三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编 专题12 数列 文(含解析)

专题12数列
1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ，则23111142
1111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 2．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2
+b ，n *∈N ，则
A ．当101
,102
b a =
> B ．当101
,104
b a =
> C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->
【答案】A
【解析】①当b =0时,取a =0，则0,n a n *
=∈N 。

②当<0b 时，令2x x b =+，即20x x b -+=.
则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2
000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得2
1n n n a a b a +=+=对任意n *∈N 成立，
解方程2
0a a b -+=
，得12
a =
，
10≤时，即90b -时,
总存在a =，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.
③当0b >时，2
21a a b b =+≥，
则22
32a a b b b =+≥+,
()2
22
43
a a b
b
b b =+++。

(ⅰ）当12b =时,2
245111171
1,122216
2a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，
则2
61111
12224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭，
2719222
a >+
=， 2
8918310224
a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭，
则2
981
102
a a =+>, 21091
102
a a =+
>， 故A 项正确.
（ⅱ)当14b =时,令1==0a a ，则2
231111
,4442
a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，
所以2
2
4311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,以此类推，
所以2
2109
1111
4242
a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，
故B 项不正确. 故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解。

3．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>
D ．1324,a a a a >>
【答案】B
【解析】令()ln 1,f x x x =--则()1
1f x x
'=-
，令()0,f x '=得1x =,所以当1x >时，()0f x '>，
当01x <<时，()0f x '<,因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.
若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()
212341110,a a a a a q q +++=++≤但
()()
2
12311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦
,即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此()210,0,1q q -<<∈，22
113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围，是一个有效方法。

如
()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥
4．【2018年高考北京卷文数】设a,b,c ，d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a ，b,c ，d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当1
4,1,1,4
a b c d ====
时,,,,a b c d 不成等比数列，所以不是充分条件；当,,,a b c d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“,,,a b c d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】证明“ad bc ="⇒“,,,a b c d 成等比数列”只需举出反例即可，论证“,,,a b c d 成等比数列”⇒“ad bc =”可利用等比数列的性质。

5．【2018年高考北京卷文数】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单
音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A B
C ．
D ．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为(
)*
12,n n a n n -=≥∈N
，
又1a f =,则7
781a a q f ==
=，故选D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列。

等比数列的判断方法主要有如下两种:（1）定义法，若
1n n a q a +=（*0,q n ≠∈N ）或1
n n a
q a -=（*0,2,q n n ≠≥∈N ）,数列{}n a 是等比数列；（2)等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且2
12n n n a a a --=⋅（*3,n n ≥∈N )，
则数列{}n a 是等比数列.
6．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n ｝的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d 〉0”是“S 4 + S 6>2S 5"的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即
4652S S S +>，反之,若4652S S S +>，则0d >，所以“d 〉0”是“S 4 + S 6〉2S 5"的充要条件，选C ．
【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=,结合充分必要性的判断，若p q ⇒,则p 是q 的充分条件，若p q ⇐,则p 是q 的必要条件,该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．
7．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和。

若133
1
4
a S ==，,则S 4=___________． 【答案】
58
【解析】设等比数列的公比为q ,由已知2
2
3111314S a a q a q q q =++=++=,即2
104
q q ++=。

解得1
2
q =-
, 所以4
4
1411()
(1)521181()2
a q S q --
-===---．
【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后,可利用已知计算3
343431315
()428
S S a S a q =+=+=+-=,避免繁分式计算．
8．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==,则10S =___________。

【答案】100
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得
317
125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨
=⎩ 101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+⨯= 【名师点睛】本题考点为等差数列的求和,为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键。

9．【2019年高考江苏卷】已知数列*
{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和。

若25890,27a a a S +==，
则8S 的值是__________． 【答案】16
【解析】由题意可得：()()()25811191470
98
9272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
， 解得：152
a d =-⎧⎨
=⎩，则8187
840282162S a d ⨯=+=-+⨯=。

【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组。

10．【2018年高考江苏卷】已知集合*
{|21,}A x x n n ==-∈N ，*
{|2,}n
B x x n ==∈N ．将A
B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27
【解析】所有的正奇数和()
2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25
前面有16
个正奇数，即56
21382,2a a ==。

