高三数学第一轮复习 第7编 7空间向量在立体几何中的应用课件 新人教B

| PA m |
α内任一点，则点P到α的距离d=
|m | .
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考点1 用向量证明平行、垂直问题
［2010年高考安徽卷］如图，在多面体ABCDEF中，四 边形ABCD是正方形，EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF, ∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点. （1）求证：FH∥平面EDB; （2）求证：AC⊥平面EDB.
学案7 空间向量在立体几何 中的应用
考纲解读
考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究
考点1 考点2 考点3 考点4
考纲解读
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与
空间向量在 平面、平面与平面的垂直关系、平行关系.
立体几何中
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置 关系的一些定理.
△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
(1)求二面角A′—FD—C的余弦值；
(2)点M,N分别在线段FD,BC上，
若沿直线MN将四边形
MNCD向上翻折，使C与A′
重合，求线段FM的长.
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【分析】（1）建立空间直角坐标系后，求两个面的法向 量所成的角.（2）用待定系数法求解. 【解析】（1）取线段EF的中点H，连接A′H. ∵A′E=A′F及H是EF的中点， ∴A′H⊥EF. 又∵平面A′EF⊥平面BEF, A′H 平面A′EF,∴A′H⊥平面BEF. 如图,建立空间直角坐标系Axyz, 则A′(2,2,2 ),2C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0). 故FA′=(-2,2,2 )2,FD=(6,0,0).
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1.用向量证明平行
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1 与l2重合 v1∥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线
向量v1和v2，则l∥α或l ⊂α ⇔
存在两个实数x,y，使v=xv1+yv2 .
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(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u,
1
,- 1
,0）.
因为CM·SN=（- 21
+1
22
+0）=0,所以CM⊥SN.
(2)NC=（-
1
2
,1,0）,
2
2
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，
则 a·CM=0
a·NC=0,
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1 即 x-y+ 2 z=0
- 1 x+y=0，
2
令x=2,得a=(2,1,-2). - 1 - 1
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利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.
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［2009年高考浙江卷］如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10. (1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE; (2)证明:在△ABO内存在一点M, 使FM⊥平面BOE,并求点 M到OA,OB的距离.
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如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证：EF⊥平面PAB;
(2)设AB= BC，求AC
与平面AEF所2 成角的正弦
值.
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（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴， y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
|cos<a,b>|
| a·b |
= | a || b | .
(2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平
面α的法向量,θ为l与α成的角,则sinθ=
|cos<a,n>|
| a·n |
= | a || n | .
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(3)面面角公式:设n1,n2分别为平面α,β的法向量,二面角为
设（Pa2 ,D0=,01）,A,BB(=aa,，1,0则),CF（(a,a20,,012 ),,A12 (）0,.1,0),P(0,0,1),E
∴EF=（0, 1 , 1 ）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).
22
∴EF·AB=0,EF·PA=0.
} ⇒ ∴ EF⊥AB EF⊥PA
EF⊥平面PAB.
因为|cos<a,SN |
2
2,
3 2 2
2
所以SN与平面CMN所成角为45°.
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（1）本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角 坐标系的建立等知识，重点考查了在空间直角坐标系中点 的坐标的求法，同时考查空间想象能力和推理运算能力， 难度适中.
（2）利用向量法求线面角的方法
一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；二是通过平 面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量 所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
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设n=(x,y,z)为平面A′FD的一个法向量,
∴n·FA′=0,n·FD=0,
∴ -2x+2y+2 2z=0 6x=0.取z= 2 ,则n=(0,-2, 2 ).
又故平co面s<BnE,mF的>=一个| nn法||mm向| 量33m. =(0,0,1), ∴二面角A′—2FD—C的余弦值为 2.
则l∥α或l ⊂α ⇔u·v=0 .
(4)平面⇔ α和β的u1法∥向u. 2量分别为u1,u2，则α∥β或α与β重合
2.用向量证明垂直
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔v1·v2=0 .
(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α ⇔
v∥u .
