2015高考数学一轮总复习课件：8.2 两条直线的位置关系

第四页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
2. 两直线相交 交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 无解 ；重合⇔方程组有 无数解 ．
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解析：利用斜率之间的关系判断， ∵kAB＝－4－26＋4＝－35，kCD＝12－62－12＝－35，且可判 断 AB，CD 不共线， ∴AB∥CD. ∵kAD＝12－22＋4＝53，kAB•kAD＝－1， ∴AB⊥AD.又 kAC＝6－212＋4＝14，kBD＝12＋42－6＝－4， ∴kAC•kBD＝－1， ∴AC⊥BD.故①②③均正确．
规范解答：点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝
＝ 1＋9
5
. (2 分)
设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
|－1＋m| 3 10
则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝
＝ 1＋9
5
，
解得 m＝－5(舍去)或 m＝7，(5 分) ∴与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0. (7 分) 设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0，
思路点拨：线的平行与垂直的关系求解．
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规范解答：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. (2 分) 又直线 l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. (4 分) 故 a＝2，b＝2. (6 分) (2)∵直线 l2 的斜率存在，l1∥l2，∴直线 l1 的斜率存在， a ∴k1＝k2，即b＝1－a. (8 分) 又坐标原点到这两条直线的距离相等， 4 ∴l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即b＝b. (10 分) 2 故 a＝2，b＝－2 或 a＝3，b＝2. (12 分)
规范解答：∵l1∥l2，∴
解得
或
mn＋8≠0， n≠－2 n≠2.
(1)当 m＝4 时，由题意可知两平行线 l1：mx＋8y＋n＝0 与 l2：
2x＋my－1＝0 的距离为
n
1＋ 2
5.∴
＝
22＋42
5，解得 n＝－22 或 18，
m＝4， m＝4，
∴
或
n＝－22 n＝18，
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题型2 ·距离问题
例 2 中心在 C(－1，0)，一条边所在的直线方程是 x ＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
思路点拨：线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程， 利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的 参数．
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|－1－5| 3 10
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解析： (1)错误．当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，故不成立． (2)错误．斜率可能不存在． (3)正确． (4)错误．∵直线在第一、二、三象限，∴直线的斜率大于 0，且在 y 轴上的截 距大于 0，即－ AB>0 且－ CB>0，∴AB<0 且 CB<0，即 A•B<0 且 B•C<0.
3. 三种距离公式
(1)点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：
|AB|＝□1 （y2－y1）2＋（x2－x1）2 ．
(2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：
|Ax0＋By0＋C|
d＝□2
．
A2＋B2
(3)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋
|C1－C2|
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题型分类 ·典例研析
题型1 ·两条直线的平行与垂直
例 1、已知两直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a －1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值． (1)l1⊥l2，且直线 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
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第八章 §8.2 两条直线的位置关系
第一页，编辑于星期五：十二点 三
自主测评
节
典例研析
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最新考纲
1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行 或垂直． 2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 ．
可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍．本题的解法可
以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程．
规律总结：1. 求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入
公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
2. 解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，
若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须
|－3＋n| 3 10
则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离 d＝
＝ 1＋9
5
，解得 n＝－3 或 n＝9，(10 分)
∴与 x＋3y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0. (12 分)
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点评：正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系
第七页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
自主测评
1、下列命题是否正确． (1)若两直线斜率相等，则两直线平行．(✕) (2)若 l1∥l2，则 k1＝k2.( ✕) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则 两直线相交．(√) (4)若直线 Ax＋By＋C＝0 在第一、二、三象限，则 A·B>0，B·C>0. ( ✕)
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规律总结：1. 点 P(x，y)关于点 Q(m，n)的对称点坐标为 P1(2m－x， 2n－y)，特别地，点 P(x，y)关于坐标原点的对称点坐标为 P′(－x， －y)．
2. 关于特殊直线的对称：①点 P(x，y)关于 x 轴的对称点为 P2(x， －y)；②点 P(x，y)关于 y 轴的对称点为 P3(－x，y)；③点 P(x，y) 关于直线 y＝x 的对称点为 P4(y，x)；④点 P(x，y)关于直线 y＝x＋t 的对称点为 P5(y－t，x＋t)；⑤点 P(x，y)关于直线 y＝－x＋s 的对 称点为 P6(－y＋s，－x＋s)；⑥点 P(x，y)关于直线 x＝x0 的对称点 为 P7(2x0－x，y)；⑦点 P(x，y)关于直线 y＝y0 的对称点为 P8(x，2y0 －y)．
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点评：利用直线的平行与垂直的条件解题时，主要利用其斜 率的关系，因此，在解题时要特别注意斜率不存在的情况， 要注意讨论。
规律总结：1. 若直线 l1，l2 的斜截式方程分别为 l1：y＝k1x＋b1，l2： y＝k2x＋b2，则：①直线 l1∥l2⇔k1＝k2 且 b1≠b2；②直线 l1 与 l2 重 合⇔k1＝k2 且 b1＝b2；③直线 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
第十一页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
4、若方程(2m－1)x＋(2m2＋m－1)y＋m＝0 表示一条直
线，则 m 的取值范围是 －∞，12∪12，＋∞ ．
解析：二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 表示一条直线需满足 A，B 不
2m－1＝0，
1
全为
0，它的否定是
A，B
都为
0.
