2022版高考数学一轮复习 考案8 第八章 解析几何(含解析)新人教版

第八章 解析几何
(时间 : 120分钟 总分值150分)
一、单项选择题(本大题共8个小题 , 每道题5分 , 共40分 , 在每道题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2021·吉林长春实验中学期末)设△ABC 的一个顶点是A (－3 , 1) , ∠B , ∠C 的平分线方程分别为x ＝0 , y ＝x , 那么直线BC 的方程为( B )
A ．y ＝2x ＋5
B ．y ＝2x －5
C ．y ＝3x ＋5
D ．y ＝12x ＋5
2
[解析] A 关于y ＝x 的对称点为A 1(1 , －3) , A 关于x ＝0的对称点为A 2(3,1) , 又A 1、A 2
都在BC 上 , ∴k BC ＝2.∴BC 的方程为y ＋3＝2(x －1) , 即y ＝2x －5.
2．(2021·云南昆明一中摸底)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 2＝1的渐近线的距离为( B )
A.1
2 B ．
2
2
C ．
3
2
D ．2
[解析] 因为抛物线的焦点为(1,0) , 双曲线的渐近线为x ±y ＝0 , 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 d ＝
|1±0|
12＋12
＝
2
2
, 应选B. 3．(2021·广西钦州一中月考)已知抛物线C : y 2＝8x 的焦点为F , 准线为l , P 是l 上一点 , Q 是直线PF 与C 的一个交点 , 假设FP →＝4FQ →
, 那么|QF |＝( C )
A.7
2 B ．5
2
C ．3
D ．2
[解析] 如下列图 :
过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′ , 因为FP →＝4FQ →
, 所以|PQ ||PF |＝3
4 , 又焦点F 到准线l 的距离为4 ,
所以|QF |＝|QQ ′|＝3.应选C.
4．(2021·四川南充适应性考试)过圆O : x 2＋y 2＝4外一点M (4 , －1)引圆的两条切线 , 那么经过两切点的直线方程为( A )
A ．4x －y －4＝0
B ．4x ＋y －4＝0
C ．4x ＋y ＋4＝0
D ．4x －y ＋4＝0
[解析] 设切点为N (x 0 , y 0) , 那么切线方程为xx 0＋yy 0＝4 , 又切线过点(4 , －1) , ∴4x 0－y 0＝4 , 即切点在直线4x －y ＝4上 , ∴过两切点的直线方程为4x －y －4＝0.
5．(2021·陕西百校联盟联考)已知椭圆C : x 28＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1 , F 2 , 直线
l 过点F 2且与椭圆C 交于M , N 两点 , 且MA →＝AN →
, 假设|OA |＝|AF 2| , 那么直线l 的斜率为( B )
A ．±1
B ．±1
2
C ．±1
3
D ．±14
[解析] 设M (x 1
, y 1
) , N (x 2
, y 2
) , 那么⎩⎪⎨⎪
⎧
x 218＋y 21
2
＝1
x 22
8＋y 22
2＝1
两式相减可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)
8
＋
(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2＝0 , 那么k OA ·k MN ＝－14 ; 因为|OA |＝|AF 2| , 故k OA ＝－k MN , 解得是k MN ＝±1
2 ,
故直线l 的斜率为±12
.
6．(2019·高考天津卷)已知抛物线
y 2＝4x
的焦点为F , 准线为l , 假设l 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2
＝1(a >0 , b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B , 且|AB |＝4|OF |(O 为原点) , 那么双曲线的离心率为( D )
A.2 B ．3 C ．2
D ． 5
[解析] 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1 , 双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ,
那么有A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 b a , B ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－1 －b a ,
∴|AB |＝
2b a , 2b
a
＝4 , b ＝2a , ∴e ＝c a
＝
a 2＋
b 2
a
＝ 5.应选D. 7．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)已知双曲线C : x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0 , b >0)的右焦点与圆M : (x －
2)2＋y 2＝5的圆心重合 , 且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2 , 那么双曲线的离心率为( A )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
[解析] 由已知 , c ＝2 , 渐近线方程为bx ±ay ＝0 , 因为圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2 , 所以圆心M 到渐近线的距离为r 2－(2)2＝3＝
2b
a 2＋
b 2
＝
2b
c
＝b , 故a ＝c 2－b 2＝1 , 所以离心率为e ＝c
a
＝2.应选A.
