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a cb 点阵矢量：
14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相 同“的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出 能够反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种， 这14种空间点阵也称布拉菲点阵。
三斜：简单三斜 a b c , 9 0 o
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数[U V W] 四轴晶向指数[u v t w]
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l)
i=- ( h + k )
晶面法线
晶面指数确定了晶面的法线和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
h :k :l c o s :c o s:c o s
co s2co s2co s2 1
晶面间距
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
OP = u a + v b + wc
晶向指数：[ u v w]
晶向指数的例子
立方晶系一些重要晶向的晶向指数 因对称关系而等同的晶向=晶向族，<u v w>
[001] [112] [111]
[100]
[010]
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；
2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值；
3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
（102）
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0 o
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a b c , 9 0 o
六方：简单六方
a 1 a 2 a 3 c , 9 0 o , 1 2 0 o
菱方：简单菱方
a b c , 9 0 o
四方：简单四方 体心四方
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地长程有序排列； 非晶体：原子排列没有长程序。
晶体
是晶体吗？
晶体(crystalline)，是内部原子在三维空间 呈周期性重复排列的固体，即存在长程有 序。而晶体的规则几何外形，只是晶体内 部规则构造的外在表现。
非晶体(amorphous)：短程有序，长程无序
近代材料分析方法
李晓娜
大连理工大学三束材料改性教育部重点实验室
课程分配 晶体学基础 X射线衍射分析 透射电子显微镜 SEM和EPMA 其它分析方法 复习
3-4次 7-8次 7-8次 2次 2次 1次
晶体学基础1
原子排列的作用
原子排列
组织
性能
固态物质的内部结构是了解掌握材料性能的基础，才 能从内部找到改善和发展新材料的途径。
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
a b c ,
9 0 o
立方：简单立方
体心立方 a b c , 9 0 o
面心立方
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以 用矢量或者坐标来表示。
四面体 六面体 八面体 十二面体 二十面体
{3，3} {4，3} {3，4} {5，3} {3，5}
四面体群 八பைடு நூலகம்体群 二十面体群
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。
具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作 为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维 的重复堆砌就构成了空间点阵。
晶体结构与点阵
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无限的。
• 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；
Y • 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； Z • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Y
X
正多面体（柏拉图体）：多面体的每一 个面都相同，由边数为p的正多边形所构 成，每个顶点也是相同的，都与q个正多 边形相接，可用符号{p, q}表示。
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多； 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量
点阵常数：a, b, c 棱边夹角, ,
晶体
非晶体
SiO2
周期点阵：
2.1.1 空间点阵和晶胞
阵点 空间点阵 晶胞
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性， 可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶 体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列 于空间的几何点，称之为阵点。
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相 同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列 的阵列称为空间点阵，简称点阵。
Y
（111）
（321）
X
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z XZ X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相 互平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。
14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相 同“的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出 能够反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种， 这14种空间点阵也称布拉菲点阵。
三斜：简单三斜 a b c , 9 0 o
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数[U V W] 四轴晶向指数[u v t w]
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l)
i=- ( h + k )
晶面法线
晶面指数确定了晶面的法线和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
h :k :l c o s :c o s:c o s
co s2co s2co s2 1
晶面间距
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
OP = u a + v b + wc
晶向指数：[ u v w]
晶向指数的例子
立方晶系一些重要晶向的晶向指数 因对称关系而等同的晶向=晶向族，<u v w>
[001] [112] [111]
[100]
[010]
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；
2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值；
3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
（102）
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0 o
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a b c , 9 0 o
六方：简单六方
a 1 a 2 a 3 c , 9 0 o , 1 2 0 o
菱方：简单菱方
a b c , 9 0 o
四方：简单四方 体心四方
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地长程有序排列； 非晶体：原子排列没有长程序。
晶体
是晶体吗？
晶体(crystalline)，是内部原子在三维空间 呈周期性重复排列的固体，即存在长程有 序。而晶体的规则几何外形，只是晶体内 部规则构造的外在表现。
非晶体(amorphous)：短程有序，长程无序
近代材料分析方法
李晓娜
大连理工大学三束材料改性教育部重点实验室
课程分配 晶体学基础 X射线衍射分析 透射电子显微镜 SEM和EPMA 其它分析方法 复习
3-4次 7-8次 7-8次 2次 2次 1次
晶体学基础1
原子排列的作用
原子排列
组织
性能
固态物质的内部结构是了解掌握材料性能的基础，才 能从内部找到改善和发展新材料的途径。
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
a b c ,
9 0 o
立方：简单立方
体心立方 a b c , 9 0 o
面心立方
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以 用矢量或者坐标来表示。
四面体 六面体 八面体 十二面体 二十面体
{3，3} {4，3} {3，4} {5，3} {3，5}
四面体群 八பைடு நூலகம்体群 二十面体群
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。
具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作 为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维 的重复堆砌就构成了空间点阵。
晶体结构与点阵
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此， 实际存在的晶体结构是无限的。
• 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；
Y • 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； Z • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Y
X
正多面体（柏拉图体）：多面体的每一 个面都相同，由边数为p的正多边形所构 成，每个顶点也是相同的，都与q个正多 边形相接，可用符号{p, q}表示。
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多； 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量
点阵常数：a, b, c 棱边夹角, ,
晶体
非晶体
SiO2
周期点阵：
2.1.1 空间点阵和晶胞
阵点 空间点阵 晶胞
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性， 可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶 体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列 于空间的几何点，称之为阵点。
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相 同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列 的阵列称为空间点阵，简称点阵。
Y
（111）
（321）
X
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z XZ X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相 互平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。