由
得
2m2＋m－1＝0
讨论斜率是否存在． 3. 求两条平行线间的距离，首先将直线方程中的对应项系数转化成
相等的形式，再利用距离公式求解. 也可以转化成点到直线的距离问
题．
第二十二页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
迁移发散 2、已知平面内两点 A(1，2)，B(3，1)到直线 l 的距离分别 是 2， 5－ 2，则满足条件的直线 l 的条数为________． 规范解答：由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条，又|AB|＝ 5， 故还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线，共 3 条．
m＝2，
∴方程表示一条直线时 m≠12，即－∞，12∪12，＋∞.
第十二页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
5、已知 A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2， 12)，下面三个结论中正确的是 ①②③ ． ①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC⊥BD.
第十三页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
③直线 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
第十七页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
迁移发散 1、已知直线 l1：mx＋8y＋n＝0 与 l2：2x＋my
－1＝0 互相平行，则过点(m，n)并与 l1，l2 垂直且被截得线
段长度为 5的直线 l 的方程为__________________．
m2－16＝0， m＝4， m＝－4，
第二十三页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
题型3 ·对称问题
例 3、(2012·皖南八校联考)直线 2x－y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的 直线方程是( )
A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－1＝0 C. 2x＋y－5＝0 D. x＋2y－5＝0
思路点拨：由所求直线上的点关于 x＝1 的对称点在已知直线上可求 解．
第三页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
基础梳理
1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 ．特别地， 当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2 平行 ． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 ，当一条直线斜率 为零，另一条直线斜率不存在时，两直线 垂直 ．
By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为 d＝□3
．
A2＋B2
第六页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
拓展提升
常见的直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是： Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋ λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
规范解答：设 P(x，y)是所求直线上任一点，则它关于 x＝1 的对称点 (2－x，y)一定在直线 2x－y＋1＝0 上，代入得 2(2－x)－y＋1＝0， 即 2x＋y－5＝0，故选 C. 点评：直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线的对称问题．
又所求直线与已知直线垂直，∴k＝2，
∴所求直线方程为 2x－y－30＝0 或 2x－y＋10＝0.
(2)当 m＝－4 时，同上可得 n＝－18 或 22，
m＝－4， m＝－4，
∴
或
n＝22
n＝－18，
又所求直线的斜率为－2，
∴所求直线方程为 2x＋y＋26＝0 或 2x＋y－14＝0.
第十九页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
2. 直线 l1，l2 的一般式方程分别为：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋
A1 B21≠0)与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)，则：①直线 l1∥l2⇔A2＝
B1 C1
A1 B1 C1
B2≠C2(A2B2C2≠0)；②直线 l1 与 l2 重合⇔A2＝B2＝C2(A2B2C2≠0)；
第十页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
3、若点 A(0，1)，B( 3，4)在直线 l1 上，若直线 l1⊥l2，则 l2 的倾斜角为(C)
A. －30° B. 30°
C. 150° D. 120°
4－1
解析：由斜率公式知 kl1＝kAB＝
＝
3－0
3，∴直线
l1 的倾斜角 α1＝60°.∵l1⊥l2，∴直线 l2 的倾斜角 α2＝ 90°＋α1＝150°.
第九页，编辑于星期五：十二点 三十七分。
2、(2013·济南模拟)已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0 平 行，则 a 等于(D)
A. －1 B. 2 C. 0 或－2 D. －1 或 2
解析：l1∥l2 的充要条件是(a－1)a＝1×2，解得 a＝－1 或 2.