8．(2021·湖南省六校联考)已知F 1 , F 2是椭圆与双曲线的公共焦点 , P 是它们的一个公共点 , 且|PF 1|>|PF 2| , 线段PF 1的垂直平分线过F 2 , 假设椭圆的离心率为e 1 , 双曲线的离心率为e 2 , 那么2e 1＋e 2
2
的最小值为( C )
A.6 B ．3 C ．6
D ． 3
[解析] 设椭圆长轴2a 1 , 双曲线实轴2a 2 ,
由题意可知 : |F 1F 2|＝|F 2P |＝2c , 又∵|F 1P |＋|F 2P |＝2a 1 , |F 1P |－|F 2P |＝2a 2 , ∴|F 1P |＋2c ＝2a 1 , |F 1P |－2c ＝2a 2 ,
两式相减 , 可得 : a 1－a 2＝2c ,
∵2e 1＋e 22＝2a 1c ＋c 2a 2＝4a 1a 2＋c 2
2ca 2
, ∴2e 1＋e 22＝4(2c ＋a 2)a 2＋c 22ca 2＝8ca 2＋4a 22＋c 22ca 2＝4＋2a 2c ＋c 2a 2
≥4＋22a 2c ·c
2a 2
＝6 , 当且仅当2a 2c ＝c
2a 2时取等号 ,
∴2e 1＋e 2
2
的最小值为6 , 应选C. 二、多项选择题(本大题共4个小题 , 每道题5分 , 共20分 , 在每道题给出的四个选项中 , 有多项符合题目要求全部选对的得5分 , 局部选对的得3分 , 有选错的得0分)
9．(2021·山东滨州期末)已知双曲线C : x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0 , b >0)的左、右焦点分别为F 1(－
5,0) , F 2(5,0) , 那么能使双曲线C 的方程为x 216－y 2
9
＝1的是( ABC )
A ．离心率为5
4
B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
5 94
C ．渐近线方程为3x ±4y ＝0
D ．实轴长为4
[解析] ∵c ＝5 , 由e ＝c a ＝5
4知a ＝4 , ∴b 2＝c 2－a 2＝9 , A 正确 ; ∵双曲线过点P ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫5 94 , ∴2a
＝|PF 1|－|PF 2|＝
414－94＝8 , ∴a ＝4 , B 正确 ; 由渐近线方程为3x ±4y ＝0知b a ＝34
, 又c 2＝a 2＋b 2＝25 , ∴a ＝4 , b ＝3 , C 正确 ; 假设2a ＝4 , 那么a ＝2 , 从而b 2＝c 2－a 2＝21 , D 错 , 应选ABC.
10. (2021·广东实验中学阶段测试)1970年4月24日 , 我国发射了自己的第一颗人造地球卫星〞东方红一号〞 , 从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律 : 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时 , 其运行速度是变化的 , 速度的变化服从面积守恒规律 , 即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c , 以下结论正确的选项是( ABD )
A ．卫星向径的取值范围是[a －c , a ＋c ]
B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大 , 椭圆轨道越扁
D ．卫星运行速度在近地点时最大 , 在远地点时最小
[解析] 由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离 , 所以最小值为a －c , 最大值为a ＋c , 所以A 正确 ; 根据在相同时间内扫过的面积相等 , 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 , 故B 正确 ; 卫星向径的最小值与最大值的比值越小 , 即a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝－1＋21＋e 越小 , 那么e 越大 , 椭圆越扁 , 故C 不正确 ; 因为运行速度是变化的 , 向径是变化的 , 所以卫星运行速度在近地点时向径越小 , 在远地点时向径越大 , 卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等 , 那么向径越大 , 速度越小 , 所以卫星运行速度在近地点时最大 , 在远地点时最小 , 故D 正确 ; 应选ABD.