当n =1时,1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，
2331236S a =<=,不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意;……；
当n =26时，()27
5
26212
21(141)441625032121=2
516S a
⨯-⨯+=+
=+=<-,不符合题意；当n =27时，
()8
5
27221222(143)21484+62=546>12=542
0S a
⨯-⨯+=+
=-，符合题意。

故使得+1>12n n S a 成立的n
的最小值为27.
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
11．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ,已知36763
44
S S ==,，则8a =
___________． 【答案】32
【解析】当1q =时,显然不符合题意；
当1q ≠时,316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量,将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算,但思路简洁，目标明确;②利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
12．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=—a 5．
（1）若a 3=4，求{a n ｝的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *
≤≤∈N .
【解析】（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．
因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2)由（1)得14a d =-,故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=。

由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于2
11100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *
≤≤∈N ．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键。

13．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.
(1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）212n n
a -=;（2）2n S n =。

【解析】（1)设{}n a 的公比为q ，由题设得
22416q q =+，即2280q q --=．
解得2q =-（舍去)或q =4．
因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．
（2）由（1)得2(21)log 221n b n n =-=-， 因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n ++
+-=．
【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想,考查计算能力，是简单题.
14．【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列,a 1=–10，且a 2+10，a 3+8,a 4+6成等比数列．
（1）求｛a n ｝的通项公式;
（2）记｛a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值．
【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-。

【解析】(1）设{}n a 的公差为d ． 因为110a =-,
所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列，
所以()()()2
3248106a a a +=++． 所以2
(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．
所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （2)由(1)知,212n a n =-．
所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用。

15．【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知
1123323,,43a b b a b a ====+.
(1）求{}n a 和{}n b 的通项公式;
（2）设数列{}n c 满足2
1n n n c b n ⎧⎪
=⎨⎪⎩，为奇数,
，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n ++
+∈N 。

【答案】(1)3n a n =，3n
n b =；(2）22(21)369
()2
n n n n +*-++∈N
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .
依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨
=⎩
故133(1)3,
333n n n n a n n b -=+-==⨯=.
所以,{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n
n b =。

（2)112222n n a c a c a c +++
()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++
123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡
⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+
+⨯⎢⎥⎣⎦
()2123613233n n n =+⨯+⨯+
+⨯。

记12
13233n n T n =⨯+⨯++⨯,① 则23
1313233n n T n +=⨯+⨯+
+⨯,②
②−①得，()12
3
1
1
313(21)33
233333
133
2
n n n n n
n n T n n +++--+=---⨯=-
+⨯=
-
-+-。

所以，12
2
112222(21)33
36332
n n n n n a c a c a c n T n +-+++
+=+=+⨯
()22(21)3692
n n n n +*-++=∈N . 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目。

16．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列｛a n ｝()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列｛a n ｝为“M－数列”；
（2）已知数列｛b n ｝()n *
∈N 满足：11
122
1,
n n n b S b b +==-，其中S n 为数列｛b n ｝的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()n *
∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成
立，求m 的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）①b n =n ()
*
n ∈N ；②5。

【解析】（1)设等比数列｛a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111
440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．
因此数列{}n a 为“M—数列”。

（2）①因为1122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==,得2
122
11b =-，则22b =。

由1122
n n n S b b +=-，得112()
n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列。

因此，数列{b n ｝的通项公式为b n =n (
)*
n ∈N 。

②由①知，b k =k ，*k ∈N 。

因为数列｛c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0。

因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1
k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .
当k =1时，有q ≥1; 当k =2，3，…，m 时,有
ln ln ln 1
k k
q k k ≤≤-． 设f （x )=ln (1)x x x >，则2
1ln ()x
f 'x x -=． 令()0f 'x =,得x =e 。

