1整式的加减拓展

整式的加减拓展
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系．算术是代数的基础，代数由算术演进而来．从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破．
一、代数学产生的历史必然性
代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数．初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础．
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算．算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步．算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以想像．在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。

算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算．也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果．许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的．算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型．对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，再列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行．特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的．
算术自身运算的局限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展．随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法——代数解题法的产生也就成为历史的必然．
代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值．初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学．
初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外．如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算式完成对具体数字的演算．也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利．而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边．解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边．从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广．
由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代数中却能轻而易举地得到解决．不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关．例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现；对五次以上方程的求解，导致群论的诞生；把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等．正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志．
二、代数学体系结构的形成
“代数”一词，原意是指“解方程的科学”．因此，最初的代数学也就是初等代数．初等代数，作
为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志．从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程；简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤；符号代数，即普遍使用抽象的字母符号．从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程．在这个过程中，17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献．他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人，他提出和使用的许多符号，同现代的写法基本一致．
随着数学的发展和社会实践的深化，代数学的研究对象不断得到扩大，其思想方法不断得到创新，代数学也就由低级形态演进到高级形态，由初等代数发展到高等代数．高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别．初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而高等代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数系统．因此，高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使高等代数的应用范围更加广泛．向抽象性和普遍性方向发展，是现代代数学的一个重要特征．。