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(2)设点M的坐标为(x0,y0,0),则
FM=(x0-4,y0,-3).因为FM⊥平面BOE,所以FM∥n,
因此x0=4,y0=
9 ,即点M的坐标是（4,
4
9 ,0）.
4
在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式
组 x>0
y<0
x-y<8.
经检验,点M的坐标满足上述不等式组.
设AC与平面AEF所成角为α,则
|AC|·n 1 3
sinα=|cos<AC,n>|=
= |AC||n|
= 3×2 6
.
∴AC与平面AEF所成角为arcsin 3 .
6
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考点3 用向量方法求二面角
［2010年高考浙江卷］如图，在矩形2 ABCD中，点E,F分 别在线段AB,AD上，AE=EB=AF= 3 FD=4.沿直线EF将
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【分析】建立空间直角坐标系， 利用向量方法做出证明.
【证明】∵四边形ABCD为正方形, ∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC. 又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC. 以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向， 建立如图所示的坐标系.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫作两个 平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫作两个 平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的 长都相等，公垂线段的 长度 叫作两平行平面的 距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.
(4)若平面α的一个 法向量 为m，P是α外一点，A是
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(2)∵AB= 2BC,∴a= 2.
2
11
从而AC=( 2 ,-1,0)，AE=（ 2 ,-1,0）,EF=（0,2 , 2 ）.
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则
{ n·AE=0 n·EF=0
2
{ 2 x-y=0 1 y+ 1 z=0.
2
2
令x= 2 ,则y=1,z=-1,
∴平面AEF的一个法向量为n=(2,1,-1).
设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,1,1),F(0,0,1). (1)设AC与BD的交点为G，连接EG,GH,则G(0,1,0),∴GE=(0,0,1).又HF=(0,0,1), ∴HF∥GE. 又GE 平面EDB,HF 平面EDB, ∴FH∥平面EBD. (2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC·GE=0, ∴AC⊥GE. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β
u1⊥u2 ⇔u1·u2=0 .
⇔
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3.垂线定理及逆定理
设直l线是，平则面lα⊥的c一条⇔ 斜线b⊥，cl在. α内的射影为b,c是α内的一条
4.空间角公式
(1)异面直线成角公式:设a,b分别为异面直线l1,l2的方向向
量,θ为异面直线所成的角,则cosθ=
的应用
4.能用向量方法解决直线与直线，了
解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
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考向预测
从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求 异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点， 题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的 坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将 以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主， 重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力.
θ,则θ=
<n1,或n2θ>=
π-<n1,n2(>需要根据n1 ·n2
具体情况判断相等或互补),其中cos<n1,n2>= | n1 |·| n 2 | .
5.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内 正射影 的距离，叫作点到 这个平面的距离.
(2)已知直线l平行于平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，叫作l到α的距离.
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【解析】 (1)证明:如图,连结OP,以点O为坐标原点,分别 以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标 系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3). 由题意,得G(0,4,0).因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3), 所以平面BOE的法向量n=(0,3,4). 由FG=(-4,4,-3),得n·FG=0. 又直线FG不在平面BOE内, 所以FG∥平面BOE.
3
(2)设FM=x，则M(4+x,0,0).
∵翻折后C与A′重合，∴CM=A′M，
故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2
2
)2,得x=
21 4
,
经检验，此时点N在直线BC上.∴FM=
21 4
.
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利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从 垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就 是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来 求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二 面角的大小等于<n1,n2>（或π-<n1,n2>). 注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形 判断二面角是锐角还是钝角.
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【解析】 (1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直 线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标1 系如图所示,
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0, 2 ）,
N（
1 2
1
,0,0）,S（1, 2
,0）.
所以CM=（1,-1, 1 ）,SN=（-
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•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
所以，在△AOB内存在一点M,使FM⊥平面BOE. 由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4, 9 .
4
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考点2 用向量方法求线面角
［2010年高考辽宁卷］如图，已知三棱1锥P—ABC中， PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB2，N为AB上一 点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. (1)证明：CM⊥SN; (2)求SN与平面CMN所成角的大小. 【分析】根据条件建立空间直角坐标系， 利用向量坐标运算证明、求解.