列表如下:
因为
ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3
f k f ==． 取q =k =1，2,3，4，5时，
ln ln k
q k
，即k k q ≤，
经检验知1
k q k -≤也成立．
因此所求m 的最大值不小于5．
若m ≥6，分别取k =3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．
【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
17．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
(1)求数列{},{}n n a b 的通项公式； (2
）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N
【答案】(1）()21n a n =-，()1n b n n =+;（2）证明见解析. 【解析】(1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==．
从而*
22,n a n n =-∈N ． 所以2*
n S n n n =-∈N ，，
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-． 所以2*
,n b n n n =+∈N ．
（2
）*n c n =
==∈N ． 我们用数学归纳法证明．
(i)当n =1时,c 1=0<2，不等式成立；
(ii ）假设()
*n k k =∈N 时不等式成立,
即12k c c c +++<
那么，当1n k =+时，
121k k c c c c +++++<<
<==．
即当1n k =+时不等式也成立．
根据(i ）和（ii ），不等式12n c c c ++
+<对任意*n ∈N 成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.
18．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=． (1）求123b b b ，
，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3）求{}n a 的通项公式．
【答案】(1）b 1=1，b 2=2,b 3=4；(2）见解析；（3)a n =n ·2n -1
． 【解析】（1）由条件可得a n +1=
2(1)
n n a n
+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1,所以,a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
（2）{b n ｝是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n
a a n n
+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1,
所以｛b n ｝是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n
a n
-=， 所以a n =n ·2n -1．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{b b }的通项公式，借助于{b b }的通项公式求得数列{b b }的通项公式,从而求得最后的结果。

19．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
． （1）求{}n a 的通项公式;
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】(1)1(2)n n a -=-或12n n a -=;(2）6m =. 【解析】（1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =,解得0q =(舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n
n S --=．
由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=,则21n n S =-． 由63m S =得264m =,解得6m =． 综上,6m =．
【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n 项和公式建立1, a d （或q ），
, ,n n n a S 五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法:一是分组求
和法,特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式,
如等差数列{}n a 的的公差是d ，则111111n n n n n b a a d a a ++⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
；三是错位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积(或商）.
20．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1)求{}n a 的通项公式； (2）求n S ,并求n S 的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9;（2)S n =n 2
–8n ，最小值为–16． 【解析】（1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．
所以｛a n ｝的通项公式为a n =2n –9． (2）由（1）得S n =n 2
–8n =（n –4)2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值,最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值。

21．【2018年高考北京卷文数】设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1)求{}n a 的通项公式; （2）求12e e e n a a
a
++
+。

【答案】（1）ln 2n a n =;（2）122n +-. 【解析】(1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵235ln2a a +=， ∴1235ln2a d +=， 又1ln2a =， ∴ln2d =.
∴()11ln 2n a a n d n =+-=。

（2）由（1）知ln2n a n =， ∵ln 2ln2e e e =2n
n a n n ==， ∴{}e
n
a 是以2为首项，2为公比的等比数列。

∴2
12ln2ln2ln221e e e e e e =222=22n
n a a a n n ++++=+++++
+-。

∴12e e e n a a a ++
+1=22n +-。

【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和共涉及五个基本量1,,,,n n a a d n S ，知道其中三个可求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想。

(1）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（2)由（1）可得e 2n a n =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
22．【2018年高考天津卷文数】设{a n ｝是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N ＊）；｛b n ｝是等比数列，公比大
于0,其前n 项和为T n (n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．
（1）求S n 和T n ；
（2）若S n +(T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】（1）(1)2
n n n S +=
，21n
n T =-；（2）4. 【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2,可得2
20q q --=．
因为0q >，可得2q =，故1
2n n b -=．
所以，122112
n
n n T -=
=--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+,可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316,a d +=从而11,1a d ==，故n a n =， 所以，(1)
2
n n n S +=
． (2）由(1）,有13
1122(12)
(222)=2 2.12
n n
n n T T T n n n +⨯-+++=++
+--=---
由12()4n n n n S T T T a b +++
+=+可得
11(1)
2222
n n n n n n ++++--=+， 整理得2
340,n n --=解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列｛a n }的公比q 〉1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数
列｛b n }满足b 1=1，数列｛（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值;
（2）求数列｛b n }的通项公式．
【答案】（1)2q =；（2）2
1
15(43)()
2
n n b n -=-+⋅.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

(1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+, 所以34543428a a a a ++=+=，
解得48a =.
由3520a a +=得18()20q q
+=, 因为1q >，所以2q =.
(2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S 。

