等边三角形中的动点问题

三角形中的动点问题
1、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为（s），当t为何值时，△PBC是直角三角形？
2、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形?
3、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么当t为何值时，△DCQ 是等腰三角形?
4、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），连接PC. 请探究：在点P、Q的运动过程中△PCD和△QCD的面积是否相等？
5、如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他
条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．
6、如图，已知
中，
厘米，
厘米，点
为
的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，
与
是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
与
全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿
三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在
的哪条边上相遇？
7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点
D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接D
E、D
F、EF．
（1）求证：△ADF≌△CEF
（2）试证明△DFE是等腰直角三角形
8、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B 时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
9、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝．
10、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
初二下及初三：三角形中的动点问题
1、如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点P、Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D、E分别是点A、B以Q、P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P、Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数关系式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．
（1）求DE∶DF的值；
（2）联结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x 的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．
图1 备用图备用图
3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝
，AC＝BC＝2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM＝∠CAH；
（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________．
图1
4、如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
全等三角形中的动点问题
1．如图，在等边
的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中
的大小条件不变，求证：
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE 交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？
6. 如图，在等腰梯形
中，
∥
，
,AB=12 cm,CD=6cm , 点
从
开始沿
边向
以每秒3cm的速度移动，点
从
开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t秒。

（1）求证：当t=
时，四边形
是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

3、（2009宁夏）已知：等边三角形
的边长为4厘米，长为1厘米的线段
在
的边
上沿
方向以1厘米/秒的速度向
点运动（运动开始时，点
与点
重合，点
到达点
时运动终止），过点
分别作
边的垂线，与
的其它边交于
两点，线段
运动的时间为
秒．
（1）线段
在运动的过程中，
为何值时，四边形
恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段
在运动的过程中，四边形
的面积为
，运动的时间为
．求四边形
的面积
随运动时间
变化的函数关系式，并写出自变量
的取值范围．
4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是
△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
5、在
中，
现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC 向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。

过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。

设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设
的面积为
，求
与月份
的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（3）当
为何值时，
为直角三角形。

10．如图，直线
与
轴、
轴分别交于点
，点
．点
从点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿
→
方向运动，点
从点
出发，以每秒2个单位长度的速度沿
→
的方向运动．已知点
同时出发，当点
到达点
时，
两点同时停止运动，设运动时间为
秒．
（1）设四边形MNPQ的面积为
，求
关于
的函数关系式，并写出
的取值范围．
（2）当
为何值时，
与
平行？
3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．
动点问题练习题
1、已知：等边三角形
的边长为4厘米，长为1厘米的线段
在
的边
上沿
方向以1厘米/秒的速度向
点运动（运动开始时，点
与点
重合，点
到达点
时运动终止），过点
分别作
边的垂线，与
的其它边交于
两点，线段
运动的时间为
秒．
1、线段
在运动的过程中，
为何值时，四边形
恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段
在运动的过程中，四边形
的面积为
，运动的时间为
．求四边形
的面积
随运动时间
变化的函数关系式，并写出自变量
的取值范围．
2、如图，在梯形
中，
动点
从
点出发沿线段
以每秒2个单位长度的速度向终点
运动；动点
同时从
点出发沿线段
以每秒1个单位长度的速度向终点
运动．设运动的时间为
秒．
（1）求
的长．
（2）当
时，求
的值．
（3）试探究：
为何值时，
为等腰三角形．
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是
△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，
并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？
若有最小值，最小值是多少？
(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？
若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
动点问题练习题
1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？
3. 如图，在等腰梯形
中，
∥
，
,AB=12 cm,CD=6cm , 点
从
开始沿
边向
以每秒3cm的速度移动，点
从
开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t秒。

（1）求证：当t=
时，四边形
是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。

（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。

（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？
7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E 是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G.
⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.。