2012学年上海十二校高三12月联考数学试卷(文科)

2021学年上海市十二校高三〔上〕12月联考数学试卷〔文科〕
一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．
1．〔4分〕〔2021•黄浦区二模〕函数f〔x〕=的定义域为〔﹣，+∞〕．
考点：对数函数的定义．
专题：计算题．
分析：根据对数函数的性质可知对数函数的真数大于0，建立不等关系，解之即可求出所求．
解答：解：∵2x+1＞0
∴x＞﹣
即函数f〔x〕=的定义域为〔﹣，+∞〕
故答案为：〔﹣，+∞〕
点评：此题主要考察了对数函数的定义域，掌握对数函数的性质是关键，属于根底题．
2．〔4分〕设集合，那么A∩B=．
考点：交集及其运算．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：集合A与集合B的公共局部构集合A∩B，由此利用集合，能求出集合A∩B．
解答：解：∵集合={x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B={x|﹣＜x≤1}．
故答案为：〔﹣，1]．
点评：此题考察集合的交集及其运算，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式性质的合理运用．
3．〔4分〕角θ的终边过点P〔﹣3，4〕，那么sinθ+cosθ的值为．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用任意角的三角函数的定义，可求得sinθ，cosθ，从而可得sinθ+cosθ的值．
解答：解：∵θ的终边过点P〔﹣3，4〕，
∴cosθ==﹣，
sinθ==，
∴sinθ+cosθ=+〔﹣〕=．
故答案为：．
点评：此题考察任意角的三角函数的定义，根据θ的终边过点P〔﹣3，4〕，求得sinθ，cosθ是关键，属于根底题．
4．〔4分〕假设函数f〔x〕=+1的反函数为f﹣1〔x〕，那么方程f﹣1〔x〕=4的解为x=3．
考点：反函数．
专题：计算题；综合题．
分析：先求函数的反函数，注意函数的定义域，然后代入方程f﹣1〔x〕=4求解．
解答：解：由，得：，所以x=〔y﹣1〕2〔y≥1〕，
所以原函数的反函数为f﹣1〔x〕=〔x﹣1〕2〔x≥1〕，
由f﹣1〔x〕=4，得：〔x﹣1〕2=4，解得：x=﹣1〔舍〕或x=3．
所以方程f﹣1〔x〕=4的解为x=3．
故答案为3．
点评：此题考察反函数的求法，考察了一元二次方程的解法，此题是根底题．
5．〔4分〕假设0≤x≤π，那么方程2•cosx+1=0的解x=．
考点：函数的零点．
专题：计算题．
分析：把2cosx+1=0，等价转化为cosx=﹣，0≤x≤π，根据三角函数的性质求出x；
解答：解：∵0≤x≤π，那么方程2•cosx+1=0，
∴cosx=﹣，x=2kπ±，k∈Z．因为0≤x≤π，
∴x=，
故答案为：；
点评：此题考察三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，此题是一道根底题；6．〔4分〕设等差数列{a n}的前n项之和为S n满足S10﹣S5=20，那么a8=4．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据数列前n项和的定义S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求．
解答：解：根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8=20，a8=4
故答案为：4．
点评：此题考察等差数列的性质，属于根底题．
7．〔4分〕假设函数的最小正周期为π，那么=．
考点：三角函数的周期性及其求法；函数的值．
专题：计算题．
分析：由周期公式及的周期求出ω的值，确定出函数解析式，将x=代入，计算即可得到所求式子的值．
解答：解：∵T=π，∴ω=2，
∴f〔x〕=2sin〔2x+〕，
那么f〔〕=2sin〔π+〕=﹣2×=﹣．
故答案为：﹣
点评：此题考察了三角函数的周期性及其求法，以及函数的值，其中确定出函数解析式是解此题的关键．
8．〔4分〕函数f〔x〕=ax2+〔b﹣3〕x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，那么a+b=2．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：偶函数定义域关于原点对称，且f〔﹣x〕=f〔x〕，由此即可求出a，b．
