隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数

偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学
第五节 隐函数及参数方程的求 导方法、高阶导数
一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的函数的微分法 三、对数微分法 四、高阶导数
一、隐函数的微分法
例 1 设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定
函数 y = 求y(dxy)，.
dx
解 在方程两边求微分，
d(x2 + y2 ) = dR2，
2z ( y 2xsin y) 1 2xcos y , x y y
2z y2
( x x2 cos y) x2 sin y, y
2 z ( x x2 cos y) 1 2x cos y . y x x
本例
中 有下述
2z
2z
=
x y y x
这不是偶然的， ，
, 求 y.
( x 1)(x 2)
解 两边取对数，得
ln y 1 [2ln(x 1) ln(x 1) ln(x 2)]， 3
两边求微分，
1 y
dy
1 3
2
1 dx x1
1 dx x 1
x
1
2 dx
所以
y dy 1 y 2 1 1 . dx 3 x 1 x 1 x 2
y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0
补证反三角函数的导数公式：
设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求微分，
dx = cos ydy，
y 1 . cos y
因为 ≤ y ≤ 时， cos y 取正号，
2
2
所以cos y 1 sin2 y 1 x2 .
即
2xdx + 2ydy = 0.
由此，当 y 0 时解得
dy x ， dx y
或
yx
x y
.
例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)，
求 yx .
解 方程两边求微分，得
d(y + x – exy) = d0，
即
dy + dx - dexy = 0，
dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0.
x cos x dx x sin x dx (lnsin x lncos x)dx ，
sin x
cos x
所以
y dy y x cot x x tan x ln sin x
dx
cos x
(tan x)x ( x cot x x tan x ln tan x).
四、函数的高阶导数
1 3 ( x 1)2 2 1 1 . 3 ( x 1)(x 2) x 1 x 1 x 2
例 8 设 y = (tan x)x，求 y .
解 lny = xln(tan x) = x(lnsin x - lncos x)
1 dy xd(ln sin x lncos x) (ln sin x lncos x)dx y
定理：
定理
如果函数 z = f (x , y) 在区域 D 上两
个二阶混合偏导数2 z x y
2z 、 y x
连续，
则在区域 D 上有
2z 2z . x y y x
即当二阶混合偏导数在区域 D 上连续时，
求导结果与求导次证序明无从关略，. 这个定理也适用于三 元及三元以上的函数.
例 1 设 z arctan y , 试求 2 z ， 2 z .
当 1 - xexy 0 时，解得
dy dx
ye xy 1， 1 xe xy
即
yx
ye xy 1 1 xe xy
.
例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对
应于曲线上的点的切线方程.
解 方程两边求微分，得
2xdx + 4y3dy = 0，
得
dy x ( y 0). dx 2 y3
将 x = 4 代入方程，得 y = 1. 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上 有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， 在 P2 处切线的斜所率以y，|(在4, 点- 1) P=1 处2.的切线方程为
y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为
3
点 P 处的切线方程为
y 1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，
地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线 为 由物y理轴学(知如道图它).的运动方程为
y
x
y
v0t v0t
cos sin
,
1 2
gt 2
x2
x
y2
1 ( x2 y2 ) x(2x 0)
(x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
验证了
2z 2z . x y y x
例 1 设 u e xyz , 求 3u .
4
x y z
解 因为
u yze xyz , x
2u ( yze xyz ) z ( ye xyz )
dx (t)dt
yx
f (t)
(t )
.
例4
设参数方程
x
y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解
dx = - a sin tdt，
所以
dy = bcos tdt ，
dy bcos tdt b cot t. dx a sintdt a
例5 应t 于
x y y
y
z[e xyz ye xyz xz]
z(1 xyz)exyz ,
所以
3u x y z
z
2u x y
[z(1 xyz)e xyz ] z
(1 xyz)exyz z xye xyz
+ z(1 + xyz)exyz × xy
(1 3xyz x 2 y2z2)exyz.
例 9 设 y = ex，求 y(n). 解 y = ex，y = ex， · · · ，y(n) = ex .
例 10 设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y (0)， y(0)， · · · ，y(n)(0).
解 y 1 ， 1 x
y(0) 1；
y [(1 x)1] (1)(1 x)2，
v02 2v0 gt sin g2t 2，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿
炮弹的前进方向，其斜率为
dy v0 sin gt . dx v0 cos
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻t0
2v0
sin
g
，
所以射程 x v02 sin2 .
t0
g
三、对数微分法
3
例 7 设y
( x 1)2
z x
y
y
z x
2z x y
f xy ( x, y)
zxy;
z y
x
Байду номын сангаас
x
z y
2z y x
f yx ( x, y)
zyx ;
z y
y
y
z y
2z y2
f yy ( x, y) zyy .
其中 f xy ( x, y) 及f yx ( x, y)
数.
称为二阶混合偏导
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数，
.
O
中弹点
x
求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，(2)如果
中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.
解 (1)炮弹的水平方向速度为
vx
dx dt
v0 cos .
y Vy
炮弹的垂直方向速度为
Vx
vy
dy dt
v0
sin
gt，
O
所以，在 t 时炮弹速度的大小为
中弹点
x
| v |
v
2 x
v
2 y
3
求摆线
x
y
a(t a(1
sin t ) ， cos t)
(a 为常数) 在对
时曲线上点的切线方程 .
解
与t
3
对应的曲线上的点为P
a
3
3 2
,
1 2
a
,
dy = asin t dt ，
dx = a(1 – cos t)dt ，
所以
dy sint dy
,
3.
dx 1 cos t dx t π
(arcsin x) 1 . 1 x2
二、由参数方程所确定的 函数的微分法
参数方程，它的一般形式为
x
y
f
(t )， (t )，t
区间I
.
① ②
对方程 ② 两边求微分，得
dy = f (t)dt，
③
同样对方程 ① 两边求微分，得
dx = (t)dt，
④
③得 ④ 即
dy f (t)dt ,
y(0) 1； y (1)(2)(1 x)3，
y(0) (1)(2) 2!；
y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 ,
y(4) (0) (1)(2)(3) (1)3 3!；
y(n) (1)(2)(3)[(n 1)](1 x)n , y(n)(0) (1)(2)[(n 1)]
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求
导
，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作
f
(x)
或
y
或
d2 y dx 2
.
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作
f
(x)
或
d3 y dx 3
.
四阶或四阶以上导数记为 或y(4)，ddx4 yy4 (,5)，····dd，xn·yn ,·，y(n) 而把 f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而 f x( x, y) ,
f y(x, y)称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏
导数.
例 1 求函数 z xy x2 sin y
的所有二阶偏导
2 数. 解 因为 z y 2xsiny ,
x
z x x2 cos y , y
所以
2z x2
( y 2xsiny) 2siny , x