11．(2021·山东质检)已知双曲线C : x 29－y 216＝1 , 过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两
点A , B , 那么( BD )
A ．假设A ,
B 同在双曲线的右支 , 那么l 的斜率大于4
3
B ．假设A 在双曲线的右支 , 那么|F A |最短长度为2
C ．|AB |的最短长度为32
3
D ．满足|AB |＝11的直线有4条
[解析] 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±43x , 假设A 、B 同在双曲线的右支 , 那么k l >4
3或
k l <－4
3
, ∴A 错 ; |F A |min ＝c －a ＝
9＋16－3＝2 , ∴B 正确 ; 当A 、B 均在双曲线右支上时 ,
|AB |的长度最短⇔AB ⊥x 轴 , 当x ＝5时 , y ＝±163 , ∴|AB |min ＝32
3 , 当A 、B 分别在左右两支上时
|AB |min ＝2a ＝6 , ∴|AB |的最短长度为6 , ∴C 错 ; 由以上讨论可知当A 、B 均在右支上时 , 满足|AB |＝11的直线有两条 , 当A 、B 分别在左右两支上时 , 满足|AB |＝11的直线有两条 , 故共有4条 , ∴D 正确．
12．(2021·江苏南通调研)已知抛物线C : y 2＝2px 过点P (1,1) , 那么以下结论正确的选项是( BCD )
A ．点P 到抛物线焦点的距离为3
2
B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q , 那么△OPQ 的面积为5
32
C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0
D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M , N , 那么直线MN 的斜率为定值
[解析] ∵抛物线C : y 2＝2px 过点P (1,1) , ∴p ＝1
2 , ∴y 2＝x , 故该抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫14 0 ,
准线方程为x ＝－14 , 故点P 到抛物线焦点的距离为54 , 故A 错误 ; △OPQ 的面积S ＝p 2
2sin θ＝
14
2×45＝5
32 , 故B 正确 ; 设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1－k , 与抛物线联立并化简得ky 2－y ＋1－k ＝0 , Δ＝1－4k (1－k )＝0 , 解得k ＝1
2 , 故过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1
＝0 , C 正确 ; 设PM 的斜率为k , 那么PN 的斜率为－k , 求得M
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫(1－k )2
k 2
1－k k
, N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫(1＋k )2
k 2
－1＋k k , 求得MN 的斜率为－1
2
, D 正确 , 应选BCD.
三、填空题(本大题共4小题 , 每道题5分 , 共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2021·广东广州综合测试)斜率为
3
3
的直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点 , 假设直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝4相切 , 那么p ＝ 12 .
[解析] 斜率为3
3的直线l 过抛物线C : y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫p 2 0 ,
直线l 的方程为y ＝
33⎝⎛⎭⎫x －p 2 , 即x －3y －p
2
＝0 , ∵直线l 与圆M : (x －2)2＋y 2＝4相切 , 圆心为(2,0) , 半径为2 ,
∴
⎪⎪⎪
⎪
2－p 23＋1
＝2 , 解得p ＝12或p ＝－4(舍去)．
故答案为 : 12.
14．(2021·山西八校联考改编)已知双曲线C : x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0 , b >0)的左、右焦点分别为
F 1 , F 2 , 过F 1的直线与C 的左支交于A , B 两点 , 且AF 1→＝3F 1B →
, ∠ABF 2＝90° , 那么C 的离心率是
10
2
. [解析] 如下列图 , 不妨设|F 1B |＝1 , 那么|AB |＝4 , |F 2B |＝2a ＋1 , |F 2A |＝2a ＋3 , 在Rt △ABF 2中 , 由勾股定理得16＋(2a ＋1)2＝(2a ＋3)2 , 解得a ＝1.
在Rt △F 1BF 2中 ,
|F 1B |＝1 , |F 2B |＝2a ＋1＝3 , |F 1F 2|＝2c , ∴1＋9＝4c 2 , ∴c ＝
102 , ∴e ＝c a ＝102
. 15．(2020·安徽1号卷A10联前盟联考)已知抛物线C : y 2＝2px (p >0)的焦点为F , 点M 、N 在抛物线上 , 且M 、N 、F 三点共线 , 点P 在准线l 上 , 假设PN →＝NM →
, 那么p |MF |＝
23
. [解析] 分别过点M , N 作准线的垂线 , 垂足分别为M 1 , N 1 , 那么|MM 1|＝|MF | , |NN 1|＝|NF | ,
∴|PN ||PM |＝|NN 1||MM 1|＝|NF ||MF |＝12
设|NF |＝m , 那么|MF |＝2m , 从而|PN |＝3m , ∴m p ＝3m 4m ＝34 , 那么m ＝34p , ∴p |MF |＝p 2m ＝23
. 16．(2021·山东日照联考)已知椭圆M : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) , 双曲线N : x 2m 2－y 2
n 2＝1(m >0 ,
n >0)．假设双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 , 那么椭圆M 的离心率为
3－1 ; 双曲线N 的离心率为 2 .