由11,1,
, 2.
n n n S n c S S n -=⎧=⎨
-≥⎩解得41n c n =-.
由（1）可知1
2n n a -=,
所以1
11(41)()2
n n n b b n -+-=-⋅，
故2
11(45)()
,22
n n n b b n n ---=-⋅≥，
11123221()()()()
n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+
+-+-23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+。

设22
1113711()(45)(),2222
n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，
2211111137()(49)()(45)()22222
n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以221
11111344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，
因此2
114(43)(),22
n n T n n -=-+⋅≥，
又11b =，所以2
115(43)()2
n n b n -=-+⋅.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“b b ”与“bb b "的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“b b −bb b ”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

24．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数
列．
（1）设1
10,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,
,1n m =+均成立，并
求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】(1)；（2）见解析。

【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
（1）由条件知：．
因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立， 即对n =1，2,3，4均成立，
即11，1d 3，32d 5,73d 9,得． 因此，d 的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3,···，m +1）成立，
即，
即当时，d 满足
． 因为，则,
从而
，,对均成立．
因此，取d =0时,1||n n a b b -≤对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值(）．
①当时，， 当时,有,从而．
因此，当时,数列单调递增, 故数列的最大值为． ②设，
75[,]32
1
12(,)n n n a n d b -=-=1
12
|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532
d ≤≤75
[,]32
1
11(1),n n n a b n d b b q -=+-=1
111 |1|2,3,
,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,
,1n m =+11
11211
n n q q b d b n n ---≤≤-
-q ∈1
12n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1
101
n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,
,1n m =+12{
}1n q n ---1
{}1
n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222
111()()()
n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112m
q <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n
n q q q ---+>21n m ≤≤+12
{
}1n q n ---12{}1n q n ---2
m q m
-()()21x
f x x =-
当x >0时，，
所以单调递减,从而<f (0）=1．
当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此,d 的取值范围为．
25．【2017年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=−6．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
【答案】（1)(2)n
n a =-；(2）1
22(1)33
n n n S +=-+-⋅，证明见解析． 【解析】(1）设{}n a 的公比为q ．
由题设可得12
1(1)2,
(1) 6.
a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)n
n a =-．
（2）由(1）可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-． 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ,2n S +成等差数列．
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． （1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-即可求解; （2)利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．
ln 21(0(n )l 22)x
f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤1
11112111
()()()n
n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1
{}1n q n --1{}1n q n --m
q m
11(2)[,]m m
b q b q m m
-
26．【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=.
(1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2)若321T =，求3S .
【答案】（1）b b =2b −1；（2）当b =−5时，b 3=21。

当b =4时,b 3=−6。

【解析】设{b b }的公差为d ，{b b }的公比为q ，则b b =−1+（b −1）b ，b b =b b −1。

由b 2+b 2=2得d +q =3。

①
(1）由b 3+b 3=5得2b +b 2=6.② 联立①和②解得{b =3，b =0（舍去)，{b =1，b =2.
因此{b b }的通项公式为b b =2b −1。

（2）由b 1=1，b 3=21得b 2+b −20=0。

解得b =−5，b =4。

当b =−5时，由①得b =8，则b 3=21. 当b =4时，由①得b =−1，则b 3=−6.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用。

但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形。

在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比,代入等比数列通项公式即可;
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和。

27．【2017年高考全国III 卷文数】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++
+-=。

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和. 【答案】（1）1
22-=
n a n ；（2）122+n n。

【解析】（1）因为b 1+3b 2+…+(2n −1）b b =2n ， 故当n ≥2时，b 1+3b 2+…+(2b −3）b b −1 =2（n −1）. 两式相减得(2n −1）b b =2， 所以b b =2
2b −1 （n ≥2）. 又由题设可得b 1=2， 从而｛b b }的通项公式为b b =2
2b −1。

（2）记｛
b b
2b +1｝的前n 项和为b b ,
由（1）知b
b 2b +1 = 2
(2b +1)(2b −1)= 1
2b −1 −1
2b +1 。

则b b = 1
1− 1
3 +1
3 − 1
5 +…+ 1
2b −1 − 1
2b +1 = 2b
2b +1 。

【思路点拨】（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ，再作差得1
22
-=
n a n ，验证1=n 时也满足； (2）由于
1
21
121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和。

【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
（其中{}n a 是各项均不为零的等差数列,c 为常数）的数列。

裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和（如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和,如
1(1)(3)n a n n =
++或1
(2)
n a n n =+。

28．【2017年高考北京卷文数】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5．
(1）求{}n a 的通项公式; （2）求和:13521n b b b b -+++
+．
【答案】(1）a n =2n −1;(2）312
n -。

【解析】（1）设等差数列｛a n }的公差为d ．
因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10，解得d =2，所以a n =2n −1． （2）设等比数列｛b n }的公比为q ．
因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3
=9，解得q 2
=3，所以22
12113n n n b b q
---==． 从而2
1
1352131
1333
2
n n n b b b b ---++++=+++
+=．
【名师点睛】本题考查了数列求和,一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和,一般适用于，等的形式；③错位相减法
求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；④倒序相加法求和,一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和,两式相加除以2即可得到数列求和．
29．【2017年高考山东卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==． （1)求数列{}n a 的通项公式；
（2）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列{
}n
n
b a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n
n a =；（2）25
52n n
n T +=-
【解析】（1)设{}n a 的公比为q ，
由题意知22
111(1)6,a q a q a q +==．
又0n a >，解得12,2a q ==，所以2n
n a =．
（2)由题意知：121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+， 令n n n b c a =
，则212
n n n c +=, 因此12231357
2121,222
22
n n n n n n T c c c --+=+++=+++
++ 又2
3411
3572121
222222
n n
n n n T +-+=
++++
+， 两式相减得2
11
1311
121
()2
22222n n n n T -++=++++
-
, 所以25
52
n n
n T +=-
． 1
+=
n n n a a c
c n
n c c n ++=1
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组）求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．（2)用错位相减法求和时，应注意：在写出“S n ”与“qS n "的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n "的表达式，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
30．【2017年高考天津卷文数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*
()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数
列，且公比大于0，
2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．
(1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和*
()n ∈N ．
【答案】（1)32n a n =-，2n n b =；（2）2
(34)216n n +-+．
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
由已知2312b b +=，得2
1()12b q q +=，
而12b =，所以2
60q q +-=．
又因为0q >，解得2q =，所以2n
n b =．
由3412b a a =-，可得138d a -=①; 由11411S b =，可得1516a d +=②，
联立①②,解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n
n b =．
（2）设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有
2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，
2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得2
3
1
12(12)42626262(62)2
4(612
n n n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯=----
122)2(34)216n n n ++⨯=---，得2(34)216n n T n +=-+．
所以,数列2{}n n a b 的前n 项和为2
(34)2
16n n +-+．
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加
法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 31．【2017
年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足:1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-+++
+++
++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是
“()P k 数列"．
(1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明:{}n a 是等差数列．
【答案】（1）见解析;（2）见解析。

【解析】(1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d , 则1(1)n a a n d =+-,
从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．
（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”, 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知,n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,④
将③④代入②,得n n n a a a -++=112,其中4n ≥， 所以345,,,
a a a 是等差数列,设其公差为d'．
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=,所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．
【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，
再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124,n n n n n a a a a a ---++++++32112
n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,
即得n n n a a a -++=112,最后验证起始项也满足即可．
32．【2017年高考浙江卷】已知数列｛x n ｝满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．
证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；
（2）2x n +1− x n ≤
1
2
n n x x +； （3）112n -≤x n ≤21
2
n -．
【答案】（1)见解析；(2）见解析；（3）见解析． 【解析】(1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k 〉0，
那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤,矛盾，故10k x +>．
因此0()n x n *
>∈N ．
所以
111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，
因此10()n n x x n *
+<<∈N ．
（2）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，
2
111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．
记函数2
()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，
22()ln(1)0(0)1
x x
f'x x x x +=++>>+，
函数f （x ）在[0,+∞)上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此
2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，
故
1
12()2
n n n n x x x x n *++-≤
∈N ． （3)因为
11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，
所以
112n n x -≥
，
由
1
122
n n n n x x x x ++≥-，得 11111
2()022
n n x x +-≥->， 所以
1211111111
2()2()2222
n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故
2
12
n n x -≤
．
综上，
12
11
()22
n n n x n *--≤≤∈N ． 【名师点睛】本题主要应用：(1）数学归纳法证明不等式；(2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．。