解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f〔x〕为偶函数，得f〔﹣x〕=f〔x〕，即ax2﹣〔b﹣3〕x+3=ax2+〔b﹣3〕x+3，2〔b﹣3〕x=0，所以b=3．
所以a+b=3﹣1=2．
故答案为：2．
点评：偶函数的定义域关于原点对称，f〔﹣x〕=f〔x〕恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．
9．〔4分〕〔2006•天津〕某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x=20吨．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：先设此公司每次都购置x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合根本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．
解答：解：某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x吨，
那么需要购置次，运费为4万元/次，
一年的总存储费用为4x万元，
一年的总运费与总存储费用之和为万元，
≥=160，
当且仅当即x=20吨时，等号成立
即每次购置20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
故答案为：20．
点评：本小题主要考察函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等根底知识，考察应用数学的能力．属于根底题．
10．〔4分〕等比数列{a n}的各项和为1，那么a1的取值范围为〔0，1〕∪〔1，2〕．
考点：等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由无穷等比数列的各项和可得：=1，|q|＜1且q≠0，然后通过不等式的知识可得答案．
解答：解：由题意可得：=1，|q|＜1且q≠0，
故可得a1=1﹣q，由|q|＜1可得﹣1＜q＜1，且q≠0
故0＜1﹣q＜2，且1﹣q≠1，
∴0＜a1＜，2且a1≠1，
故答案为：〔0，1〕∪〔1，2〕
点评：此题考察无穷等比数列的各项和，解题的关键是由数列的前n项和的极限存在那么可得|q|＜1且q≠0，属中档题．
11．〔4分〕=，那么的值为．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：依题意，可求得tanα的值，利用倍角公式将将转化为关于tanα的关系式，代入即可．
解答：解：∵tan〔+α〕==，
∴tanα=﹣，
∴
=
=tanα+1
=．
故答案为：．
点评：此题考察三角函数的恒等变换及化简求值，着重考察两角和的正切，切化弦是关键，属于中档题
12．〔4分〕数列{a n}满足a n=，那么a2021=3．
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：计算题．
分析：由条件可得当n≥5时，a n =a n
，故此数列的值具有周期性，周期等于8，故有a2021=a3，由此
﹣8
求得结果．
解答：解：数列{a n}满足a n=，
当n≥9时，a n =a n﹣8，故此数列的值具有周期性，周期等于8，
∴a2021=a〔2021﹣8×251+3〕=a3=3，
故答案为3．
点评：此题主要考察数列的概念以及简单表示法，利用函数的周期性求函数的值，属于根底题．
13．〔4分〕设函数f〔x〕=bcosx+csinx的图象经过两点〔0，1〕和，对一切x∈[0，π]，|f〔x〕+a|≤3恒成立，那么实数a的取值范围[﹣2，1]．
考点：绝对值不等式的解法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
专题：综合题．
分析：依题意可求得b=1，c=，从而可根据x∈[0，π]，|f〔x〕+a|≤3恒成立，利用正弦函数的性质解决．
解答：解：依题意得：f〔0〕=bcos0+csin0=b=1，
f〔〕=bcos+csin=c=，
∴f〔x〕=cosx+sinx=2sin〔x+〕．
又x∈[0，π]，
∴≤x+≤，
∴﹣≤sin〔x+〕≤1，
∴﹣1≤2sin〔x+〕≤2，即﹣1≤f〔x〕≤2，
∴﹣2≤﹣f〔x〕≤1；
∵|f〔x〕+a|≤3恒成立，