[解析] 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ＋3c , 再根据椭圆定义得c ＋3c ＝2a , 所以椭圆M 的离心率为c a ＝2
1＋3＝3－1.双曲线N 的渐近线方程为y ＝
±n m x , 由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3 , ∴n 2m 2＝tan 2π3＝3 , ∴e 2
＝m 2＋n 2m 2＝m 2＋3m 2
m 2
＝4 , ∴e ＝2. 四、解答题(本大题共6个小题 , 共70分 , 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值10分)(2021·江苏徐州学情调研)在①离心率为 3 , 且经过点(3,4) ; ②离心率为1
2 , 且焦距为2.这两个条件中任选一个 , 补充在下面的问题中 , 假设问题中的直
线l 存在 , 求出l 的方程 ; 假设问题中的直线l 不存在 , 说明理由．
问题 : 已知曲线C : mx 2＋ny 2＝1(m , n ≠0)的焦点在x 轴上 , , 是否存在过点P (－1,1)的直线l , 与曲线C 交于A , B 两点 , 且P 为线段AB 的中点 ？
注 : 假设选择条件①和条件②分别解答 , 按第一个解答计算． [解析] 选条件① : 由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线 , 设m ＝1a 2 , n ＝－1
b 2(a >0 , b >0) ,
所以C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0 , b >0) ,
由题设得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2a
2
＝3
9a 2
－16b 2
＝1
, 解得a 2＝1 , b 2＝2 ,
所以C 的方程为x 2－
y 2
2
＝1 , 1°当直线l 的斜率不存在时 , 直线l 的方程为x ＝－1 , 与曲线C 有且仅有一个交点(－1,0) , 不符合题意 ; 2°当直线l 的斜率存在时 , 设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2) , 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1) , 即y ＝k (x ＋1)＋1 , 入x 2－
y 2
2
＝1得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0(*) , 假设2－k 2＝0 , 即k ＝±2时 , 方程(*)有且仅有一解 , 不符合题意 ;
假设2－k 2≠0 , 即k ≠±2时 ,
其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k ＋3)>0 , 那么k >－3
2 ,
所以方程(*)有两个不同实数解时 , k >－3
2
且k ≠±2 ,
于是x 1＋x 2＝－－2k (k ＋1)
2－k 2＝2·(－1)＝－2 ,
解得k ＝－2 , 与k >－3
2
且k ≠±2矛盾 !
所以 , 不存在直线l , 与曲线C 交于A , B 两点 , 且P 为线段AB 的中点． 选条件② : 由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆 , 设m ＝1a 2 , n ＝1
b
2(a >b >0) ,
所以C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0) ,
由题设得⎩⎨
⎧
a 2－
b 2a 2＝1
42
a 2－
b 2＝2
, 解得a 2＝4 , b 2＝3 ,
所以C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1 ,
1°当直线l 的斜率不存在时 , 直线l 的方程为x ＝－1 , 代入x 24＋y 23＝1得y ＝±32
,
P (－1,1)不是线段AB 的中点 , 不符合题意 ; 2°当直线l 的斜率存在时 , 设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2) , 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1) , 即y ＝k (x ＋1)＋1 , 代入x 24＋y 2
3
＝1得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0 ,
其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)>0 , 于是x 1＋x 2＝－8k (k ＋1)3＋4k 2
＝2·(－1)＝－2 ,
解得k ＝3
4
,
故y ＝34(x ＋1)＋1＝34x ＋7
4
, 即3x －4y ＋7＝0 ,
所以存在直线l : 3x －4y ＋7＝0 , 与曲线C 交于A , B 两点 , 且P 为线段AB 的中点． 18．(本小题总分值12分)(2021·安徽蚌埠质检)已知抛物线C : y 2＝2px (p ＞0) , 过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P , Q 两点 , |PQ |＝4.
(1)求抛物线C 的方程 , 并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程 ;
(2)过点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点A , B , 直线OA 与准线l 交于点M .连接MF , 过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证 : O , B , N 三点共线(O 为坐标原点)．
[解析] (1)|PQ |＝2p ＝4 , 那么p ＝2 , 故抛物线C 的方程为y 2＝4x , 其焦点F 坐标为(1,0) , 准线l 方程为x ＝－1.
