 个四边形n n n OA B C 的面积是
22
38
n a ．
【解答】解：如图，过点1C 作11C E OB ⊥于点E ，过点1A 作11A F OB ⊥于点F ，过点1B 分别作11B H OC ⊥于点H ，11B N OA ⊥于点N ， 1111B OC B OA ∠=∠， 11B H B N ∴=
11190HB N C BA ∠=∠=︒ 1111HB C NB A ∴∠=∠ 111190B HC B NA ∠=∠=︒
∴△11B HC ≅△11()B NA AAS
1111B C B A ∴=
111190C B F A B F ∠+∠=︒，1190A B F ∠=︒ 1111C B F B A F ∴∠=∠ 111190C EB B FA ∠=∠=︒
∴△11B C E ≅△11()A B F AAS
11C E B F ∴= 1145B OA ∠=︒ 145FAO ∴∠=︒ 1A F OF ∴=
1111C E A F B F OF OB ∴+=+=
()11
11
111222
11111111111113222228
OB C OB A OA B C S S
S
OB C E OB A F OB C E A F OB a =+=⋅+⋅=+===四边形，
同理，22222222113
2)2228
OA B C S OB a ===⋅四边形，
3332222
31133)3228
OA B C S OB a ===⋅四边形，
⋯，
2222
221133)2288
n n n
n OA B C n a S OB n a n ===⋅=
四边形．
故答案为：22
38
n a ．
三、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：13()(2)22
m m m m +
÷-+++，其中0
3tan 30(3)m π=︒+-． 【解答】解：原式222143
22
m m m m m ++-+=÷
++ 2(1)2
2(1)(1)
m m m m m ++=
++- 1
1
m m +=-，
03tan30(3)311m π=︒+-=+=，
原式=
=
=
20．（14分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【解答】解：（1）本次被调查的学生有由1224%50÷=（人)，
则“非常了解”的人数为5010%5
⨯=（人)，“了解很少”的人数为5036%18
⨯=（人)，“不了解”的人数为50(51218)15
-++=（人)，
补全图形如下：
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是
512
1200408
50
+
⨯=（人)；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有12种结果，
所以恰好抽到一男一女的概率为123 205
=．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，2
DF m
=，30
CEB
∠=︒，45
CDB
∠=︒，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数
1.41
≈， 1.73)
≈
【解答】解：设CB 部分的高度为xm ． 45BDC BCD ∠=∠=︒， BC BD xm ∴==．
在Rt BCD ∆中，()sin 45sin 45
BC x
CD m =
=︒． 在Rt BCE ∆中，30BEC ∠=︒， 22()CE BC x m ∴==． CE CF CD DF ==+，
22x ∴+，
解得：2x =+
2 3.4()BC m ∴=+≈．
答：CB 部分的高度约为3.4m ．
22．（10分）如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限12
y x
=-的图象上，点B 在第一
象限2k y x
=的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，32AD =，
3
2
OCBE ODAE S S =
矩形矩形． （1）求点B 的坐标．
（2）若点P 在x 轴上，3BPE S ∆=，求直线BP 的解析式．
【解答】解：（1）32OCBE ODAE S S =矩形矩形，点B 在第一象限2k
y x =的图象上，
点A 在第四象限12
y x
=-的图象上，
2ODEA S ∴=矩形 3
232OCBE S ∴=⨯=矩形，
3k ∴=，
23y x
∴=
， 32OE AD ==
， B ∴的横坐标为
32
， 代入23
y x
=
得，3232
y ==，
3
(2
B ∴，2)；
（2）设(,0)P a ， 113
|222
BPE S PE BE a ∆=
=⨯-、23⨯=， 解得32a =-或9
2
，
∴点3(2P -
，0)或9
(2
，0)， 设直线BP 的解析式为(0)y mx n m =+≠， ①若直线过3
(2
，2)，3(2-，0)，
则
3
2
2
3
2
m n
m n
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
，解得
2
3
1
m
n
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BP的解析式为
2
1
3
y x
=+；
②若直线过
3
(
2
，2)，
9
(
2
，0)，
则
3
2
2
9
2
m n
m n
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，解得
2
3
3
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BP的解析式为
2
3
3
y x
=-+；
综上，直线BP的解析式是
2
1
3
y x
=+或
2
3
3
y x
=-+．
五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（12分）如图，ABC
∆内接于O，AD与BC是O的直径，延长线段AC至点G，使A G A D
=，连接DG交O于点E，//
EF AB交AG于点F．
（1）求证：EF与O相切．
（2
）若EF=，4
AC=，求扇形OAC的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接OE，OD OE
=，
D OED
∴∠=∠，
AD AG
=，
D G
∴∠=∠，
OED G ∴∠=∠，
//OE AG ∴， BC 是O 的直径，
90BAC ∴∠=︒，
//EF AB ，
180BAF AFE ∴∠+∠=︒，
90AFE ∴∠=︒，
//OE AG ，
18090OEF AFE ∴∠=︒-∠=︒，
OE EF ∴⊥，
EF ∴与O 相切；
（2）解：如图2，连接OE ，过点O 作OH AC ⊥于点H ，
4AC =，
122CH AC ∴==，
90OHF HFE OEF ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OEFH 是矩形，
∴OH EF ==
在Rt OHC ∆中，
4OC ==，
4OA AC OC ===，