∴﹣3≤f〔x〕+a≤3，
∴﹣3﹣f〔x〕≤a≤3﹣f〔x〕．
∴a≥[﹣3﹣f〔x〕]max=﹣2且a≤[3﹣f〔x〕]min=1，
∴﹣2≤a≤1．
∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．
故答案为：[﹣2，1]．
点评：此题考察绝对值不等式的解法，考察两角和与差的正弦函数与正弦函数的单调性，考察综合分析与应用能力，属于难题．
14．〔4分〕对于定义域和值域均为[0，1]的函数f〔x〕，定义f1〔x〕=f〔x〕，f2〔x〕=f〔f1〔x〕〕，…，n=1，2，3，…．满足f n〔x〕=x的点称为f的n阶周期点．设f〔x〕= 那么f的2阶周期点的个数是4．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：新定义；函数的性质及应用．
分析：此题考察的知识点是归纳推理，方法是根据条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，再求2阶周期点的个数．
解答：解：当x∈[0，]时，f1〔x〕=2x=x，解得x=0
当x∈〔，1]时，f1〔x〕=2﹣2x=x，解得x=，
∴f的1阶周期点的个数是2；
当x∈[0，]时，f1〔x〕=2x，f2〔x〕=4x=x，解得x=0；
当x∈〔，]时，f1〔x〕=2x，f2〔x〕=2﹣4x=x，解得x=；
当x∈〔，]时，f1〔x〕=2﹣2x，f2〔x〕=﹣2+4x=x，解得x=；
当x∈〔，1]时，f1〔x〕=2﹣2x，f2〔x〕=4﹣4x=x，解得x=．
∴f的2阶周期点的个数是22=4．
故答案为：4．
点评：此题考察函数的2阶周期点的个数的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运用．
二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．
15．〔5分〕〔2021•上海二模〕“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的〔〕
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，可得“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件．
解答：解：由|x﹣3|＞0解得x≠3，而集合{x|x＞3}是集合{x|x≠3}的真子集，
故“x＞3”能推出“|x﹣3|＞0”；而“|x﹣3|＞0”不能推出“x＞3”，
故“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的充分非必要条件，
应选A
点评：此题考察解决条件问题一般先化简各命题、考察将判断条件问题转化为对应的集合的包含关系问题．
16．〔5分〕以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是〔〕
A．y=x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=lgx，x＞0 D．y=，x∈R
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数奇偶性及单调性的定义逐项判断即可．
解答：解：y=sinx是奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=lgx在定义域内单调递增，但不是奇函数，故排除C；
y=是增函数但不是奇函数，故排除D．而y=x3既是奇函数又是增函数，
应选A．
点评：此题考察函数的奇偶性、单调性，准确理解其定义是解决该类题目的根底．
17．〔5分〕函数的图象如下图，那么y的表达式为〔〕
A．B．C．D．
考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．
专题：计算题；压轴题．
分析：由=﹣可求得ω，再由ω+φ=+2kπ，|φ|＜，可求得φ，而A易知，从而可得答案．
解答：解：由图可知，A=2，
又=﹣=，
∴T==π，
∴ω=2；
∴×2+φ=2kπ+，
∴φ=﹣+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，
∴y的表达式为y=2sin〔2x﹣〕．
应选D．
点评：此题考察由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．
