高考数学基本不等式求最值课件 新人教版

(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 二不定,需变形
例二. 函数y=x 1 (x ≥ 0)的最小值为___1___,此时x=__0____. x 1
解: x0, 1 0
x1
y x 1 x1
x
1
x
1 1
1≥2-1=1
当且仅当 x1 1 即x0 时取“=”号
例三.求函数 y x 2 5
错解:
x2 4
的最小值.
y x25 x241 x2 4
x24
x24
当且仅当 x2 4 1 时取等号 x2 4
1 2
x2 4
h
7
2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
x1
练习 :1.求函数 f(x)(x1)24(x1) 的最小值. x1
练习 :2.求函数 f(x)x23x1(x1) 的最小值.
x1
练习 :3.求函数 f(x)x 4 (x4) 的最小值. x1
h
6
2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
(1)利用均值不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
一正,二定,三相等
h
2
二、应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
练习1)若x>0,f(x)= 12 3 x 的最小值为__1__2___;此时x=__2_____
h
9
1
例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
正解： 1 1 2xy 2xy
xy
x
y
3 y 2x 32 2
xy
当且仅当 y 2 x 即: y 2x
xy
时取“=”号
“1”代换法
而 y 2x
y2x1
x y
2
1
2
2
2 2
即此时 ymin32 2
h
10
的范围.
5
5
注意:各项f(必x )须 2 为 l正o g 数2x lo g 2x 2 2lo g 2x lo g 2x 2 25
当 正解且 :仅 当 0 lo x g 21 x llo og g 5 2 2x x ,即 0x 2 f(x5 )时 ,2 lo fg (x2)x m axlog 5 22x22 525
例三.求函数 y x 2 5 的最小值.
依据:利用函数
y
t
x2 4 1 (t>0)的单调性.
t
t (0,1] 单调递减 t[1,) 单调递增
正解: x25 x241
y
三 不 等 ,常 用 单 调 性 x2 4 1
x24
x24
x2 4
令t x2 4 则yt1 (t 2) 当 t2,即 :x0时 ,ytm in5 2
的范围.
注意:各项必须为正数
一 不 正 ,a 0 ,b 0 时 常 用 a b 2a b
当 解且 : 仅 当 0 lo x g 21 x llo og g 5 2 2x x ,即 0x 2 f(x5 )时 ,2 lo fg (x2)x m axlog 5 22x22 525
h
5
2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
练习1)若x>0,f(x)= 12 3 x 的最小值为____1_2__;此时x=___2____.
x
Байду номын сангаас
若x<0,f(x)= 12 3 x 的最大值为___-_1_2__;此时x=___-2____.
2)求函数
错解!
x
5
f(x)2log2xlog2x(0x1)
x
若x<0,f(x)= 12 3 x 的最大值为__-_1_2___;此时x=__-_2____.
x
解:因为x>0, 一正
f (x) 12 3x 2 123x 12 二定
x
x
当且仅当 12 3x即x 2 时取等号,
x 即当x=2时函数的最小值为12.
三相等
h
3
二、应用基本不等式求最值的问题
h
8
1 例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求 x
1 y
的最小值
解：12xy2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
112 122 24 2 x y xy
即1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 基本不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
故结果错。
h
4
二、应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
练习1)若x>0,f(x)= 12 3 x 的最小值为____1_2__;此时x=___2____.
x
若x<0,f(x)= 12 3 x 的最大值为___-_1_2__;此时x=___-2____.
2)求函数
x
5
f(x)2log2xlog2x(0x1)
一、复习：
1. 基本不等式,均值不等式:
①a,b∈R,a2 +b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
②a,b是正数, a b ab (当且仅当a=b时取”=“号) 2
2ab ab ab a2 b2
ab
2
2
h
1
二、基本不等式的应用
1.基本不等式可证明简单的不等式
2.应用基本不等式求最值的问题