(2)设直线AB : x ＝ty ＋1 , 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋1y 2＝4x
,
得y 2－4ty －4＝0.
设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2) , 那么y 1＋y 2＝4t , y 1y 2＝－4 , 直线OA : y ＝y 1x 1x , 由y 21＝4x 1得y ＝4
y 1
x , 故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1 －4y 1
.
直线MF 的斜率k MF ＝
－4y 1
－0－1－1＝2y 1
,
直线FN 的斜率k FN ＝－y 1
2
.
直线FN : y ＝－y 1
2(x －1) , 那么N (－1 , y 1) ,
直线ON 的斜率k ON ＝－y 1 , 直线OB 的斜率k OB ＝y 2
x 2
,
由y 22＝4x 2得k OB ＝4y 2
, 那么k OB －k ON ＝4y 2－(－y 1)＝4＋y 1y 2y 2＝4－4y 2
＝0. ∴O , B , N 三点共线．
19．(本小题总分值12分)(2019·天津高考卷)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F , 上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 , 离心率为
55
. (1)求椭圆的方程 ;
(2)设点P 在椭圆上 , 且异于椭圆的上、下顶点 , 点M 为直线PB 与x 轴的交点 , 点N 在y 轴的负半轴上．假设|ON |＝|OF |(O 为原点) , 且OP ⊥MN , 求直线PB 的斜率．
[解析] (1)设椭圆的半焦距为c , 依题意 , 2b ＝4 ,
c a ＝55
, 又a 2＝b 2＋c 2 , 可得a ＝ 5 , b ＝2 , c ＝1. 所以 , 椭圆的方程为x 25＋y 2
4
＝1. (2)由题意 , 设P (x P , y P )(x P ≠0) , M (x M,0)．
设直线PB 的斜率为k (k ≠0) , 又B (0,2) ,
那么直线PB 的方程为y ＝kx ＋2 , 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2 x 25＋y 24＝1
整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0 ,
可得x P ＝－20k
4＋5k 2 , 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 2
4＋5k 2 , 进而直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k
. 在y ＝kx ＋2中 , 令y ＝0 , 得x M ＝－2k
. 由题意得N (0 , －1) , 所以直线MN 的斜率为－k 2
.
由OP ⊥MN , 得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭
⎫－k 2＝－1 , 化简得k 2＝245 , 从而k ＝±2305
. 所以 , 直线PB 的斜率为2305或－2305
. 20．(本小题总分值12分)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左 , 右焦点分别为F 1 , F 2 , 离心率为12
, 点A 在椭圆C 上 , |AF 1|＝2 , ∠F 1AF 2＝60° , 过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P , Q 两点．
(1)求椭圆C 的方程 ;
(2)假设P , Q 的中点为N , 在线段OF 2上是否存在点M (m,0) , 使得MN ⊥PQ ？假设存在 , 求实数m 的取值范围 ; 假设不存在 , 说明理由．
[解析] (1)由e ＝12
得a ＝2c , |AF 1|＝2 , |AF 2|＝2a －2 ,
由余弦定理得 , |AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2 ,
解得c ＝1 , a ＝2 , b 2＝a 2－c 2＝3 , 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)存在这样的点M .