18．〔5分〕数列{a n}中，，点〔n，2a n+1﹣a n〕在直线y=x上，其中n=1，2，3，…，设b n=a n+1﹣a n﹣1，那么数列{b n}是〔〕
A．等比数列B．等差数列
C．常数数列D．既不是等比数列也不是等比数列
考点：数列递推式；数列的函数特性；等比关系确实定．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用点〔n，2a n+1﹣a n〕在直线y=x上，可得2a n+1=a n+n，根据b n=a n+1﹣a n﹣1，b n+1=a n+2﹣a n+1﹣1，可得2b n+1=b n，由此可得结论．
解答：解：∵点〔n，2a n+1﹣a n〕在直线y=x上，∴2a n+1=a n+n，
∵a1=，a2=，∴a2﹣a1﹣1=﹣，
又b n=a n+1﹣a n﹣1，b n+1=a n+2﹣a n+1﹣1，
∴2b n+1=2a n+2﹣2a n+1﹣2=a n+1+n+1﹣〔a n+n〕﹣2=a n+1﹣a n﹣1=b n，
∴=
∴{b n}是以﹣为首项，以为公比的等比数列．
应选A．
点评：此题考察数列与函数的结合，考察等比数列的判定，考察学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．〔12分〕，且，A∪B=R，
〔1〕求A；
〔2〕实数a+b的值．
考点：子集与交集、并集运算的转换．
专题：计算题．
分析：〔1〕由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；
〔2〕根据题意，由〔1〕的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．
解答：解：〔1〕根据题意，＞0⇒〔2x﹣1〕〔x+2〕＞0，
解可得x＜﹣2或x＞，
那么A=〔﹣∞，﹣2〕∪〔，+∞〕；
〔2〕由〔1〕可得
又由，A∪B=R，
必有B={x|﹣2≤x≤3}，
即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3
于是a=﹣〔x1+x2〕=﹣1，b=x1x2=﹣6，
∴a+b=﹣7．
点评：此题考察集合的交集、并集的应用，〔2〕的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．20．〔14分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
〔1〕假设a=4，，且△ABC的面积，求b，c的值；
〔2〕假设sin〔B+A〕+sin〔B﹣A〕=sin2A，试判断△ABC的形状．
考点：解三角形．
专题：综合题；解三角形．
分析：〔1〕利用三角形的面积公式，即可求b，c的值；
〔2〕利用和角与差角的三角函数公式化简，即可判断△ABC的形状．
解答：解：〔1〕因为△ABC的面积等于，所以，
因为a=4，，所以b=1
由余弦定理c2=a2+b2﹣2ab•cosC=13，所以
〔2〕由题意得sinBcosA=sinAcosA，
当cosA=0时，，△ABC为直角三角形
当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，所以，△ABC为等腰三角形
所以△ABC是等腰或直角三角形．
点评：此题考察三角形的面积公式，考察余弦、正弦定理，考察学生的计算能力，属于中档题．21．〔14分〕假设函数f〔x〕在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，那么称y=f〔x〕在I上是“弱增函数〞
〔1〕请分别判断f〔x〕=x+4，g〔x〕=x2+4x在x∈〔1，2〕是否是“弱增函数〞，并简要说明理由．〔2〕证明函数h〔x〕=x2+a2x+4〔a是常数且a∈R〕在〔0，1]上是“弱增函数〞．
考函数单调性的判断与证明．
点：
专题：
函数的性质及应用．
分析： 〔1〕利用“弱增函数〞的定义逐个判断即可；
〔2〕按“假设增函数〞的定义需证明两条：①证明h 〔x 〕在〔0，1]上是增函数；②证明在〔0，
1]上是减函数．
解答： 解：〔1〕由于f 〔x 〕=x+4在〔1，2〕上是增函数，且F 〔x 〕=在〔1，2〕上是减函数， 所以f 〔x 〕=x+4在〔1，2〕上是“弱增函数〞，g 〔x 〕=x 2+4x 在〔1，2〕上是增函数，但在〔1，
2〕上不是减函数，
所以g 〔x 〕=x 2+4x+2在〔1，2〕上不是“弱增函数〞．