AOC ∴∆是等边三角形，
60AOC ∴∠=︒，
260483603
OAC S ππ⋅∴==扇形． 六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（12分）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价1y （元)与月份(112x x 剟，且x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本2y （元)与月份(112x x 剟，且x 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
（1）求1y 与x 之间的函数关系式．
（2）求2y 与x 之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w （元)，求w 与x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y kx b =+，
将(3，12)(4，14)代入1y 得，312414k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：26k b =⎧⎨=⎩
， 1y ∴与x 之间的函数关系式为：126y x =+；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为(3,9)，
∴设2y 与x 之间的函数关系式为：22(3)9y a x =-+，
将(5,10)代入22(3)9y a x =-+得2(53)910a -+=，
解得：14
a =， 22211345(3)94424
y x x x ∴=-+=-+； （3）由题意得，22121345172126424424
w y y x x x x x =-=+-+-=-+-， 104
-<，
w
∴由最大值，
∴当
7
27
1
22()
4
b
x
a
=-=-=
⨯-
时，2
1721
777
424
w=-⨯+⨯-=
最大
．
所以7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元．
七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）25．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，120
BAD
∠=︒，点E在射线AC上（不包括点A 和点)
C，过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且//
GH DC，点F在BC的延长线上，CF AG
=，连接ED，EF，DF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，
①判断AEG
∆的形状，并说明理由．
②求证：DEF
∆是等边三角形．
（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，DEF
∆是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【解答】（1）①解：AEG
∆是等边三角形；理由如下：
四边形ABCD是菱形，120
BAD
∠=︒，
//
AD BC
∴，AB BC CD AD
===，//
AB CD，
1
60
2
CAD BAD
∠=∠=︒，
180
BAD ADC
∴∠+∠=︒，
60
ADC
∴∠=︒，
//
GH DC，
60
AGE ADC
∴∠=∠=︒，
60 AGE EAG AEG
∴∠=∠=∠=︒，AEG
∴∆是等边三角形；
②证明：AEG
∆是等边三角形，AG AE
∴=，
CF AG
=，
AE CF
∴=，
四边形ABCD是菱形，
120
BCD BAD
∴∠=∠=︒，
60
DCF CAD
∴∠=︒=∠，
在AED
∆和CFD
∆中，
AD CD
EAD FCD AE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
AED CFD SAS
∴∆≅∆
DE DF
∴=，ADE CDF
∠=∠，
60
ADC ADE CDE
∠=∠+∠=︒，
60
CDF CDE
∴∠+∠=︒，
即60
EDF
∠=︒，
DEF
∴∆是等边三角形；
（2）解：DEF
∆是等边三角形；理由如下：同（1）①得：AEG
∆是等边三角形，
AG AE
∴=，
CF AG
=，
AE CF
∴=，
四边形ABCD是菱形，
120
BCD BAD
∴∠=∠=︒，
1
60
2
CAD BAD
∠=∠=︒，
60
FCD CAD ∴∠=︒=∠，
在AED
∆和CFD
∆中，
AD CD
EAD FCD AE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
AED CFD SAS
∴∆≅∆，
DE DF
∴=，ADE CDF
∠=∠，
60 ADC ADE CDE
∠=∠-∠=︒，
60
CDF CDE
∴∠-∠=︒，
即60
EDF
∠=︒，
DEF
∴∆是等边三角形．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点(0,4)C ，交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，连接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90︒，得到线段FP ，过点P 作//PH y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点(,0)E a ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若AOC ∆与FEB ∆相似，求a 的值．
（3）当2PH =时，求点P 的坐标．
【解答】解：（1）点(0,4)C ，则4c =，
二次函数表达式为：24y x bx =-++，
将点A 的坐标代入上式得：014b =--+，解得：3b =，
故抛物线的表达式为：234y x x =-++；
（2）1tan 4
AO ACO CO ∠==， AOC ∆与FEB ∆相似，则FBE ACO ∠=∠或CAO ∠， 即：1tan 4
FEB ∠=或4， 四边形OEFG 为正方形，则FE OE a ==，
4EB a =-， 则144
a a =-或44a a =-， 解得：165a =或45；
（3）令2340y x x =-++=，解得：4x =或1-，故点(4,0)B ；
分别延长CF 、HP 交于点N ，
90PFN BFN ∠+∠=︒，90FPN PFN ∠+∠=︒， FPN NFB ∴∠=∠，
//GN x 轴，FPN NFB FBE ∴∠=∠=∠， 90PNF BEF ∠=∠=︒，FP FB =， ()PNF BEF AAS ∴∆≅∆，
FN FE a ∴==，4PN EB a ==-， ∴点(2,4)P a ，点2(2,464)H a a a -++， 2PH =，
即：246442a a -++-=±，
解得：1a =或12，
故：点P 的坐标为(1,4)或(2,4)或，4)．。