【新】高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2类比分层训练湘教版选修2-2

6．1.2 类 比
一、基础达标
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )
A ．三角形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．矩形
答案 C
2．给出下面四个类比结论
( )
① 实数a ，b ，若ab ＝0则a ＝0或b ＝0；类比向量a ，b ，若a ·b ＝0， ② 则a ＝0或b ＝0
②实数a ，b ，有(a ＋b )2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
；类比向量a ，b ，有(a ＋b )2
＝
a 2＋2a ·
b ＋b 2
③实数a ，有|a |2
＝a 2
，类比向量a ，有|a |2
＝a 2
④实数a ，b 有a 2
＋b 2
＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b 有a 2
＋b 2
＝0，则
a ＝
b ＝0
其中类比结论正确的命题个数为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 D
3．三角形的面积S ＝1
2(a ＋b ＋c )·r ，其中a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半
径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为
( )
A ．V ＝13abc
B ．V ＝13
Sh
C ．V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r
D ．V ＝1
3(ab ＋bc ＋ac )h
答案 C
4．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ， 则a －b ＝0⇒a ＝b ”；
②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出 “若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，
b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1>0，但复数a 与b 不能比较大小．
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结论为________．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
6．如图(1)有面积关系S △PA 1B 1S △PAB ＝PA 1·PB 1PA ·PB ，则图(2)有体积关系V P －A 1B 1C 1
V P －ABC
＝________.
答案
PA 1·PB 1·PC 1PA ·PB ·PC
7．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC ，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC ，SAC ，SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形
中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解 在△DEF 中(如图)，由正弦定理得 d sin D ＝e sin E ＝f
sin F
.
于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，
我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3
sin α3
成立．
二、能力提升
8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
，
类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为
r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )
A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.
2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.
3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面
体A －BCD
＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴r ＝
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
.
9．定义：a
b ，b
c ，c
d ，d a 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)．
则图中甲、乙运算式可表示为________． 答案 d
b ，
c a
10．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝
AC
BC
，把这个结论类比到
空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．
答案
AE EB ＝S △ACD
S △BCD
解析 △ABC 中作ED ⊥AC 于D ，EF ⊥BC 于F ，则ED ＝EF . ∴
AC BC ＝S △ACE S △BCE ＝AE EB
， 类比：在三棱锥A －BCD 中，过直线AB 作一平面垂直于CD ，并交CD 于点H ，则∠AHB 是二面角A －CD －B 的平面角，连接EH ，则EH 是∠AHB 的角平分线．
∴
AE EB ＝AH BH ＝S △ACD
S △BCD
. 11．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和S n ，则有如下性质：
①通项：a n ＝a m ＋(n －m )d ；
②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m 、n 、p 、q ∈N ＋)； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m 、n 、p ∈N ＋)； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假． 解 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可以得到： ①通项：b n ＝b m ·q
n －m
(真命题)；
②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)(真命题)； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2
p (m ，n ，p ∈N ＋)(真命题)； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(假命题)．
12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一
点，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：A N →·BM →为定值b 2－a 2
.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是
双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证A N →·BM →
为
定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0) 所以直线PA 的方程为y ＝y 0
x 0＋a
(x ＋a )，
令x ＝0，得y M ＝
ay 0
x 0＋a
. 同理得y N ＝－ay 0
x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20
a 2－x 20
.
又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20
b 2＝1，
因此y 20
＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20
＝b 2
.
因为AN →＝(a ，y N )，BM →
＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋yMyN ＝b 2－a 2
. (2)－(a 2
＋b 2
)．
三、探究与创新
13．如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2
α＋cos 2
β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2
c
2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝1.
证明如下：cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝(m l )2＋(n l )2＋(g l )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2
l
2＝1.。