设P (x 1 , y 1) , Q (x 2 , y 2) , N (x 0 , y 0) ,
由F 2(1,0) , 设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1) ,
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1 y ＝k (x －1)得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0 ,
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝
8k 24k 2＋3 ,
故x 0＝x 1＋x 22＝4k 2
4k 2＋3 ,
又点N 在直线PQ 上 , 所以y 0＝－3k
4k 2＋3 , 所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4k 2
4k 2＋3 －3k 4k 2＋3. 因为MN ⊥PQ , 所以k MN ＝0－－3k 4k 2＋3
m －4k 24k 2＋3＝－1k , 整理得m ＝k 24k 2＋3＝1
4＋3k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
0 14 , 所以存在点M (m,0) , 使得MN ⊥PQ ,
m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
0 14. 21．(本小题总分值12分)(2021·浙江金色联盟百校联考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点
为F , 点F 到抛物线准线的距离为2 , 假设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点也为F , 离心率为12
. (1)求抛物线方程和椭圆方程 ;
(2)假设不经过F 的直线l 与抛物线交于A , B 两点 , 且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点) , 直
线l 与椭圆交于C , D 两点 , 求△CDF 面积的最大值．
[解析] (1)由已知得 , p ＝2 , F (1,0) ,
∴c ＝1 , e ＝c a ＝12
, ∴a ＝2 , b 2＝a 2－c 2＝3 , 所以抛物线方程为y 2＝4x ,
椭圆方程为x 24＋y 23
＝1. (2)设直线l 方程为 : my ＝x ＋n ,
由⎩⎨⎧
y 2＝4x my ＝x ＋n 消去x 得 , y 2－4my ＋4n ＝0 , 由Δ＝(4m )2－4·4n ＝16m 2－16n >0即m 2－n >0 , 设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2) , 那么⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝4n
因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝16n 216
＋4n ＝n 2＋4n ＝－3 , 所以n ＝－3或n ＝－1(舍去) ,
所以直线l 方程为 : my ＝x －3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 23＝1 my ＝x －3 消去x 得 , (3m 2＋4)y 2＋18my ＋15＝0. 设C (x C , y C ) , D (x D , y D ) , 那么⎩⎪⎨⎪⎧ y C ＋y D ＝－18m 3m 2＋4 y C y D ＝153m 2＋4
所以S △CDF ＝12|EF |·|y C －y D |＝12
×2×|y C －y D |＝|y C －y D | ＝(y C ＋y D )2－4y C y D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－18m 3m 2＋42－603m 2＋4
＝43·3m 2－5
3m 2＋4.
令3m 2－5＝t (t >0) , 那么m 2＝
t 2＋53 ,
所以S (t )＝43·t t 2＋9＝43t ＋9
t
≤436＝233 , 当且仅当t ＝3时 , 即m ＝±423时 , 取最大值233
. 22．(本小题总分值12分)(2021·云南玉溪质检)如下列图 , 在平面直角坐标系中 , 已知点F (－2 , 0) , 直线l : x ＝－4 , 过动点P 作PH ⊥l 于点H , ∠HPF 的平分线交x 轴于点M , 且|PH |＝2|MF | , 记动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程 ;
(2)过点N (0,2)作两条直线 , 分别交曲线C 于A , B 两点(异于N 点)．当直线NA , NB 的斜率之和为2时 , 直线AB 是否恒过定点 ？假设是 , 求出定点的坐标 ; 假设不是 , 请说明理由．
[解析] (1)设P (x , y ) , 由已知PH ∥FM ,
∴∠HPM ＝∠FMP ,
∵∠HPM ＝∠FPM , ∴∠FMP ＝∠FPM , ∴|MF |＝|PF | ,
∴|PF ||PH |＝|MF ||PH |＝22
, 即(x ＋2)2＋y 2|x ＋4|
＝22 , 化简得x 28＋y 2
4
＝1 , ∴曲线C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1(y ≠0)． (2)当直线AB 的斜率存在时 ,
设其方程为y ＝kx ＋m (k ≠0 , m ≠2) ,
且设A (x 1 , y 1) , B (x 2 , y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m
x 28＋y 24＝1 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0 ,
由已知Δ>0 , ∴x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2 , x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2 , 由已知k NA ＋k NB ＝2 , 得kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2
＝2 , 整理得2(k －1)x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＝0 ,
∴2(k －1)2m 2－81＋2k 2
＋(m －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＝0 , 整理得(m －2)(4k －2m －4)＝0.
∵m ≠2 , ∴m ＝2k －2 ,
∴直线AB 的方程为y ＝kx ＋2k －2 , 即y ＋2＝k (x ＋2)． ∴直线AB 过定点(－2 , －2)．
当直线AB 的斜率不存在时 , 设其方程为x ＝n ,
且设A (n , y 1) , B (n , y 2) ,
其中y 1＝－y 2.
由已知k NA ＋k NB ＝2 ,
得y 1－2n ＋y 2－2n ＝y 1＋y 2－4n ＝－4n
＝2 , ∴n ＝－2 ,
∴直线AB 的方程为x ＝－2 ,
此时直线AB 也过定点(－2 , －2)．
综上所述 , 直线AB 恒过定点(－2 , －2)．。