〔2〕因为h 〔x 〕=x 2+a 2•x+4的对称轴为x=﹣≤0，开口向上，所以h 〔x 〕在〔0，1]上是增函数． 下面证明函数F 〔x 〕=在〔0，1]上是减函数．
设0＜x 1＜x 2≤1， 那么
，
∵0＜x 1＜x 2≤1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1， ∴，即F 〔x 1〕＞F 〔x 2〕．
所以F 〔x 〕在〔0，1]上单调递减，
所以h 〔x 〕在〔0，1]上是“弱增函数〞；
点评：
此题主要考察函数单调性的判断及证明，考察对新问题的理解分析及解决能力．
22．〔16分〕〔a ∈R 〕是奇函数．
〔1〕求a 的值；
〔2〕求函数F 〔x 〕=f 〔x 〕+2x ﹣﹣1的零点；
〔3〕设g 〔x 〕=log 4，假设方程f ﹣1〔x 〕=g 〔x 〕在x ∈[，]上有解，求实数k 的取值范围．
考点： 反函数；函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 〔1〕由题意可得：f 〔0〕=0，解得a=1，注意验证；
〔2〕把〔1〕的结论代入可得函数，转化为方程的根可得答案；
〔3〕求函数的反函数可得，由对数的运算性质可得，用换元法令m=1﹣x ，由关于m 的函数的范围可得答案．
解答： 解：〔1〕由奇函数的定义可得：f 〔﹣x 〕=﹣f 〔x 〕，
取x=0即得f 〔0〕=0，解得a=1，2分
经历证知当a=1时，，此时满足f 〔x 〕=﹣f 〔﹣x 〕，
故当a=1时，f 〔x 〕在R 上的奇函数，4分
〔2〕由〔1〕知：，故F 〔x 〕=+= 6分
由〔2x 〕2+2x ﹣6=0，可得2x =2，8分
所以x=1，即F 〔x 〕的零点为x=1． 10分
〔3〕由f ﹣1〔x 〕=g 〔x 〕得，11分
由对数函数的运算性质可得： 12分
显然当时k+x ＞0，即 13分 设 14分
于是 15分
所以实数k 的取值范围 16分．
点评： 此题考察函数的奇偶性和零点，涉及对数的运算，属中档题．
23．〔18分〕数列{a n}，如果数列{b n}满足，那么称
数列{b n}是数列{a n}的“生成数列〞
〔1〕假设数列{a n}的通项为a n=n，写出数列{a n}的“生成数列〞{b n}的通项公式；
〔2〕假设数列{c n}的通项为c n=2n+b，〔其中b是常数〕，试问数列{c n}的“生成数列〞{l n}是否是等差数列，请说明理由．
〔3〕数列{d n}的通项为，设数列{d n}的“生成数列〞{p n}的前n项和为T n，问是否存在自然数m满足满足〔T m﹣2021〕〔T m﹣6260〕≤0，假设存在请求出m的值，否那么请说明理由．
考点：数列与不等式的综合；等差关系确实定；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：〔1〕根据“生成数列〞的定义，数列{b n}满足
，结合数列{a n}的通项为a n=n，递推可得结
论；
〔2〕根据“生成数列〞的定义，结合数列{c n}的通项为c n=2n+b，〔其中b是常数〕，求出数列{c n}的“生成数列〞{l n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；
〔3〕根据“生成数列〞的定义，结合数列{d n}的通项为，求出数列{d n}的“生成数列〞{p n}的前n项和为T n，解不等式可得m的值．
解答：解：〔1〕∵数列{b n}满足，数列{a n}的通项为a n=n，
∴3分
综合得：b n=2n﹣14分
〔2〕6分
当b=0时，l n=4n﹣2，由于l n+1﹣l n=4〔常数〕
所以此时数列{c n}的“生成数列〞{l n}是等差数列8分
当b≠0时，由于c1=2+b，c2=6+2b，c3=10+2b，9分
此时c1+c3≠2c2，
∴此时数列{c n}的“生成数列〞{l n}不是等差数列．10分
〔3〕11分
当n=1时，T n=p1=312分
当n≥2时
=3+〔3•2+3•22+…+3•2n﹣1〕+〔3+5+…+2n﹣1〕
=3•2n+n2﹣4，14分
所以，15分
假设〔T m﹣2021〕〔T m﹣6260〕≤0，那么2021≤T n≤626016分
由于{T n}对于一切自然数是增函数，
T9=1613＜2021，T10=3168＞2021T11=6261＞6260
所以存在唯一的自然数m=10满足假设〔T m﹣2021〕〔T m﹣6260〕≤0成立18分．点评：此题考察的知识识是数列与不等式，等差关系确实定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．。